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课时分层作业五十四椭圆的概念及其性质
一、选择题每小题5分共25分
1.2018·承德模拟椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1F2过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交一个交点为P则|PF2|= A.B.C.D.4【解析】选A.a2=4b2=1所以a=2b=1c=不妨设P在x轴上方则F1-0设P-mm0则+m2=1解得m=所以|PF1|=根据椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a所以|PF2|=2a-|PF1|=2×2-=.
2.已知点F1F2分别是椭圆+=1k-1的左、右焦点弦AB过点F1若△ABF2的周长为8则椭圆的离心率为 A.B.C.D.【解析】选A.由椭圆的定义可得4a=8⇒a=2又因为c2=a2-b2=1⇒c=1所以椭圆的离心率e==.
3.2018·亳州模拟已知椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1F2过F2作一条直线不与x轴垂直与椭圆交于AB两点如果△ABF1恰好为以A为直角顶点的等腰直角三角形该直线的斜率为 A.±1B.±2C.±D.±【解析】选C.不妨设|AF1|=m则|AF2|=2a-m|BF2|=AB-|AF2|=m-2a-m=2m-2a于是|BF1|=2a-|BF2|=2a-2m-2a=4a-2m又∠F1AB=90°所以|BF1|=m所以4a-2m=ma=m因此|AF2|=2a-m=mtan∠AF2F1===直线AB斜率为-由对称性知还有一条直线斜率为.【变式备选】椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2N是MF1的中点则|ON|为 A.2B.4C.8D.【解析】选B.根据椭圆定义得|MF2|=8N为MF1的中点则ON为△MF1F2的中位线所以|ON|=|MF2|=
4.
4.设F1F2是椭圆+=1的两个焦点P是椭圆上的点且|PF1|∶|PF2|=4∶3则△PF1F2的面积为 A.30B.25C.24D.40【解析】选C.因为|PF1|+|PF2|=14又|PF1|∶|PF2|=4∶3所以|PF1|=8|PF2|=
6.因为|F1F2|=10所以PF1⊥PF
2.所以=|PF1|·|PF2|=×8×6=
24.
5.方程+=10化简的结果是 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.方程的几何意义为动点xy到定点-40和40的距离和为10并且108所以定点的轨迹为以两个定点为焦点以2a为长轴长的椭圆所以a=5c=4根据b2=a2-c2=9所以椭圆方程为+=
1.【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1P49A组T1“如果点Mxy在运动过程中总满足关系式+=10点M的轨迹是什么曲线为什么写出它的方程”【变式备选】已知两圆C1:x-42+y2=169C2:x+42+y2=9动圆在圆C1内部且和圆C1内切和圆C2外切则动圆圆心M的轨迹方程为 A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设圆M的半径为r由几何关系可知点M的轨迹是以C140C2-40为焦点且2a=13-r+3+r=16的椭圆据此可知:a=8c=4所以b2=48椭圆的方程为+=
1.
二、填空题每小题5分共15分
6.椭圆+4y2=1a0的焦点F1F2在x轴上离心率为过F1作直线交椭圆于AB两点则△ABF2的周长为______________. 【解析】由题意可得:e2===1-=所以a2=1由椭圆的定义可得:题中三角形的周长为4a=
4.答案:
47.2018·呼和浩特模拟已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点P是此椭圆上的动点A11是一定点则|PA|+|PF|的最大值为__________最小值为______________. 【解析】如图所示设椭圆右焦点为F1则|PF1|+|PF|=
6.所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+
6.利用-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|当PAF1共线时等号成立.所以|PA|+|PF|≤6+|PA|+|PF|≥6-.故|PA|+|PF|的最大值为6+最小值为6-.答案:6+ 6-
8.已知△ABC的顶点A-40和C40顶点B在椭圆+=1上则=__________.【解析】由题意知AC为椭圆的两焦点由正弦定理得====.答案:
三、解答题每小题10分共20分
9.设椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1F2右顶点为A上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.1求椭圆的离心率.2设P为椭圆上异于其顶点的一点以线段PB为直径的圆经过点F1经过点F2的直线l与该圆相切于点M|MF2|=
2.求椭圆的方程.【解析】1设椭圆右焦点F2的坐标为c
0.由|AB|=|F1F2|可得a2+b2=3c2又b2=a2-c2则=.所以椭圆的离心率e=.2由1知a2=2c2b2=c
2.故椭圆方程为+=
1.设Px0y0由F1-c0B0c有=x0+cy0=cc.由已知有·=0即x0+cc+y0c=
0.又c≠0故有x0+y0+c=
0.
①因为点P在椭圆上故+=
1.
②由
①和
②可得3+4cx0=
0.而点P不是椭圆的顶点故x0=-c代入
①得y0=即点P的坐标为.设圆的圆心为Tx1y1则x1==-cy1==c进而圆的半径r==c.由已知有|TF2|2=|MF2|2+r2又|MF2|=2故有+=8+c2解得c2=
3.所以所求椭圆的方程为+=
1.
