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第四节函数的图象1．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为1
①确定函数的定义域；
②化简函数的解析式；
③讨论函数的性质奇偶性、单调性、周期性．2列表注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点．3描点，连线．2．图象变换1平移变换
①y＝fx的图象y＝fx－a的图象；
②y＝fx的图象y＝fx＋b的图象．2对称变换
①y＝fx的图象y＝－fx的图象；
②y＝fx的图象y＝f－x的图象；
③y＝fx的图象y＝－f－x的图象；
④y＝axa＞0且a≠1的图象y＝logaxa＞0且a≠1的图象．3伸缩变换
①y＝fx的图象
②y＝fx的图象y＝afx的图象．4翻转变换
①y＝fx的图象y＝|fx|的图象；
②y＝fx的图象y＝f|x|的图象．[小题体验]1．fx的图象如图所示，则fx＝________.答案fx＝2．函数fx的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则fx＝________.解析与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝fx的图象，所以fx＝e－x＋1＝e－x－
1.答案e－x－13．2018·扬州期末若函数y＝fx的图象经过点12，则函数y＝f－x＋1的图象必经过的点的坐标是________．解析把函数y＝fx的图象关于y轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y＝f－x＋1的图象．把函数y＝fx的图象上的点12关于y轴对称，再向上平移1个单位，可得点－13，故函数y＝f－x＋1的图象必定经过的点的坐标是－13．答案－131．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f－2x的图象到f－2x＋1的图象是向右平移个单位，其中是把x变成x－.2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y＝f|x|的图象属于自身对称，而y＝fx与y＝f－x的图象关于y轴对称是两个函数．[小题纠偏]1．函数y＝5x与函数y＝－的图象关于________对称．答案原点2．把函数y＝f2x的图象向右平移________个单位得到函数y＝f2x－3的图象．答案 [题组练透]分别画出下列函数的图象1y＝|lgx|；2y＝2x＋2；3y＝x2－2|x|－
1.解1y＝图象如图
1.2将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图
2. 3y＝图象如图
3.[谨记通法]作函数图象的3种常用方法 [典例引领]1．若函数fx＝的图象如图所示，则f－3＝________.解析由图象可得－a＋b＝3，ln－1＋a＝0，得a＝2，b＝5，所以fx＝故f－3＝2×－3＋5＝－
1.答案－12．2019·启东检测若函数fx＝|ax＋b|a＞0，a≠1，b∈R的图象如图所示，则a＋b的取值范围是________．解析由图可得，函数fx的零点为，即＋b＝
0.由图可得，当x＞时，函数fx为增函数，故a＞1，所以a＋b＝a－＝2－∈0，＋∞．答案0，＋∞[由题悟法]识图3种常用的方法[即时应用]1．已知y＝fx的图象如图所示，则fx的值域为________．解析由图象易知fx的值域为－∞，－1]∪13．答案－∞，－1]∪132．如图，函数fx的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为00，12，31，则f＝________.解析由图象知f3＝1，所以＝1，所以f＝f1＝
2.答案2 [锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有1研究函数的性质；2求参数的值或范围；3研究不等式；4确定方程根零点的个数．详见本章第八节考点二[题点全练]角度一研究函数的性质1．已知函数fx＝|x2－4x＋3|.1求函数fx的单调区间，并指出其增减性；2求集合M＝{m|使方程fx＝m有四个不相等的实根}．解fx＝作出函数fx的图象如图所示．1由图知函数fx的单调递增区间为
[12]和[3，＋∞，单调递减区间为－∞，1]和
[23]．2由图象可知，若y＝fx与y＝m图象有四个不同的交点，则0＜m＜1，所以集合M＝{m|0＜m＜1}．角度二求参数的值或范围2．2019·苏州实验中学测试定义min{a，b}＝已知函数fx＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝fx的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．解析设gx＝min{x，x2－4x＋4}，则fx＝gx＋4，故把gx的图象向上平移4个单位长度，可得fx的图象，函数fx＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由直线y＝m与函数y＝fx的图象有3个交点，可得m的取值范围为45．答案45角度三研究不等式3．2018·启东中学测试如图所示，函数y＝fx的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，则不等式fx＞f－x－2x的解集是________．解析由图象可知，函数fx为奇函数，故原不等式可等价转化为fx＞－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝fx与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为－10∪1，]．答案－10∪1，]4．若不等式x－12＜logaxa＞0，且a≠1在x∈12内恒成立，则实数a的取值范围为________．解析要使当x∈12时，不等式x－12＜logax恒成立，只需函数y＝x－12在12上的图象在y＝logax的图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图，要使x∈12时，y＝x－12的图象在y＝logax的图象的下方，只需2－12≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是12]．答案12][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略1研究函数性质
