全国通用版2019高考数学二轮复习专题五解析几何规范答题示例6直线与圆锥曲线的位置关系学案文

规范答题示例6　直线与圆锥曲线的位置关系典例6　12分在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C＋＝1ab0的离心率为，且点在椭圆C上．1求椭圆C的方程；2设椭圆E＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

①求的值；

②求△ABQ面积的最大值．审题路线图　1―→2

①―→

②―→―→规范解答·分步得分构建答题模板解　1由题意知＋＝

1.又＝，解得a2＝4，b2＝

1.所以椭圆C的方程为＋y2＝

1.2分2由1知椭圆E的方程为＋＝

1.

①设Px0，y0，＝λ，由题意知Q－λx0，－λy

0.因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝

2.5分

②设Ax1，y1，Bx2，y

2.将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得1＋4k2x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ0，可得m24＋16k2，*则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为0，m，所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝

2.8分设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得1＋4k2x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k

2.**由***可知0t≤1，因此S＝2＝2，故0S≤2，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值

2.由

①知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为

6.12分第一步求圆锥曲线方程根据基本量法确定圆锥曲线的方程.第二步联立消元将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系得等式.第三步找关系从题设中寻求变量的等量或不等关系.第四步建函数对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系.第五步得范围通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.评分细则　1第1问中，求a2－c2＝b2关系式直接得b＝1，扣1分；2第2问中，求时，给出P，Q的坐标关系给1分；无“Δ0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练6　2018·全国Ⅰ设抛物线C y2＝2x，点A2，0，B－20，过点A的直线l与C交于M，N两点．1当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；2证明∠ABM＝∠ABN.1解　当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为22或2，－2．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－

1.即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝

0.2证明　当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝kx－2k≠0，Mx1，y1，Nx2，y2，则x10，x

20.由得ky2－2y－4k＝0，显然方程有两个不等实根．所以y1＋y2＝，y1y2＝－

4.直线BM，BN的斜率之和kBM＋kBN＝＋＝.

①将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入

①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2y1＋y2＝＝＝

0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.。