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课时分层作业三十七基本不等式
一、选择题每小题5分共35分
1.已知ab∈R且ab≠0则下列结论恒成立的是 A.a+b≥2B.+≥2C.|+|≥2D.a2+b22ab【解析】选C.因为和同号所以|+|=||+||≥
2.
2.2018·武汉模拟下列命题中正确的是 A.函数y=x+的最小值为2B.函数y=的最小值为2C.函数y=2-3x-x0的最小值为2-4D.函数y=2-3x-x0的最大值为2-4【解析】选D.y=x+的定义域为{x|x≠0}当x0时有最小值2当x0时有最大值-2故A项不正确;y==+≥2因为≥所以取不到“=”故B项不正确;因为x0时3x+≥2·=4当且仅当3x=即x=时取“=”所以y=2-有最大值2-4故C项不正确D项正确.
3.已知a0b0a+b=2则y=+的最小值是 A.B.4C.D.5【解析】选C.依题意得+=·a+b=≥=当且仅当即a=b=时取等号即+的最小值是.【变式备选】已知x0y0且+=1则x+y的最小值是________. 【解析】因为x0y0所以x+y=x+y=3++≥3+2当且仅当y=x时取等号所以当x=+1y=2+时x+ymin=3+
2.答案:3+
24.2018·太原模拟已知xy为正实数则+的最小值为 A.B.C.D.3【解析】选D.由于xy为正实数则+=+-1≥2-1=3当且仅当=时等号成立则其最小值为
3.【变式备选】设xyz均为正数满足x-2y+3z=0则的最小值是________. 【解析】因为x-2y+3z=0所以y=所以=≥=
3.当且仅当x=3z时取“=”.答案:
35.已知x0y0且4xy-x-2y=4则xy的最小值为 A.B.2C.D.2【解析】选D.因为x0y0x+2y≥2所以4xy-x+2y≤4xy-2所以4≤4xy-2即-2+1≥0所以≥2所以xy≥
2.
6.2018·西安模拟设=1-2=a-1=-b0a0b0O为坐标原点若ABC三点共线则+的最小值是 A.4B.C.8D.9【解析】选D.因为=-=a-11=-=-b-12若ABC三点共线则有∥所以a-1×2-1×-b-1=0所以2a+b=1又a0b0所以+=·2a+b=5++≥5+2=9当且仅当即a=b=时等号成立.
7.2017·山东高考若ab0且ab=1则下列不等式成立的是 A.a+log2B.log2a+C.a+log2D.log2a+【解析】选B.方法一:因为ab0且ab=1所以a10b1所以1log2a+blog22=1由函数性质可知2xx所以a+a+b上式两边同时取以2为底的对数可得a+log2a+b.方法二:因为ab0且ab=1所以a1b0令a=2b=则a+=2+=4==.log2a+b=log22+=log
21.所以a+log2a+b.
二、填空题每小题5分共15分
8.2017·天津高考若ab∈Rab0则的最小值为________. 【解析】≥=4ab+≥4当且仅当a2=2b2且4ab=时取等号.答案:
49.某车间分批生产某种产品每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件则平均仓储时间为天且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小每批应生产产品________件. 【解析】设每件产品的平均费用为y元由题意得y=+≥2=
20.当且仅当=x0即x=80时“=”成立.答案:
8010.2018·沈阳模拟设等差数列{an}的公差是d其前n项和是Sn若a1=d=1则的最小值是________. 【解析】an=a1+n-1d=nSn=所以==≥=当且仅当n=4时取等号.所以的最小值是.答案:
1.5分设△ABC的内角ABC所对的边分别为abc且C=a+b=12则△ABC面积的最大值为 A.8 B.9 C.16 D.21【解析】选B.由三角形的面积公式:S=absinC=ab≤×=9当且仅当a=b=6时等号成立.则△ABC面积的最大值为
9.
2.5分为保障春节期间的食品安全某市质量监督局对超市进行食品检查如图所示是某食品中微量元素含量数据的茎叶图已知该组数据的平均数为
11.5则+的最小值为 A.9B.C.8D.4【解析】选B.因为该组数据的平均数为
11.5所以=
11.5即a+b=2所以+=·=+≥+=当且仅当=即a=2b=时等号成立所以+的最小值为.【变式备选】已知m1xy满足约束条件若目标函数z=ax+bya0b0的最大值为3则+ A.有最小值B.有最大值C.有最小值D.有最大值【解析】选A.直线mx-y+5-m=0过x-y+4=0上的定点A
15.画出表示的可行域如图由图知z=ax+by过A15时最大值为a+5b=3所以+=a+5b=11++≥.
3.5分2018·合肥模拟已知ab为正实数直线x+y+a=0与圆x-b2+y-12=2相切则的取值范围是________. 【解析】因为x+y+a=0与圆x-b2+y-12=2相切所以d==所以a+b+1=2即a+b=1所以===b+1+-4≥2-4=
0.又因为ab为正实数所以的取值范围是0+∞.答案:0+∞
4.12分已知lg3x+lgy=lgx+y+
1.1求xy的最小值.2求x+y的最小值.【解析】由lg3x+lgy=lgx+y+1得1因为x0y0所以3xy=x+y+1≥2+
1.所以3xy-2-1≥0即32-2-1≥
0.所以3+1-1≥
0.所以≥
1.所以xy≥
1.当且仅当x=y=1时等号成立.所以xy的最小值为
1.2因为x0y0所以x+y+1=3xy≤3·.所以3x+y2-4x+y-4≥
0.所以[3x+y+2][x+y-2]≥
0.所以x+y≥
2.当且仅当x=y=1时取等号.所以x+y的最小值为
2.
5.13分如图建立平面直角坐标系xOyx轴在地平面上y轴垂直于地平面单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-1+k2x2k0表示的曲线上其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.1求炮的最大射程.2设在第一象限有一飞行物忽略其大小其飞行高度为
3.2千米试问它的横坐标a不超过多少时炮弹可以击中它请说明理由.【解析】1令y=0得kx-1+k2x2=
0.由实际意义和题设条件知x0k0故x==≤=10当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.2若炮弹可以击中目标则存在k0a0使
3.2=ka-1+k2a2成立故关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根所以有即a≤
6.所以当a不超过6千米时炮弹可以击中目标.。