还剩15页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第四节函数的图象1.描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线,具体为1
①确定函数的定义域;
②化简函数的解析式;
③讨论函数的性质奇偶性、单调性、周期性.2列表注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点.3描点,连线.2.图象变换1平移变换
①y=fx的图象y=fx-a的图象;
②y=fx的图象y=fx+b的图象.2对称变换
①y=fx的图象y=-fx的图象;
②y=fx的图象y=f-x的图象;
③y=fx的图象y=-f-x的图象;
④y=axa>0且a≠1的图象y=logaxa>0且a≠1的图象.3伸缩变换
①y=fx的图象
②y=fx的图象y=afx的图象.4翻转变换
①y=fx的图象y=|fx|的图象;
②y=fx的图象y=f|x|的图象.[小题体验]1.fx的图象如图所示,则fx=________.答案fx=2.函数fx的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则fx=________.解析与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y=e-x,将函数y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=fx的图象,所以fx=e-x+1=e-x-
1.答案e-x-13.2018·扬州期末若函数y=fx的图象经过点12,则函数y=f-x+1的图象必经过的点的坐标是________.解析把函数y=fx的图象关于y轴对称,再向上平移1个单位,可得函数y=f-x+1的图象.把函数y=fx的图象上的点12关于y轴对称,再向上平移1个单位,可得点-13,故函数y=f-x+1的图象必定经过的点的坐标是-13.答案-131.函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言,如从f-2x的图象到f-2x+1的图象是向右平移个单位,其中是把x变成x-.2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同,前者是自身对称,且为偶函数,后者是两个不同函数的对称关系.如函数y=f|x|的图象属于自身对称,而y=fx与y=f-x的图象关于y轴对称是两个函数.[小题纠偏]1.函数y=5x与函数y=-的图象关于________对称.答案原点2.把函数y=f2x的图象向右平移________个单位得到函数y=f2x-3的图象.答案 [题组练透]分别画出下列函数的图象1y=|lgx|;2y=2x+2;3y=x2-2|x|-
1.解1y=图象如图
1.2将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图
2. 3y=图象如图
3.[谨记通法]作函数图象的3种常用方法 [典例引领]1.若函数fx=的图象如图所示,则f-3=________.解析由图象可得-a+b=3,ln-1+a=0,得a=2,b=5,所以fx=故f-3=2×-3+5=-
1.答案-12.2019·启东检测若函数fx=|ax+b|a>0,a≠1,b∈R的图象如图所示,则a+b的取值范围是________.解析由图可得,函数fx的零点为,即+b=
0.由图可得,当x>时,函数fx为增函数,故a>1,所以a+b=a-=2-∈0,+∞.答案0,+∞[由题悟法]识图3种常用的方法[即时应用]1.已知y=fx的图象如图所示,则fx的值域为________.解析由图象易知fx的值域为-∞,-1]∪13.答案-∞,-1]∪132.如图,函数fx的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为00,12,31,则f=________.解析由图象知f3=1,所以=1,所以f=f1=
2.答案2 [锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.常见的命题角度有1研究函数的性质;2求参数的值或范围;3研究不等式;4确定方程根零点的个数.详见本章第八节考点二[题点全练]角度一研究函数的性质1.已知函数fx=|x2-4x+3|.1求函数fx的单调区间,并指出其增减性;2求集合M={m|使方程fx=m有四个不相等的实根}.解fx=作出函数fx的图象如图所示.1由图知函数fx的单调递增区间为
[12]和[3,+∞,单调递减区间为-∞,1]和
[23].2由图象可知,若y=fx与y=m图象有四个不同的交点,则0<m<1,所以集合M={m|0<m<1}.角度二求参数的值或范围2.2019·苏州实验中学测试定义min{a,b}=已知函数fx=min{x,x2-4x+4}+4,若动直线y=m与函数y=fx的图象有3个交点,则实数m的取值范围为________.解析设gx=min{x,x2-4x+4},则fx=gx+4,故把gx的图象向上平移4个单位长度,可得fx的图象,函数fx=min{x,x2-4x+4}+4的图象如图所示,由直线y=m与函数y=fx的图象有3个交点,可得m的取值范围为45.答案45角度三研究不等式3.2018·启东中学测试如图所示,函数y=fx的图象是圆x2+y2=2上的两段弧,则不等式fx>f-x-2x的解集是________.解析由图象可知,函数fx为奇函数,故原不等式可等价转化为fx>-x,在同一平面直角坐标系中分别作出y=fx与y=-x的图象,由图象可知不等式的解集为-10∪1,].答案-10∪1,]4.若不等式x-12<logaxa>0,且a≠1在x∈12内恒成立,则实数a的取值范围为________.解析要使当x∈12时,不等式x-12<logax恒成立,只需函数y=x-12在12上的图象在y=logax的图象的下方即可.当0<a<1时,显然不成立;当a>1时,如图,要使x∈12时,y=x-12的图象在y=logax的图象的下方,只需2-12≤loga2,即loga2≥1,解得1<a≤2,故实数a的取值范围是12].答案12][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略1研究函数性质