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．2研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值范围构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．3研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]1．已知函数fx＝若f3－a2＜f2a，则实数a的取值范围是________．解析如图，画出fx的图象，由图象易得fx在R上单调递减，因为f3－a2＜f2a，所以3－a2＞2a，解得－3＜a＜
1.答案－312．2019·扬州中学高三调研已知函数fx＝的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是________．解析若x＞0，则－x＜0，∵x＜0时，fx＝sin－1，∴f－x＝sin－1＝－sin－1，则若fx＝sin－1，x＜0关于y轴对称，则f－x＝－sin－1＝fx，设gx＝－sin－1，x＞0，作出函数gx的大致图象如图所示．要满足题意，则须使gx＝－sin－1，x＞0与fx＝logax，x＞0的图象恰有9个交点，则0＜a＜1，且满足f17＞g17＝－2，f21＜g21＝－2，即－2＜loga17，loga21＜－2，解得＜a＜.答案一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知函数fx＝x2＋1，若0＜x1＜x2，则fx1与fx2的大小关系为________．解析作出函数图象图略，知fx在0，＋∞上单调递增，所以fx1＜fx2．答案fx2＞fx12．2018·常州一中期末将函数y＝ex的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为________．解析将函数y＝ex的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y＝e2x，再向右平移2个单位，可得y＝e2x－2＝e2x－
4.答案y＝e2x－43．2018·前黄中学月考设函数y＝fx＋1是定义在－∞，0∪0，＋∞的偶函数，在区间－∞，0是减函数，且图象过点10，则不等式x－1fx≤0的解集为________．解析y＝fx＋1向右平移1个单位得到y＝fx的图象，由已知可得fx的图象的对称轴为x＝1，过定点20，且函数在－∞，1上递减，在1，＋∞上递增，则fx的大致图象如图所示．不等式x－1fx≤0可化为或由图可知符合条件的解集为－∞，0]∪12]．答案－∞，0]∪12]4．使log2－x＜x＋1成立的x的取值范围是________．解析在同一坐标系内作出y＝log2－x，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈－10．答案－105．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析由题意a＝|x|＋x令y＝|x|＋x＝图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a＞
0.答案0，＋∞6．设函数fx＝若ffa≤2，则实数a的取值范围是________．解析函数fx的图象如图所示，令t＝fa，则ft≤2，由图象知t≥－2，所以fa≥－2，当a＜0时，由a2＋a≥－2，即a2＋a＋2≥0恒成立，当a≥0时，由－a2≥－2，得0≤a≤，故a≤.答案－∞，]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知fx＝x，若fx的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为gx，则gx的表达式为________．解析设gx上的任意一点Ax，y，则该点关于直线x＝1的对称点为B2－x，y，而该点在fx的图象上．所以y＝2－x＝3x－2，即gx＝3x－
2.答案gx＝3x－22．如图，定义在[－1，＋∞上的函数fx的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则fx的解析式为________．解析当－1≤x≤0时，设解析式为fx＝kx＋bk≠0，则解得∴当－1≤x≤0时，fx＝x＋
1.当x＞0时，设解析式为fx＝ax－22－1a＞0，∵图象过点40，∴0＝a4－22－1，∴a＝，∴当x＞0时，fx＝x－22－1＝x2－x.故函数fx的解析式为fx＝答案fx＝3．2019·江阴中学检测方程x2－|x|＋a＝1有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．解析方程解的个数可转化为函数y＝x2－|x|的图象与直线y＝1－a交点的个数，作出两函数的图象如图，易知－＜1－a＜0，所以1＜a＜.答案4．2019·启东中学期中设奇函数fx的定义域为[－55]，若当x∈