10.2018·开封模拟已知椭圆C:+=1ab0的离心率为点M21在椭圆C上.1求椭圆C的方程.2直线l平行于OM且与椭圆C交于AB两个不同的点.若∠AOB为钝角求直线l在y轴上的截距m的取值范围.【解析】1依题意有解得故椭圆C的方程为+=
1.2由直线l平行于OM得直线l的斜率k=kOM=又l在y轴上的截距为m所以l的方程为y=x+m.由得x2+2mx+2m2-4=
0.因为直线l与椭圆C交于AB两个不同的点所以Δ=2m2-42m2-40解得-2m
2.设Ax1y1Bx2y
2.又∠AOB为钝角等价于·0且m≠0则·=x1x2+y1y2=x1x2+=x1x2+x1+x2+m20将x1+x2=-2mx1x2=2m2-4代入上式化简整理得m22即-m故m的取值范围是-0∪
0.【变式备选】如图已知椭圆+=1ab0的长轴AB=4离心率e=O为坐标原点过B的直线l与x轴垂直P是椭圆上异于AB的任意一点PH⊥x轴H为垂足延长HP至Q使得HP=PQ连接AQ并延长交直线l于MN为MB的中点.1求椭圆方程并证明Q点在以AB为直径的圆O上.2试判断直线QN与圆O的位置关系.【解析】1由已知得2a=4=所以a=2c=b=1所以椭圆的方程为+y2=
1.设P2cosθsinθ则Q2cosθ2sinθkAQ×kBQ=·=-1所以AQ⊥BQ得证.2直线OQ的斜率为tanθ倾斜角∠QOH=θ则Q2cosθ2sinθ由OQ=OA得∠OAQ=∠OQA=即直线AQ的倾斜角为所以直线AQ的方程为y=tanx+2令x=2得y=4tan所以MN所以直线QN的斜率为k==-OQ的斜率为k′=tanθ所以k×k′=-1即OQ⊥QN且Q点在以AB为直径的圆O上所以QN与圆O相切于Q点.
1.5分焦点在y轴上焦距等于4离心率等于的椭圆的标准方程是 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.设椭圆方程为+=1ab0由题意可得:解得则椭圆的标准方程为+=
1.
2.5分已知椭圆C1:+y2=1m1与双曲线C2:-y2=1n0的焦点重合e1e2分别为C1C2的离心率则 A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.mn且e1e21D.mn且e1e21【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1即m2=n2+2e1e22=·=因为m2=n2+2m1n0所以mne1e221所以e1e
21.【变式备选】已知椭圆C:+=1ab0F1F2为其左、右焦点P为椭圆C上任一点△F1PF2的重心为G内心为I且有=λ其中λ为实数椭圆C的离心率e= A.B.C.D.【解析】选A.设Px0y0因为G为△F1PF2的重心所以G点坐标为G因为=λ所以IG∥x轴所以I的纵坐标为在△F1PF2中|PF1|+|PF2|=2a|F1F2|=2c所以=·|F1F2|·|y0|又因为I为△F1PF2的内心所以I的纵坐标的绝对值即为内切圆半径内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边高为内切圆半径的小三角形所以=|PF1|+|PF2|+|F1F2|所以·|F1F2|·|y0|=|PF1|+|PF2|+|F1F2|即·2c·|y0|=2a+2c所以2c=a所以椭圆C的离心率e==.
3.5分椭圆+=1a为定值且a的左焦点为F直线x=m与椭圆相交于点AB.若△FAB的周长的最大值是12则该椭圆的离心率是______________. 【解析】设椭圆的右焦点为F′如图由椭圆定义知|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a.又△FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF′|+2a-|BF′|+|AB|=4a-|AF′|+|BF′|-|AB|≤4a当且仅当AB过右焦点F′时等号成立.此时4a=12则a=
3.故椭圆方程为+=1所以c=2所以e==.答案:
4.12分已知椭圆C:x2+2y2=
4.1求椭圆C的离心率.2设O为原点.若点A在直线y=2上点B在椭圆C上且OA⊥OB求线段AB长度的最小值.【解析】1由题意椭圆C的标准方程为+=
1.所以a2=4b2=2从而c2=a2-b2=
2.因此a=2c=.故椭圆C的离心率e==.2设点AB的坐标分别为t2x0y0其中x0≠
0.因为OA⊥OB所以·=0即tx0+2y0=0解得t=-.又+2=4所以|AB|2=x0-t2+y0-22=+y0-22=+++4=+++4=++40≤
4.因为+≥40≤4当且仅当=4时等号成立所以|AB|2≥
8.故线段AB长度的最小值为
2.
5.13分2018·郑州模拟如图已知椭圆+=1ab0的右焦点为F210点H在椭圆上.1求椭圆的方程.2点M在圆x2+y2=b2上且M在第一象限过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于PQ两点求证:△PF2Q的周长是定值.【解析】1设椭圆的左焦点为F1根据已知椭圆的左、右焦点分别是F1-10F210c=1因为H在椭圆上所以2a=|HF1|+|HF2|=+=6所以a=3b=2故椭圆的方程是+=
1.2设Px1y1Qx2y2则+=1|PF2|===因为0x13所以|PF2|=3-x1在圆中M是切点所以|PM|====x1所以|PF2|+|PM|=3-x1+x1=3同理:|QF2|+|QM|=3所以|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6因此△PF2Q的周长是定值
6.。