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课时分层作业五十八直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题每小题5分共25分
1.若过点01作直线使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点这样的直线有 A.1条B.2条C.3条 D.4条【解析】选C.结合图形分析可知满足题意的直线共有3条:直线x=0过点01且平行于x轴的直线以及过点01且与抛物线相切的直线非直线x=
0.
2.2018·济南模拟已知椭圆C:+=1ab0的右焦点为F2O为坐标原点M为y轴上一点点A是直线MF2与椭圆C的一个交点且|OA|=|OF2|=2|OM|则椭圆C的离心率为 A.B.C.D.【解析】选D.由题知M在椭圆的短轴上.设椭圆C的左焦点为F1连接AF
1.因为|OA|=|OF2|所以|OA|=|F1F2|即AF1⊥AF2因为==所以|AF1|=c|AF2|=c所以2a=|AF1|+|AF2|=c则椭圆C的离心率为e==.
3.2018·开封模拟在平面直角坐标系xOy中已知双曲线C1:2x2-y2=1过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为 A. B. C. D.【解析】选C.不妨设直线的斜率为则直线方程为y=另一条渐近线方程为y=-x联立可得交点坐标为M故三角形的面积为S=××=.【变式备选】已知抛物线y2=8x的准线与双曲线-=1a0相交于AB两点点F为抛物线的焦点△ABF为直角三角形则双曲线的离心率为 A.3 B.+1 C.2 D.【解析】选A.由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x=-2代入双曲线方程可得y=±不妨设A因为△FAB是直角三角形所以可得=p=4⇒a=因此双曲线的离心率e====
3.
4.已知直线y=2x-1与抛物线C:y2=4x交于AB两点点M-1m若·=0则m= A.B.C.D.0【解析】选B.不妨设A在B上方.由得A22B又因为M-1m且·=0所以2m2-2m+1=0解得m=.【变式备选】已知双曲线-=1b0的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A.B.4C.3D.5【解析】选A.由题易得抛物线的焦点为30所以双曲线的右焦点为30所以b2=c2-a2=9-4=5所以双曲线的一条渐近线方程为y=x即x-2y=0所以所求距离为d==.
5.直线3x+4y-7=0与椭圆+=1ab0相交于两点AB线段AB的中点为M11则椭圆的离心率是 A.B.C.D.【解析】选A.设Ax1y1Bx2y2则+=1+=1作差得+=0即+=0两边同时除以x1-x2即得+=0因为x1+x2=2y1+y2=2=代入得+=0所以=e=.
二、填空题每小题5分共15分
6.已知抛物线C:y2=2x过焦点F且斜率为1的直线与C相交于PQ两点且PQ两点在准线上的投影分别为MN两点则S△MFN=________. 【解析】设Px1y1Qx2y2所以S△MFN=×p×|y1-y2|=×1×|y1-y2|=|y1-y2|直线方程是y=x-与抛物线方程联立整理得y2-2y-1=0y1+y2=2y1y2=-1所以|y1-y2|==
2.所以S△MFN=|y1-y2|=.答案:
7.2018·汾阳模拟斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点则双曲线离心率的取值范围是________. 【解析】由题意可知双曲线的其中一条k0渐近线斜率大于e=.答案:【变式备选】过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于AB两点它们的横坐标之和等于2则这样的直线有且只有________条. 【解析】设该抛物线焦点为FAxAyABxByB则|AB|=|AF|+|FB|=xA++xB+=xA+xB+1=32p=
2.所以符合条件的直线有且只有两条.答案:两
8.已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1与椭圆相交于AB两点则弦AB的长为________.【解析】由题意知椭圆的右焦点F1的坐标为10直线AB的方程为y=2x-
1.由方程组消去y整理得3x2-5x=
0.设Ax1y1Bx2y2由根与系数的关系得x1+x2=x1x2=
0.则|AB|====.答案:
三、解答题每小题10分共20分
9.已知椭圆E:+=1ab0过点0且离心率e=.1求椭圆E的方程.2设直线l:x=my-1m∈R交椭圆E于AB两点判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系并说明理由.【解析】1由已知得解得所以椭圆E的方程为+=
1.2设Ax1y1Bx2y2AB的中点为Hx0y
0.由得m2+2y2-2my-3=0所以y1+y2=y1y2=-从而y0=.所以|GH|2=+=+=m2+1+my0+.====1+m2-y1y2故|GH|2-=my0+1+m2y1y2+=-+=0所以|GH|.故点G在以AB为直径的圆外.【一题多解】本题2还可以采用以下方法:设点Ax1y1Bx2y2则==.由得m2+2y2-2my-3=0所以y1+y2=y1y2=-从而·=+y1y2=+y1y2=m2+1y1y2+my1+y2+=++=0所以cos
0.又不共线所以∠AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.