①根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
②从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
④从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点等.2研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值范围构造函数,转化为两函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.3研究不等式当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.[演练冲关]1.已知函数fx=若f3-a2<f2a,则实数a的取值范围是________.解析如图,画出fx的图象,由图象易得fx在R上单调递减,因为f3-a2<f2a,所以3-a2>2a,解得-3<a<
1.答案-312.2019·扬州中学高三调研已知函数fx=的图象上关于y轴对称的点恰有9对,则实数a的取值范围是________.解析若x>0,则-x<0,∵x<0时,fx=sin-1,∴f-x=sin-1=-sin-1,则若fx=sin-1,x<0关于y轴对称,则f-x=-sin-1=fx,设gx=-sin-1,x>0,作出函数gx的大致图象如图所示.要满足题意,则须使gx=-sin-1,x>0与fx=logax,x>0的图象恰有9个交点,则0<a<1,且满足f17>g17=-2,f21<g21=-2,即-2<loga17,loga21<-2,解得<a<.答案一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.已知函数fx=x2+1,若0<x1<x2,则fx1与fx2的大小关系为________.解析作出函数图象图略,知fx在0,+∞上单调递增,所以fx1<fx2.答案fx2>fx12.2018·常州一中期末将函数y=ex的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,再向右平移2个单位,所得函数的解析式为________.解析将函数y=ex的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,可得y=e2x,再向右平移2个单位,可得y=e2x-2=e2x-
4.答案y=e2x-43.2018·前黄中学月考设函数y=fx+1是定义在-∞,0∪0,+∞的偶函数,在区间-∞,0是减函数,且图象过点10,则不等式x-1fx≤0的解集为________.解析y=fx+1向右平移1个单位得到y=fx的图象,由已知可得fx的图象的对称轴为x=1,过定点20,且函数在-∞,1上递减,在1,+∞上递增,则fx的大致图象如图所示.不等式x-1fx≤0可化为或由图可知符合条件的解集为-∞,0]∪12].答案-∞,0]∪12]4.使log2-x<x+1成立的x的取值范围是________.解析在同一坐标系内作出y=log2-x,y=x+1的图象,知满足条件的x∈-10.答案-105.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是________.解析由题意a=|x|+x令y=|x|+x=图象如图所示,故要使a=|x|+x只有一解,则a>
0.答案0,+∞6.设函数fx=若ffa≤2,则实数a的取值范围是________.解析函数fx的图象如图所示,令t=fa,则ft≤2,由图象知t≥-2,所以fa≥-2,当a<0时,由a2+a≥-2,即a2+a+2≥0恒成立,当a≥0时,由-a2≥-2,得0≤a≤,故a≤.答案-∞,]二保高考,全练题型做到高考达标1.已知fx=x,若fx的图象关于直线x=1对称的图象对应的函数为gx,则gx的表达式为________.解析设gx上的任意一点Ax,y,则该点关于直线x=1的对称点为B2-x,y,而该点在fx的图象上.所以y=2-x=3x-2,即gx=3x-
2.答案gx=3x-22.如图,定义在[-1,+∞上的函数fx的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则fx的解析式为________.解析当-1≤x≤0时,设解析式为fx=kx+bk≠0,则解得∴当-1≤x≤0时,fx=x+
1.当x>0时,设解析式为fx=ax-22-1a>0,∵图象过点40,∴0=a4-22-1,∴a=,∴当x>0时,fx=x-22-1=x2-x.故函数fx的解析式为fx=答案fx=3.2019·江阴中学检测方程x2-|x|+a=1有四个不同的实数解,则a的取值范围是________.解析方程解的个数可转化为函数y=x2-|x|的图象与直线y=1-a交点的个数,作出两函数的图象如图,易知-<1-a<0,所以1<a<.答案4.2019·启东中学期中设奇函数fx的定义域为[-55],若当x∈
[05]时,fx的图象如图,则不等式≤0的解集为________.解析不等式≤0,等价于或由图象可知当1<x≤5时,由fx≤0,解得2≤x≤
