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第二章推理与证明章末复习学习目标
1.整合本章知识要点.
2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.
3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.
4.理解数学归纳法,并会用数学归纳法证明问题.1.合情推理1归纳推理由部分到整体、由个别到一般的推理.2类比推理由特殊到特殊的推理.3合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.2.演绎推理1演绎推理由一般到特殊的推理.2“三段论”是演绎推理的一般模式,包括
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.3.直接证明和间接证明1直接证明的两类基本方法是综合法和分析法
①综合法是从已知条件推出结论的证明方法;
②分析法是从结论追溯到条件的证明方法.2间接证明的一种方法是反证法,是从结论反面成立出发,推出矛盾的方法.4.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时,它的两个步骤缺一不可,它的第一步归纳奠基是证当n=n0时结论成立;第二步归纳递推是假设当n=k时结论成立,推得当n=k+1时结论也成立.1.归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确. × 2.“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的. √ 3.综合法是直接证明,分析法是间接证明. × 4.反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾. × 类型一 合情推理与演绎推理例1 1观察下列等式-2+-2=×1×2;-2+-2+-2+-2=×2×3;-2+-2+-2+…+-2=×3×4;-2+-2+-2+…+-2=×4×5;……照此规律,-2+-2+-2+…+-2=________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对组中的应用答案 nn+1解析 第一个等式中1=,2=;第二个等式中,2=,3=;第三个等式中,3=,4=.由此可推得第n个等式等于××=nn+1.2根据图1的面积关系=·,可猜想图2有体积关系=________.考点 类此推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 ··解析 题干两图中,与△PAB,△PA′B′相对应的是三棱锥P-ABC,P-A′B′C′;与△PA′B′两边PA′,PB′相对应的是三棱锥P-A′B′C′的三条侧棱PA′,PB′,PC′.与△PAB的两条边PA,PB相对应的是三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC.由此,类比题图1的面积关系,得到题图2的体积关系为=··.3有三张卡片,分别写有1和21和32和
3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 1和3解析 由题意可知丙不拿2和
3.若丙拿1和2,则乙拿2和3,甲拿1和3,满足题意;若丙拿1和3,则乙拿2和3,甲拿1和2,不满足题意.故甲的卡片上的数字是1和
3.反思与感悟 1用归纳推理可从具体事例中发现一般规律,但应注意,仅根据一系列有限的特殊事例,所得出的一般结论不一定可靠,其结论的正确与否,还要经过严格的理论证明.2进行类比推理时,要尽量从本质上思考,不要被表面现象所迷惑,否则,只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误.3演绎推理是由一般到特殊的推理,其结论不会超出前提所界定的范围,所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此,在演绎推理中,只要前提及推理正确,结论必然正确.跟踪训练1 1如图是由火柴棒拼成的图形,第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现第4个图形中有________根火柴棒;第n个图形中有________根火柴棒.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 13 3n+1解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an,可知a4=
13.通过观察得到递推关系式an-an-1=3n≥2,n∈N*,所以an=3n+
1.2若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,则有性质“若Sm=Snm,n∈N*且m≠n,则Sm+n=
0.”类比上述性质,相应地,当数列{bn}为等比数列时,写出一个正确的性质________________.考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比答案 数列{bn}为等比数列,Tm表示其前m项的积,若Tm=Tnm,n∈N*,m≠n,则Tm+n=1解析 由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时,加减运算类比推理为乘除运算.累加类比为累乘,由此,等差数列{an}的性质类比到等比数列{bn}中为数列{bn}为等比数列,Tm表示其前m项的积,若Tm=Tnm,n∈N*,m≠n,则Tm+n=
1.类型二 综合法与分析法例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题已知α∈0,π,求证2sin2α≤.考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 方法一 分析法要证2sin2α≤成立,只需证4sinαcosα≤,∵α∈0,π,∴sinα0,只需证4cosα≤,∵1-cosα0,∴4cosα1-cosα≤1,可变形为4cos2α-4cosα+1≥0,只需证2cosα-12≥0,显然成立.方法二 综合法∵+41-cosα≥4,当且仅当cosα=,即α=时取等号,∴4cosα≤.∵α∈0,π,∴sinα0,∴4sinαcosα≤,∴2sin2α≤.反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条件清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件.跟踪训练2 设a,b是两个正实数,且a≠b,求证a3+b3a2b+ab