[05]时，fx的图象如图，则不等式≤0的解集为________．解析不等式≤0，等价于或由图象可知当1＜x≤5时，由fx≤0，解得2≤x≤
5.当0≤x＜1时，由fx≥0，解得0≤x＜1，因为fx为奇函数，当－2＜x＜0时，由fx≥0，此时无解，当－5≤x≤－2时，由fx≥0，解得－5≤x≤－2，故不等式的解集为[－5，－2]∪[01∪
[25]．答案[－5，－2]∪[01∪
[25]5．已知函数fx的定义域为R，且fx＝若方程fx＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．解析x≤0时，fx＝2－x－1，0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，fx＝fx－1＝2－x－1－
1.故x＞0时，fx是周期函数，如图所示．若方程fx＝x＋a有两个不同的实数根，则函数fx的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a＜1，即a的取值范围是－∞，1．答案－∞，16．2019·镇江中学测试已知函数fx＝若a，b，c互不相等，且fa＝fb＝fc，则a＋b＋c的取值范围是________．解析作出函数fx的图象如图所示，不妨设a＜b＜c，则b＋c＝2×12＝24，a∈110，则a＋b＋c＝24＋a∈2534．答案25347．2019·徐州调研设函数fx＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－
1.2]＝－2，[
1.2]＝1，若直线y＝kx＋kk＞0与函数y＝fx的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是________．解析∵函数fx＝∴作出函数fx的图象如图所示．∵y＝kx＋k＝kx＋1，故该直线的图象一定过点－10，若y＝kx＋k与y＝fx的图象有三个不同的交点，则fx＝kx＋k有三个不同的根，∵k＞0，∴当y＝kx＋k过点21时，k＝，当y＝kx＋k过点31时，k＝，要使fx＝kx＋k有三个不同的根，则实数k的取值范围是.答案8．2019·金陵中学月考已知y＝fx是偶函数，y＝gx是奇函数，它们的定义域均为[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式fx·gx＜0的解集是________．解析fx·gx＜0⇒fx与gx在同一区间内符号相反，由图可知，当x∈[0，π]时，两者异号的区间为.又fx为偶函数，gx为奇函数，∴当x∈[－π，0时，两者异号的区间为，∴fx·gx＜0的解集是∪.答案∪9．2018·盐城一中测试已知函数fx＝x|m－x|x∈R，且f4＝
0.1求实数m的值；2作出函数fx的图象并判断其零点个数；3根据图象指出fx的单调递减区间；4根据图象写出不等式fx＞0的解集；5求集合M＝{m|使方程fx＝m有三个不相等的实根}．解1因为f4＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝
4.2因为fx＝x|4－x|＝即fx＝所以函数fx的图象如图所示．由图象知函数fx有两个零点．3从图象上观察可知fx的单调递减区间为
[24]．4从图象上观察可知不等式fx＞0的解集为{x|0＜x＜4或x＞4}．5由图象可知若y＝fx与y＝m的图象有三个不同的交点，则0＜m＜4，所以集合M＝{m|0＜m＜4}．10．已知函数fx＝2x，x∈R.1当m取何值时方程|fx－2|＝m有一个解？两个解？2若不等式f2x＋fx－m＞0在R上恒成立，求m的取值范围．解1令Fx＝|fx－2|＝|2x－2|，Gx＝m，画出Fx的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数Fx与Gx的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m＜2时，函数Fx与Gx的图象有两个交点，原方程有两个解．2令fx＝tt＞0，Ht＝t2＋t，因为Ht＝2－在区间0，＋∞上是增函数，所以Ht＞H0＝
0.因此要使t2＋t＞m在区间0，＋∞上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为－∞，0]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于函数fx＝lg|x－2|＋1，给出如下三个命题
①fx＋2是偶函数；
②fx在区间－∞，2上是减函数，在区间2，＋∞上是增函数；
③fx没有最小值．其中正确命题的个数为________．解析因为函数fx＝lg|x－2|＋1，所以函数fx＋2＝lg|x|＋1是偶函数；由y＝lgxy＝lgx＋1y＝lg|x|＋1y＝lg|x－2|＋1，如图，可知fx在－∞，2上是减函数，在2，＋∞上是增函数；由图象可知函数存在最小值为
0.所以
