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文本内容:
2.
2.1 综合法和分析法学习目标
1.理解综合法、分析法的意义,掌握综合法、分析法的思维特点.
2.会用综合法、分析法解决问题.知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程,总结此证明方法有何特点?已知a,b0,求证ab2+c2+bc2+a2≥4abc.证明因为b2+c2≥2bc,a0,所以ab2+c2≥2abc.又因为c2+a2≥2ac,b0,所以bc2+a2≥2abc.因此ab2+c2+bc2+a2≥4abc.答案 利用已知条件a0,b0和重要不等式,最后推导出所要证明的结论.梳理 1定义一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.2综合法的框图表示―→―→―→…―→P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程,试分析证明过程有何特点?已知a,b0,求证≥.证明要证≥,只需证a+b≥2,只需证a+b-2≥0,只需证-2≥0,因为-2≥0显然成立,所以原不等式成立.答案 从结论出发开始证明,寻找使证明结论成立的充分条件,最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.梳理 1定义从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止,这种证明方法叫做分析法.2分析法的框图表示―→―→―→…―→1.综合法是执果索因的逆推证法. × 2.分析法就是从结论推向已知. × 3.分析法与综合法证明同一问题时,一般思路恰好相反,过程相逆. √ 类型一 综合法的应用例1 在△ABC中,三边a,b,c成等比数列.求证acos2+ccos2≥b.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.因为左边=+=a+c+acosC+ccosA=a+c+=a+c+b≥+=b+=b=右边,所以acos2+ccos2≥b.反思与感悟 综合法证明问题的步骤跟踪训练1 已知a,b,c为不全相等的正实数.求证++
3.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为++=+++++-3,又a,b,c为不全相等的正实数,而+≥2,+≥2,+≥2,且上述三式等号不能同时成立,所以+++++-36-3=3,即++
3.类型二 分析法的应用例2 设a,b为实数,求证≥a+b.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 当a+b≤0时,∵≥0,∴≥a+b成立.当a+b0时,用分析法证明如下要证≥a+b,只需证2≥2,即证a2+b2≥a2+b2+2ab,即证a2+b2≥2ab.∵a2+b2≥2ab对一切实数恒成立,∴≥a+b成立.综上所述,不等式得证.反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”.跟踪训练2 已知非零向量a,b,且a⊥b,求证≤.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 a⊥b⇔a·b=0,要证≤,只需证|a|+|b|≤|a+b|,只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2a·b+b2,只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,即证|a|-|b|2≥0,上式显然成立,故原不等式得证.类型三 分析法与综合法的综合应用例3 △ABC的三个内角A,B,C成等差数列,其对边分别为a,b,c.求证a+b-1+b+c-1=3a+b+c-
1.考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证a+b-1+b+c-1=3a+b+c-1,即证+=,即证+=3,即证+=
1.即证cb+c+aa+b=a+bb+c,即证c2+a2=ac+b
2.因为△ABC三个内角A,B,C成等差数列,所以B=60°.由余弦定理,得b2=c2+a2-2cacos60°,即b2=c2+a2-ac.所以c2+a2=ac+b2成立,命题得证.引申探究 本例改为求证.证明 要证,只需证a+b+a+bc1+a+bc,即证a+bc.而a+bc显然成立,所以.反思与感悟 综合法由因导果,分析法执果索因,因此在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起来使用,即先利用分析法寻找解题思路,再利用综合法有条理地表述解答过程.跟踪训练3 已知a,b,c是不全相等的正数,且0x
1.求证logx+logx+logxlogxa+logxb+logxc.考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证logx+logx+logxlogxa+logxb+logxc,只需证logxlogxabc,由已知0x1,只需证··abc,由公式≥0,≥0,≥
0.又∵a,b,c是不全相等的正数,∴··=abc.即··abc成立.∴logx+logx+logxlogxa+logxb+logxc成立.1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明过程为“cos4θ-sin4θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ”,其应用了 A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.类比法考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题答案 B2.设0x1,则a=,b=x+1,c=中最大的是 A.aB.bC.cD.随x取值不同而不同考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 C解析 ∵0x1,∴b=x+12=a,∵-x+1==0,∴cba.3.要证--成立,只需证 A.-2-2B.-2-2C.+2+2D.--2-2考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 C解析 根据不等式性质,当ab0时,才有a2b2,只需证++,即证+2+
2.4.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且a2+b2-c2=ab,则角C的值为________.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题答案 解析 cosC===,∵0Cπ,∴C=.5.已知a,b,c都为正实数,求证≥.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证≥,只需证≥2,只需证3a2+b2+c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,只需证2a2+b2+c2≥2ab+2bc+2ca,只需证a-b2+b-c2+c-a2≥0,而这是显然成立的,所以≥成立.1.综合法证题是从条件出发,由因导果;分析法是从结论出发,执果索因.2.分析法证题时,一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在解题时,往往把综合法和分析法结合起来使用.