2.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证a3+b3a2b+ab2成立,即需证a+ba2-ab+b2aba+b成立,即需证a2-ab+b2ab成立.只需证a2-2ab+b20成立,即需证a-b20成立.而由已知条件可知,a≠b,所以a-b≠0,所以a-b20显然成立.即a3+b3a2b+ab
2.类型三 反证法例3 若x,y都是正实数,且x+y2,求证2与2中至少有一个成立.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设2和2都不成立,则有≥2和≥2同时成立.因为x0且y0,所以1+x≥2y且1+y≥2x,两式相加,得2+x+y≥2x+2y,所以x+y≤
2.这与已知x+y2矛盾.故2与2中至少有一个成立.反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时,也常用反证法.跟踪训练3 已知ac≥2b+d.求证方程x2+ax+b=0与方程x2+cx+d=0中至少有一个方程有实数根.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设两方程都没有实数根,则Δ1=a2-4b0与Δ2=c2-4d0,有a2+c24b+d,而a2+c2≥2ac,从而有4b+d2ac,即ac2b+d,与已知矛盾,故原命题成立.类型四 数学归纳法例4 已知在数列{an}中,a1=-,其前n项和Sn满足an=Sn++2n≥2,计算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.考点 数学归纳法证明数列问题题点 数学归纳法证明数列通项问题解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Sn++
2.∴Sn=-n≥2.则有S1=a1=-,S2=-=-,S3=-=-,S4=-=-,由此猜想Sn=-n∈N*.下面用数学归纳法证明1当n=1时,S1=-=a1,猜想成立.2假设当n=kk≥1,k∈N*时猜想成立,即Sk=-成立,那么当n=k+1时,Sk+1=-=-=-=-.即当n=k+1时猜想成立.由12可知,对任意正整数n,猜想均成立.反思与感悟 1用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型,其关键点在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始n0是多少.2由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用当n=k时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.跟踪训练4 观察下列四个等式第一个式子 1=1第二个式子2+3+4=9第三个式子3+4+5+6+7=25第四个式子4+5+6+7+8+9+10=491按照此规律,写出第五个等式;2请你做出一般性的猜想,并用数学归纳法证明.考点 利用数学归纳法证明等式题点 等式中的归纳、猜想、证明解 1第5个等式5+6+7+…+13=
81.2猜想第n个等式为n+n+1+n+2+…+3n-2=2n-
12.下面用数学归纳法证明.
①当n=1时,左边=1,右边=2-12=1,猜想成立.
②假设当n=kk≥1,k∈N*时,猜想成立,即有k+k+1+k+2+…+3k-2=2k-
12.那么当n=k+1时,左边=k+1+k+2+…+3k-2+3k-1+3k+3k+1=k+k+1+k+2+…+3k-2+2k-1+3k+3k+1=2k-12+2k-1+3k+3k+1=4k2-4k+1+8k=2k+12=[2k+1-1]
2.右边=[2k+1-1]2,即当n=k+1时,猜想也成立.根据
①②知,猜想对任意n∈N*都成立.1.数列591733,x,…中的x等于 A.47B.65C.63D.128考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对组中的应用答案 B解析 5=22+19=23+117=24+133=25+1,归纳可得x=26+1=
65.2.在平面直角坐标系中,方程+=1表示x,y轴上的截距分别为a,b的直线,类比到空间直角坐标系中,在x,y,z轴上截距分别为a,b,cabc≠0的平面方程为 A.++=1B.++=1C.++=1D.ax+by+cz=1考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 A解析 ∵在平面直角坐标系中,方程+=1表示的图形是一条直线,具有特定性质“在x轴,y轴上的截距分别为a,b”.类比到空间直角坐标系中,在x,y,z轴上截距分别为a,b,cabc≠0的平面方程为++=
1.故选A.3.若a0,b0,则有 A.2b-aB.2b-aC.≥2b-aD.≤2b-a考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 C解析 因为-2b-a==≥0,所以≥2b-a.4.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实数C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 A解析 方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根,故选A.5.用数学归纳法证明+++…+=n∈N*.考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式解 1当n=1时,左边==,右边==.左边=右边,所以等式成立.2假设当n=kk≥1,k∈N*时等式成立,即有+++…+=,则当n=k+1时,+++…++=+====.所以当n=k+1时,等式也成立,由12可知,对于一切n∈N*,等式都成立.1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明.2.演绎推理与合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用,间接证法的一种方法是反证法,反证法是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法.4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时,它的两个步骤缺一不可.它的第一步归纳奠基当n=n0时,结论成立.第二步归纳递推假设当n=k时,结论成立,推得当n=k+1时,结论也成立.数学归纳法是在可靠的基础上,利用命题自身具有的传递性,运用有限的步骤两步证明出无限的命题成立.
