还剩8页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
北京市2019年高考数学压轴卷理(含解析)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项
1.已知,则的值为()A.B.C.D.2.下列函数中,值域为R的偶函数是( )A.y=x2+1B.y=ex﹣e﹣xC.y=lg|x|D.3.若变量满足约束条件则的最大值为( )A.B.C.D.
4.某程序框图如图所示,执行该程序,若输入的值为1,则输出的值为()A.B.C.D.
5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是()A.27B.30C.32D.
366.“”是直线与直线平行的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知点及抛物线上一动点,则的最小值是()A.B.1C.2D.
38.设函数的定义域,如果存在正实数,使得对任意,都有,则称为上的“型增函数”,已知函数是定义在上的奇函数,且当时,().若为上的“20型增函数”,则实数的取值范围是()A.B.C.D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,满分30分.把答案填在题中的横线上.)
9.函数的最小正周期是,最小值是.10.已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是__________.
11.如果平面直角坐标系中的两点,关于直线对称,那么直线的方程为.
12.的二项展开式中项的系数为_________.(用数字作答)
13.若,,,,则,,有小到大排列为.
14.数列满足,给出下述命题
①若数列满足,则成立;
②存在常数,使得成立;
③若,则;
④存在常数,使得都成立.上述命题正确的是____.写出所有正确结论的序号
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)在中,已知,(Ⅰ)求的长;(Ⅱ)求边上的中线的长.
16.(本小题满分13分)自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况,随机抽取了100人,统计结果整理如下20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630
(1)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率;
(2)从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中,随机抽取3人进一步了解情况,用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望;
(3)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°,侧面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F分别为BC,AD的中点,点M在线段PD上.(Ⅰ)求证EF⊥平面PAC;(Ⅱ)若M为PD的中点,求证ME∥平面PAB;(Ⅲ)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等,求的值.
18.(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的极小值;(Ⅱ)当时,讨论的单调性;(Ⅲ)若函数在区间上有且只有一个零点,求的取值范围.
19.(本小题满分14分)已知圆的切线与椭圆相交于,两点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求证;
(3)求面积的最大值.
20.(本小题共13分)已知曲线的方程为.
(1)分别求出时,曲线所围成的图形的面积;
(2)若表示曲线所围成的图形的面积,求证关于是递增的;
(3)若方程,,没有正整数解,求证曲线上任一点对应的坐标,不能全是有理数.
1.【答案】A【解析】试题分析因为(1+bi)i=i+bi2=-b+i=-1+i,所以,.2.【答案】C【解析】试题分析y=x2+1是偶函数,值域为[1,+∞).y=ex﹣e﹣x是奇函数.y=lg|x|是偶函数,值域为R.的值域[0,+∞).故选C3.【答案】D【解析】作出约束条件表示的可行域,如图内部(含边界),作直线,是直线的纵截距,向上平移直线,增大,当直线过点时,为最大值.故选D.
4.【答案】C【解析】由题知a=1,i=1,a=2-1=1,i=2,否;a=3,i=3,否;a=6-3=3,i=4,是,则输出的a为3.
5.【答案】A.【解析】四棱锥的底面是边长为3的正方形,侧面是两个直角边长为3,4的直角三角形,两个直角边长为3,5的直角三角形,∴该四棱锥的侧面积是,故选A.6.【答案】B【解析】时,直线与直线不平行,所以直线与直线平行的充要条件是,即且,所以“”是直线与直线平行的必要不充分条件.故选B.
7.【答案】C.【解析】由抛物线的定义知,∴,∴,即当,,三点共线时,值最小,故选C.
8.【答案】B.【解析】若当时,,又∵是定义在上的奇函数,∴,符合题意;若当时,,又∵是定义在上的奇函数,∴大致的函数图象如下图所示,根据题意可知对于任意恒成立,∴问题等价于将的图象向左平移20个单位后得到的新的函数图象恒在图象上方,根据图象可知,即,综上实数的取值范围是,故选B.
9.【答案】.【解析】,最小值是,故填.10.【答案】【解析】,,恒成立,且,=因为恒成立,.
11.【答案】【解析】直线斜率为,所以斜率为1,设直线方程为,由已知直线过点,所以,即所以直线方程为
12.【答案】【解析】展开式通项为,令,,所以项的系数为.
13.【答案】【解析】取特殊值,令,,则,,,则,即
14.【答案】
①④.【解析】试题分析对
①;因为,所以,由已知,所以,即,正确对
②;假设存在在常数,使得,则有,所以应有最大值,错,对
③,因为,,所以假设,则应有,即原数列应为递增数列,错,对
④,不妨设,,则,若存在常数,使得,应有,显然成立,正确,所以正确命题的序号为
①④.
15.(本小题满分13分)解(Ⅰ)由,,所以.由正弦定理得,,即..………6分(Ⅱ)在中,.由余弦定理得,所以.所以.【答案】
(1);
(2)详见解析;
(3)2200.【解析】
(1)在随机抽取的100名顾客中,年龄在且未使用自由购的共有人,所以随机抽取1名顾客,估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为.