10.2018·承德模拟如图椭圆E:+=1ab0的离心率是点P01在短轴CD上且·=-
1.1求椭圆E的方程.2设O为坐标原点过点P的动直线与椭圆交于AB两点.是否存在常数λ使得·+λ·为定值若存在求λ的值;若不存在请说明理由.【解析】1由已知点CD的坐标分别为0-b0b.又点P的坐标为01且·=-1于是解得a=2b=.所以椭圆E的方程为+=
1.2当直线AB的斜率存在时设直线AB的方程为y=kx+1点AB的坐标分别为x1y1x2y
2.联立得2k2+1x2+4kx-2=
0.其判别式Δ=4k2+82k2+10所以x1+x2=-x1x2=-.从而·+λ·=x1x2+y1y2+λ[x1x2+y1-1y2-1]=1+λ1+k2x1x2+kx1+x2+1==--λ-
2.所以当λ=1时--λ-2=-
3.此时·+λ·=-3为定值.当直线AB斜率不存在时直线AB即为直线CD.当λ=1时·+λ·=·+·=-2-1=-
3.故存在常数λ=1使得·+λ·为定值-
3.
1.5分已知椭圆C的方程为+=1m0如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F则m的值为 A.2B.2C.8D.2【解析】选B.根据已知条件得c=则点在椭圆+=1m0上所以+=1可得m=2m=-2舍去.【变式备选】已知动点Pxy在椭圆+=1上若A点坐标为30||=1且·=0则||的最小值是 A.B.C.2D.3【解析】选B.由||=1可知点M的轨迹为以点A为圆心1为半径的圆过点P作该圆的切线PM则|PA|2=|PM|2+|AM|2得|PM|2=|PA|2-1所以要使得||的值最小则要的值最小而的最小值为a-c=2此时||的值最小为.
2.5分2018·武汉模拟已知椭圆+=1ab0的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0弦的中点坐标是M-41则椭圆的离心率是 A.B.C.D.【解析】选C.设直线与椭圆交点为Ax1y1Bx2y2分别代入椭圆方程得由点差法及x1+x2=-8y1+y2=2可得yM=-xM代入k=1M-41解得=所以e==.
3.5分2018·衡水模拟已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于AB两点在抛物线AOB这段曲线上有一点P则△APB的面积的最大值为________.【解析】由弦长公式知|AB|=3只需点P到直线AB距离最大就可保证△APB的面积最大.设与l平行的直线y=2x+b与抛物线相切解得b=.所以d=所以S△APBmax=×3×=.答案:
4.12分2018·贵阳模拟如图在平面直角坐标系xOy中椭圆+=1ab0的离心率为过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时|AB|=
4.1求椭圆的方程.2若|AB|+|CD|=求直线AB的方程.【解析】1由题意知e==2a=
4.又a2=b2+c2解得a=2b=所以椭圆方程为+=
1.2
①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时另一条弦所在直线的斜率不存在由题意知|AB|+|CD|=7不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时设直线AB的方程为y=kx-1Ax1y1Bx2y2则直线CD的方程为y=-x-
1.将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0则x1+x2=x1·x2=所以|AB|=|x1-x2|=·=.同理|CD|==.所以|AB|+|CD|=+==解得k=±1所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=
0.
5.13分已知曲线C的方程为+=4经过点-10作斜率为k的直线ll与曲线C交于AB两点l与直线x=-4交于点DO是坐标原点.1若+=2求k的值.2是否存在实数k使△AOB为锐角三角形若存在求出k的取值范围;若不存在请说明理由.【解析】1由+=4得+=
42.所以曲线C是以F1-10F210为焦点4为长轴长的椭圆.所以曲线C的方程为+=1即3x2+4y2=
12.因为直线l经过点-10斜率为k所以直线l的方程为y=kx+
1.因为直线l与直线x=-4交于点D所以D-4-3k.设Ax1kx1+kBx2kx2+k.由得3+4k2x2+8k2x+4k2-12=0所以x1+x2=x1x2=.由+=2得2x2-x1=-
4.由2x2-x1=-4和x1+x2=得x1=x2=-.因为x1x2=所以×=化简得4k4-k2-5=0解得k2=或k2=-10舍去.解得k=±.2由1知Ax1kx1+kBx2kx2+kx1+x2=x1x2=.因为=x1kx1+k=x2kx2+k·=x1x2+kx1+kkx2+k=1+k2x1x2+k2x1+x2+k2=0所以∠AOB.所以不存在实数k使△AOB为锐角三角形.。