一、选择题1.证明命题“fx=ex+在0,+∞上是增函数”.现给出的证法如下因为fx=ex+,所以f′x=ex-.因为x0,所以ex
101.所以ex-0,即f′x
0.所以fx在0,+∞上是增函数,使用的证明方法是 A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 A解析 这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的,是综合法,故选A.2.若ab0,则下列不等式中成立的是 A.B.a+b+C.b+a+D.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题答案 C解析 取a=-2,b=-1,验证可知C正确.3.我们把1491625,…这些数称为“正方形点数”,这是因为这些数量的点可以排成一个正方形,如图所示,则第n个正方形点数是 A.nn-1B.nn+1C.n+12D.n2考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 D解析 由题意可知第n个正方形点数为n
2.4.在数列1223334444,…中,第25项为 A.25B.7C.6D.8考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对组中的应用答案 B解析 由所给的数列规律知,第25项为
7.5.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b9=
29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为 A.a1a2a3…a9=29B.a1+a2+…+a9=29C.a1a2…a9=2×9D.a1+a2+…+a9=2×9考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比答案 D解析 由等差数列的性质a1+a9=a2+a8=…=2a5可知D正确.6.用数学归纳法证明“2nn2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 A.2B.3C.5D.6考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步归纳奠基答案 C解析 当n取1234时,2nn2+1不成立,当n=5时,25=3252+1=26,即第一个能使2nn2+1成立的n值为5,故选C.7.已知a+b+c=0,则ab+bc+ca的值 A.大于0B.小于0C.不小于0D.不大于0考点 综合法及应用题点 综合法的应用答案 D解析 因为a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+bc+ca=0,又因为a2+b2+c2≥0,所以2ab+bc+ca≤0,即ab+bc+ca≤
0.8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远单位米
1.
961.
921.
821.
801.
781.
761.
741.
721.
681.6030秒跳绳单位次63a7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则 A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 B解析 进入立定跳远决赛的有8人,根据成绩应是1号至8号.若a63,则同时进入两决赛的不是6人,不符合题意;若61≤a≤63,则同时进入两决赛的有123567号,符合题意;若a=60,则同时进入两决赛的不是6人,不符合题意;若a≤59,则同时进入两决赛的有134567号,符合题意.综上可知,5号进入30秒跳绳决赛.
二、填空题9.已知正三角形内切圆的半径是高的,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是____________________.考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 正四面体的内切球的半径是高的解析 原问题的解法为等面积法,即正三角形的面积S=ah1=3×ar⇒r=h1其中a是正三角形的边长,h1是高,r是内切圆半径.类比,用等体积法,V=Sh2=4×R·S⇒R=h2其中S为底面正三角形的面积,h2是高,R是内切球的半径.10.已知=2,=3,=4,…,=6,a,b均为正实数,由以上规律可推测出a,b的值,则a+b=________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对组中的应用答案 41解析 由题意归纳推理得=6,b=62-1=35,a=
6.∴a+b=6+35=
41.11.完成反证法证题的全过程.题目设a1,a2,…,a7是由数字12,…,7任意排成的一个数列,求证乘积p=a1-1a2-2…a7-7为偶数.证明假设p为奇数,则________均为奇数.
①因为7个奇数之和为奇数,故有a1-1+a2-2+…+a7-7为________.
②而a1-1+a2-2+…+a7-7=a1+a2+…+a7-1+2+…+7=________.
③②与
③矛盾,故p为偶数.考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 a1-1,a2-2,…,a7-7 奇数 0解析 由假设p为奇数可知,a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,故a1-1+a2-2+…+a7-7=a1+a2+…+a7-1+2+…+7=0为奇数,这与0为偶数相矛盾.
三、解答题12.用综合法或分析法证明1如果a,b0,则lg≥;26+2+
2.考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 1当a,b0时,有≥,∴lg≥lg,∴lg≥lgab=.2要证+2+2,只需证+22+22,即22,这是显然成立的,∴原不等式成立.13.求证不论x,y取何非零实数,等式+=总不成立.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设存在非零实数x,y使得等式+=成立.于是有yx+y+xx+y=xy,即x2+y2+xy=0,即2+y2=
0.由y≠0,得y2>
0.又2≥0,所以2+y2>
0.与x2+y2+xy=0矛盾,故原命题成立.
四、探究与拓展14.设S,V分别表示表面积和体积,如△ABC的面积用S△ABC表示,三棱锥O-ABC的体积用VO-ABC表示,对于命题如果O是线段AB上一点,则||·+||·=
0.将它类比到平面的情形时,应该有若O是△ABC内一点,有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=
0.将它类比到空间的情形时,应该有若O是三棱锥A-BCD内一点,则有__________.考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=015.给出下列等式1=1,1-4=-1+2,1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-1+2+3+4,……1写出第5个和第6个等式,并猜想第nn∈N*个等式;2用数学归纳法证明你猜想的等式.考点 利用数学归纳法证明等式题点 等式中的归纳、猜想、证明1解 第5个等式为1-4+9-16+25=1+2+3+4+5,第6个等式为1-4+9-16+25-36=-1+2+3+4+5+6.猜想第n个等式为12-22+32-42+…+-1n-1n2=-1n-1·1+2+3+…+n.2证明
①当n=1时,左边=12=1,右边=-10×1=1,左边=右边,猜想成立.
②假设当n=kk≥1,k∈N*时,猜想成立,即12-22+32-42+…+-1k-1k2=-1k-1·,则当n=k+1时,12-22+32-42+…+-1k-1k2+-1kk+12=-1k-1·+-1kk+12=-1kk+1·=-1k·,故当n=k+1时,猜想也成立由
①②可知,对于任意n∈N*,猜想均成立.。