(2)所有的可能取值为1,2,3,;;.所以的分布列为123所以的数学期望为.
(3)在随机抽取的100名顾客中,使用自由购的共有人,所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.17.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)【解析】试题分析(Ⅰ)证明AB⊥AC.EF⊥AC.推出PA⊥底面ABCD,即可说明PA⊥EF,然后证明EF⊥平面PAC.(Ⅱ)证明MF∥PA,然后证明MF∥平面PAB,EF∥平面PAB.即可证明平面MEF∥平面PAB,从而证明ME∥平面PAB.(Ⅲ)以AB,AC,AP分别为x轴、y轴和z轴,如上图建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,平面ABCD的法向量,平面PBC的法向量,利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等,列出方程求解即可试题解析(Ⅰ)证明在平行四边形ABCD中,因为AB=AC,∠BCD=135°,∠ABC=45°.所以AB⊥AC.由E,F分别为BC,AD的中点,得EF∥AB,所以EF⊥AC.因为侧面PAB⊥底面ABCD,且∠BAP=90°,所以PA⊥底面ABCD.又因为EF⊂底面ABCD,所以PA⊥EF.又因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以EF⊥平面PAC.(Ⅱ)证明因为M为PD的中点,F分别为AD的中点,所以MF∥PA,又因为MF⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以MF∥平面PAB.同理,得EF∥平面PAB.又因为MF∩EF=F,MF⊂平面MEF,EF⊂平面MEF,所以平面MEF∥平面PAB.又因为ME⊂平面MEF,所以ME∥平面PAB.(Ⅲ)解因为PA⊥底面ABCD,AB⊥AC,所以AP,AB,AC两两垂直,故以AB,AC,AP分别为x轴、y轴和z轴,如上图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),D(﹣2,2,0),E(1,1,0),所以,,,设,则,所以M(﹣2λ,2λ,2﹣2λ),,易得平面ABCD的法向量=(0,0,1).设平面PBC的法向量为=(x,y,z),由,,得令x=1,得=(1,1,1).因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等,所以,即,所以,解得,或(舍).
18.(本小题满分14分)解Ⅰ当时,令解得,又因为当,,函数为减函数;当,,函数为增函数.所以,的极小值为.(Ⅱ).当时,由,得或.ⅰ若,则.故在上单调递增;(ⅱ)若,则.故当时,;当时,.所以在,单调递增,在单调递减.ⅲ若,则.故当时,;当时,.所以在,单调递增,在单调递减.(Ⅲ)1当时,,令,得.因为当时,,当时,,所以此时在区间上只有一个零点.2当时(ⅰ)当时,由(Ⅱ)可知在上单调递增,且,,此时在区间上有且只有一个零点.(ⅱ)当时,由(Ⅱ)的单调性结合,又,只需讨论的符号当时,,在区间上有且只有一个零点;当时,,函数在区间上无零点.ⅲ当时,由(Ⅱ)的单调性结合,,,此时在区间上有且只有一个零点.综上所述,.
19.(本小题满分14分)【答案】
(1);
(2)详见解析;
(3).【解析】试题分析
(1)根据题意以及椭圆中,,满足的关系式即可求解;
(2)联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证;
(3)建立的函数关系式,将问题转化为求函数最值.试题解析
(1)由题意可知,,∴,∴,∴椭圆的离心率为;
(2)若切线的斜率不存在,则,在中令得,不妨设,,则,∴,同理,当时,也有,若切线的斜率存在,设,依题意,即,由,得.显然,设,则,,∴,∴,∴,综上所述,总有成立;
(3)∵直线与圆相切,则圆半径即为的高,当的斜率不存在时,由
(2)可知,则,当的斜率存在时,由
(2)可知,,∴(当且仅当时,等号成立),∴,此时,综上所述,当且仅当时,面积的最大值为.
20.(本小题共13分)【答案】
(1);
(2)详见解析;
(3)详见解析.【解析】试题分析
(1)画出对应的取值的图形,根据图形即可求解;
(2)由于曲线具有对称性,只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增,再根据式子推导;
(3)根据条件中给出的结论利用反证法推导.试题解析
(1)当时,由图可知,;
(2)要证是关于递增的,只需证明,由于曲线具有对称性,只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增,现在考虑曲线与,因为
(1)因为,在1和2中令,,当,存在,使得,成立,此时必有,因为当时,所以,两边同时开次方有,.(指数函数单调性)这就得到了,从而是关于递增的;
(3)由于可等价转化为,反证若曲线上存在一点对应的坐标,,全是有理数,不妨设,,,且互质,互质,则由可得,,即,这时,,就是的一组解,这与方程,,没有正整数解矛盾,所以曲线上任一点对应的坐标,不能全是有理数.。