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组合增分练5 解答题组合练A
1.在数列{an}中a1={an}的前n项和Sn满足Sn+1-Sn=n∈N*.1求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn;2若S1+S2S1+S3mS2+S3成等差数列求实数m的值.
2.已知数列{an}是等比数列a2=4a3+2是a2和a4的等差中项.1求数列{an}的通项公式;2设bn=2log2an-1求数列{anbn}的前n项和Tn.
3.如图1在Rt△ABC中∠C=90°DE分别为ACAB的中点点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置使A1F⊥CD如图
2.1求证:DE∥平面A1CB;2求证:A1F⊥BE;3线段A1B上是否存在点Q使A1C⊥平面DEQ说明理由.
4.如图四边形ABCD为梯形AB∥CDPD⊥平面ABCD∠BAD=∠ADC=90°DC=2AB=2aDA=aE为BC中点.1求证:平面PBC⊥平面PDE;2线段PC上是否存在一点F使PA∥平面BDF若存在请找出具体位置并进行证明;若不存在请分析说明理由.
5.如图抛物线C:y2=2px的焦点为F抛物线上一定点Q
12.1求抛物线C的方程及准线l的方程;2过焦点F的直线不经过点Q与抛物线交于AB两点与准线l交于点M记QAQBQM的斜率分别为k1k2k3问是否存在常数λ使得k1+k2=λk3成立若存在λ求出λ的值;若不存在说明理由.
6.已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上左顶点为A左焦点为F1-20点B2在椭圆C上直线y=kxk≠0与椭圆C交于EF两点直线AEAF分别与y轴交于点MN.1求椭圆C的方程;2在x轴上是否存在点P使得无论非零实数k怎样变化总有∠MPN为直角若存在求出点P的坐标;若不存在请说明理由.组合增分练5答案
1.解1∵an+1=Sn+1-Sn=∴当n≥2时an=.又a1=因此n=1时也成立.∴an=∴Sn==1-.2由1可得S1=S2=S3=.∵S1+S2S1+S3mS2+S3成等差数列∴+m=2解得m=.
2.解1设数列{an}的公比为q因为a2=4所以a3=4qa4=4q
2.因为a3+2是a2和a4的等差中项所以2a3+2=a2+a4即24q+2=4+4q2化简得q2-2q=
0.因为公比q≠0所以q=
2.所以an=a2qn-2=4×2n-2=2nn∈N*.2因为an=2n所以bn=2log2an-1=2n-
1.所以anbn=2n-12n.则Tn=1×2+3×22+5×23+…+2n-32n-1+2n-12n
①2Tn=1×22+3×23+5×24+…+2n-32n+2n-12n+
1.
②①-
②得-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-2n-12n+1=2+2×-2n-12n+1=-6-2n-32n+1所以Tn=6+2n-32n+
1.
3.1证明因为DE分别为ACAB的中点所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB所以DE∥平面A1CB.2证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC所以DE⊥AC.所以DE⊥A1DDE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.3解线段A1B上存在点Q使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图分别取A1CA1B的中点PQ则PQ∥BC.又因为DE∥BC所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由2知DE⊥平面A1DC所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q使得A1C⊥平面DEQ.
4.1证明连接BD∠BAD=∠ADC=90°AB=aDA=a所以BD=DC=2a.因为E为BC中点所以BC⊥DE.又因为PD⊥平面ABCD所以BC⊥PD.因为DE∩PD=D所以BC⊥平面PDE.因为BC⊂平面PBC所以平面PBC⊥平面PDE.2解当点F位于PC三分之一分点靠近点P时PA∥平面BDF.连接ACBD交于点OAB∥CD所以△AOB∽△COD.又因为AB=DC所以AO=OC.从而在△CPA中AO=AC而PF=PC所以OF∥PA.而OF⊂平面BDFPA⊄平面BDF所以PA∥平面BDF.
5.解1把Q12代入y2=2px得2p=4所以抛物线方程为y2=4x准线l的方程为x=-
1.2由条件可设直线AB的方程为y=kx-1k≠
0.由抛物线准线l:x=-1可知M-1-2k.又Q12所以k3==k+
1.把直线AB的方程y=kx-1代入抛物线方程y2=4x并整理可得k2x2-2k2+2x+k2=0设Ax1y1Bx2y2则x1+x2=x1x2=
1.因为Q12所以k1=k2=.因为AFB三点共线所以kAF=kBF=k即=k所以k1+k2==2k+1即存在常数λ=2使得k1+k2=2k3成立.
6.解1方法1设椭圆C的方程为=1ab0因为椭圆的左焦点为F1-20所以a2-b2=
4.设椭圆的右焦点为F220已知点B2在椭圆C上由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a所以2a=3=
4.所以a=2从而b=
2.所以椭圆C的方程为=
1.方法2设椭圆C的方程为=1ab0因为椭圆的左焦点为F1-20所以a2-b2=
4.
①因为点B2在椭圆C上所以=
1.
②由
①②解得a2=8b2=
4.所以椭圆C的方程为=
1.2方法1因为椭圆C的左端点为A则点A的坐标为-
20.因为直线y=kxk≠0与椭圆=1交于两点EF设点Ex0y0则点F-x0-y0所以直线AE的方程为y=x+
2.因为直线AE与y轴交于点M令x=0得y=即点M.同理可得点N.假设在x轴上存在点Pt0使得∠MPN为直角则=0即t2+=0即t2+=
0.※因为点Ex0y0在椭圆C上所以=1即.将代入※得t2-4=0解得t=2或t=-
2.故存在点P20或P-20无论非零实数k怎样变化总有∠MPN为直角.方法2因为椭圆C的左顶点为A则点A的坐标为-
20.因为直线y=kxk≠0与椭圆=1交于两点EF设点E2cosθ2sinθ0θπ则点F-2cosθ-2sinθ.所以直线AE的方程为y=x+
2.因为直线AE与y轴交于点M令x=0得y=即点M.同理可得点N.假设在x轴上存在点Pt0使得∠MPN为直角则=
0.即t2+=0即t2-4=0解得t=2或t=-
2.故存在点P20或P-20无论非零实数k怎样变化总有∠MPN为直角.。
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