①②正确．答案22．已知函数fx的图象与函数hx＝x＋＋2的图象关于点A01对称．1求fx的解析式；2若gx＝fx＋，且gx在区间02]上为减函数，求实数a的取值范围．解1设fx图象上任一点Px，y，则点P关于01点的对称点P′－x2－y在hx的图象上，即2－y＝－x－＋2，所以y＝fx＝x＋x≠0．2gx＝fx＋＝x＋，g′x＝1－.因为gx在02]上为减函数，所以1－≤0在02]上恒成立，即a＋1≥x2在02]上恒成立，所以a＋1≥4，即a≥3，故实数a的取值范围是[3，＋∞．命题点一 函数的概念及其表示1．2018·江苏高考函数fx＝的定义域为________．解析由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，所以函数fx＝的定义域为{x|x≥2}．答案{x|x≥2}2．2016·江苏高考函数y＝的定义域是________．解析要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得x－1x＋3≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－31]．答案[－31]3．2016·浙江高考设函数fx＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且fx－fa＝x－bx－a2，x∈R，则实数a＝____，b＝________.解析因为fx＝x3＋3x2＋1，所以fa＝a3＋3a2＋1，所以fx－fa＝x－bx－a2＝x－bx2－2ax＋a2＝x3－2a＋bx2＋a2＋2abx－a2b＝x3＋3x2－a3－3a
2.由此可得因为a≠0，所以由
②得a＝－2b，代入
①式得b＝1，a＝－
2.答案－2 14．2018·全国卷Ⅰ改编设函数fx＝则满足fx＋1＜f2x的x的取值范围是________．解析法一
①当即x≤－1时，fx＋1＜f2x，即为2－x＋1＜2－2x，即－x＋1＜－2x，解得x＜
1.因此不等式的解集为－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，fx＋1＜f2x，即为1＜2－2x，解得x＜
0.因此不等式的解集为－10．
④当即x＞0时，fx＋1＝1，f2x＝1，不合题意．综上，不等式fx＋1＜f2x的解集为－∞，0．法二∵fx＝∴函数fx的图象如图所示．结合图象知，要使fx＋1＜f2x，则需或∴x＜
0.答案－∞，0命题点二 函数的基本性质
1.2016·江苏高考设fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－11上，fx＝其中a∈R.若f＝f，则f5a的值是________．解析因为函数fx的周期为2，结合在[－11上fx的解析式，得f＝f＝f＝－＋a，f＝f＝f＝＝.由f＝f，得－＋a＝，解得a＝.所以f5a＝f3＝f4－1＝f－1＝－1＋＝－.答案－2．2013·江苏高考已知fx是定义在R上的奇函数．当x＞0时，fx＝x2－4x，则不等式fx＞x的解集用区间表示为________．解析由于fx为R上的奇函数，所以当x＝0时，f0＝0；当x＜0时，－x＞0，所以f－x＝x2＋4x＝－fx，即fx＝－x2－4x，所以fx＝由fx＞x，可得或解得x＞5或－5＜x＜0，所以原不等式的解集为－50∪5，＋∞．答案－50∪5，＋∞3．2018·全国卷Ⅱ改编已知fx是定义域为－∞，＋∞的奇函数，满足f1－x＝f1＋x．若f1＝2，则f1＋f2＋f3＋…＋f50＝________.解析法一∵fx是奇函数，∴f－x＝－fx，∴f1－x＝－fx－1．由f1－x＝f1＋x，得－fx－1＝fx＋1，∴fx＋2＝－fx，∴fx＋4＝－fx＋2＝fx，∴函数fx是周期为4的周期函数．由fx为奇函数得f0＝
0.又∵f1－x＝f1＋x，∴fx的图象关于直线x＝1对称，∴f2＝f0＝0，∴f－2＝
0.又f1＝2，∴f－1＝－2，∴f1＋f2＋f3＋f4＝f1＋f2＋f－1＋f0＝2＋0－2＋0＝0，∴f1＋f2＋f3＋f4＋…＋f49＋f50＝0×12＋f49＋f50＝f1＋f2＝2＋0＝
2.法二由题意可设fx＝2sin，作出fx的部分图象如图所示．由图可知，fx的一个周期为4，∴f1＋f2＋f3＋…＋f50＝12[f1＋f2＋f3＋f4]＋f49＋f50＝12×0＋f1＋f2＝
2.答案24．2017·全国卷Ⅱ改编函数fx＝lnx2－2x－8的单调递增区间是________．解析由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－
2.因此，函数fx＝lnx2－2x－8的定义域是－∞，－2∪4，＋∞．注意到函数y＝x2－2x－8在4，＋∞上单调递增，由复合函数的单调性知，fx＝lnx2－2x－8的单调递增区间是4，＋∞．答案4，＋∞5．2017·全国卷Ⅱ已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x∈－∞，0时，fx＝2x3＋x2，则f2＝________.解析由已知得，f－2＝2×－23＋－22＝－12，又函数fx是奇函数，所以f2＝－f－2＝
12.答案126．2017·山东高考已知fx是定义在R上的偶函数，且fx＋4＝fx－2．若当x∈[－30]时，fx＝6－x，则f919＝________.解析因为fx＋4＝fx－2，所以fx＋6＝fx，所以fx的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f919＝f1．又fx为偶函数，所以f919＝f1＝f－1＝
6.答案6命题点三 函数的图象
1.2016·全国卷Ⅱ改编已知函数fxx∈R满足f－x＝2－fx，若函数y＝与y＝fx图象的交点为x1，y1，x2，y2，…，xm，ym，则xi＋yi＝________.解析因为f－x＝2－fx，所以f－x＋fx＝
2.因为＝0，＝1，所以函数y＝fx的图象关于点01对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点01对称．所以函数y＝与y＝fx图象的交点x1，y1，x2，y2，…，xm，ym成对出现，且每一对均关于点01对称，所以i＝0，i＝2×＝m，所以xi＋yi＝m.答案m2．2015·全国卷Ⅱ已知函数fx＝ax3－2x的图象过点－14，则a＝________.解析因为fx＝ax3－2x的图象过点－14，所以4＝a×－13－2×－1，解得a＝－
2.答案－2。
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