一、选择题1.若实数x,y满足不等式xy1,x+y≥0,则 A.x0,y0B.x0,y0C.x0,y0D.x0,y0考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 A解析 由得2.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证 A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.a2-1b2-1≥0考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 D解析 要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证a2b2-a2+b2+1≥0,即证a2-1b2-1≥
0.3.在非等边三角形ABC中,A为钝角,则三边a,b,c满足的条件是 A.b2+c2≥a2B.b2+c2a2C.b2+c2≤a2D.b2+c2a2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题答案 D解析 由余弦定理的推论,得cosA=,∵A为钝角,∴cosA0,则b2+c2a
2.4.A,B为△ABC的内角,AB是sinAsinB的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题答案 C解析 由正弦定理得==2RR为△ABC的外接圆半径,又A,B为三角形的内角,∴sinA0,sinB0,∴sinAsinB⇔2RsinA2RsinB⇔ab⇔AB.5.设a,b0,且a≠b,a+b=2,则必有 A.1≤ab≤B.ab1C.ab1D.ab1考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 B解析 因为a≠b,故ab,又因为a+b=22,故ab1,==2-ab1,即1ab.6.若a=,b=,c=,则 A.abcB.cbaC.cabD.bac考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 C解析 利用函数单调性.设fx=,则f′x=,∴当0xe时,f′x0,fx单调递增;当xe时,f′x0,fx单调递减.又a=,∴bac.7.设fx是定义在R上的奇函数,当x≥0时,fx单调递减.若x1+x20,则fx1+fx2的值 A.恒为负B.恒等于零C.恒为正D.无法确定正负考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 A解析 由fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx单调递减,可知fx是R上的减函数.由x1+x20,可知x1-x2,所以fx1f-x2=-fx2,所以fx1+fx
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二、填空题8.命题“函数fx=x-xlnx在区间01上是增函数”的证明过程为“对函数fx=x-xlnx取导得f′x=-lnx,当x∈01时,f′x=-lnx0,故函数fx在区间01上是增函数”应用了________的证明方法.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 综合法9.如果a+ba+b,则正数a,b应满足的条件是________.考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 a≠b解析 ∵a+b-a+b=a-+b-=-a-b=-2+.∴只要a≠b,就有a+ba+b.10.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为________.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 acb解析 ∵a2-c2=2-8-4=4-6=-0,a0,c0,∴ac.∵c0,b0,==1,∴cb.∴acb.11.比较大小设a0,b0,则lg1+____________[lg1+a+lg1+b].考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 ≤解析 ∵1+2-1+a1+b=2-a+b≤0,∴1+2≤1+a1+b,则lg1+2≤lg1+a1+b,即lg1+≤[lg1+a+lg1+b].
12.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1注填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形.考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 对角线互相垂直答案不唯一解析 要证A1C⊥B1D1,只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1,因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1,故只需证B1D1⊥A1C1即可.
三、解答题13.已知a0,求证-≥a+-
2.考点 分析法及应用题点 利用分析法解决不等式问题证明 要证-≥a+-2,只需证+2≥a++.因为a0,所以只需证2≥2,即a2++4+4≥a2+2++2+2,从而只需证2≥,只需要证4≥2,即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
四、探究与拓展14.若不等式-1na2+对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是________.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 解析 当n为偶数时,a2-,而2-≥2-=,所以a;当n为奇数时,a-2-,而-2--2,所以a≥-
2.综上可得,-2≤a.15.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 由A,B,C成等差数列,得2B=A+C.
①由于A,B,C为△ABC的三个内角,所以A+B+C=π.
②由
①②,得B=.
③由a,b,c成等比数列,得b2=ac,
④由余弦定理及
③,可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,再由
④,得a2+c2-ac=ac,即a-c2=0,从而a=c,所以A=C.
⑤由
②③⑤,得A=B=C=,所以△ABC为等边三角形.。