5.当0≤x<1时,由fx≥0,解得0≤x<1,因为fx为奇函数,当-2<x<0时,由fx≥0,此时无解,当-5≤x≤-2时,由fx≥0,解得-5≤x≤-2,故不等式的解集为[-5,-2]∪[01∪
[25].答案[-5,-2]∪[01∪
[25]5.已知函数fx的定义域为R,且fx=若方程fx=x+a有两个不同实根,则a的取值范围为________.解析x≤0时,fx=2-x-1,0<x≤1时,-1<x-1≤0,fx=fx-1=2-x-1-
1.故x>0时,fx是周期函数,如图所示.若方程fx=x+a有两个不同的实数根,则函数fx的图象与直线y=x+a有两个不同交点,故a<1,即a的取值范围是-∞,1.答案-∞,16.2019·镇江中学测试已知函数fx=若a,b,c互不相等,且fa=fb=fc,则a+b+c的取值范围是________.解析作出函数fx的图象如图所示,不妨设a<b<c,则b+c=2×12=24,a∈110,则a+b+c=24+a∈2534.答案25347.2019·徐州调研设函数fx=其中[x]表示不超过x的最大整数,如[-
1.2]=-2,[
1.2]=1,若直线y=kx+kk>0与函数y=fx的图象有三个不同的交点,则k的取值范围是________.解析∵函数fx=∴作出函数fx的图象如图所示.∵y=kx+k=kx+1,故该直线的图象一定过点-10,若y=kx+k与y=fx的图象有三个不同的交点,则fx=kx+k有三个不同的根,∵k>0,∴当y=kx+k过点21时,k=,当y=kx+k过点31时,k=,要使fx=kx+k有三个不同的根,则实数k的取值范围是.答案8.2019·金陵中学月考已知y=fx是偶函数,y=gx是奇函数,它们的定义域均为[-π,π],且它们在x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式fx·gx<0的解集是________.解析fx·gx<0⇒fx与gx在同一区间内符号相反,由图可知,当x∈[0,π]时,两者异号的区间为.又fx为偶函数,gx为奇函数,∴当x∈[-π,0时,两者异号的区间为,∴fx·gx<0的解集是∪.答案∪9.2018·盐城一中测试已知函数fx=x|m-x|x∈R,且f4=
0.1求实数m的值;2作出函数fx的图象并判断其零点个数;3根据图象指出fx的单调递减区间;4根据图象写出不等式fx>0的解集;5求集合M={m|使方程fx=m有三个不相等的实根}.解1因为f4=0,所以4|m-4|=0,即m=
4.2因为fx=x|4-x|=即fx=所以函数fx的图象如图所示.由图象知函数fx有两个零点.3从图象上观察可知fx的单调递减区间为
[24].4从图象上观察可知不等式fx>0的解集为{x|0<x<4或x>4}.5由图象可知若y=fx与y=m的图象有三个不同的交点,则0<m<4,所以集合M={m|0<m<4}.10.已知函数fx=2x,x∈R.1当m取何值时方程|fx-2|=m有一个解?两个解?2若不等式f2x+fx-m>0在R上恒成立,求m的取值范围.解1令Fx=|fx-2|=|2x-2|,Gx=m,画出Fx的图象如图所示.由图象可知,当m=0或m≥2时,函数Fx与Gx的图象只有一个交点,原方程有一个解;当0<m<2时,函数Fx与Gx的图象有两个交点,原方程有两个解.2令fx=tt>0,Ht=t2+t,因为Ht=2-在区间0,+∞上是增函数,所以Ht>H0=
0.因此要使t2+t>m在区间0,+∞上恒成立,应有m≤0,即所求m的取值范围为-∞,0].三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.对于函数fx=lg|x-2|+1,给出如下三个命题
①fx+2是偶函数;
②fx在区间-∞,2上是减函数,在区间2,+∞上是增函数;
③fx没有最小值.其中正确命题的个数为________.解析因为函数fx=lg|x-2|+1,所以函数fx+2=lg|x|+1是偶函数;由y=lgxy=lgx+1y=lg|x|+1y=lg|x-2|+1,如图,可知fx在-∞,2上是减函数,在2,+∞上是增函数;由图象可知函数存在最小值为
0.所以
①②正确.答案22.已知函数fx的图象与函数hx=x++2的图象关于点A01对称.1求fx的解析式;2若gx=fx+,且gx在区间02]上为减函数,求实数a的取值范围.解1设fx图象上任一点Px,y,则点P关于01点的对称点P′-x2-y在hx的图象上,即2-y=-x-+2,所以y=fx=x+x≠0.2gx=fx+=x+,g′x=1-.因为gx在02]上为减函数,所以1-≤0在02]上恒成立,即a+1≥x2在02]上恒成立,所以a+1≥4,即a≥3,故实数a的取值范围是[3,+∞.命题点一 函数的概念及其表示1.2018·江苏高考函数fx=的定义域为________.解析由log2x-1≥0,即log2x≥log22,解得x≥2,所以函数fx=的定义域为{x|x≥2}.答案{x|x≥2}2.2016·江苏高考函数y=的定义域是________.解析要使函数有意义,需3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,得x-1x+3≤0,即-3≤x≤1,故所求函数的定义域为[-31].答案[-31]3.2016·浙江高考设函数fx=x3+3x2+1,已知a≠0,且fx-fa=x-bx-a2,x∈R,则实数a=____,b=________.解析因为fx=x3+3x2+1,所以fa=a3+3a2+1,所以fx-fa=x-bx-a2=x-bx2-2ax+a2=x3-2a+bx2+a2+2abx-a2b=x3+3x2-a3-3a
2.由此可得因为a≠0,所以由
②得a=-2b,代入
①式得b=1,a=-
2.答案-2 14.2018·全国卷Ⅰ改编设函数fx=则满足fx+1<f2x的x的取值范围是________.解析法一
①当即x≤-1时,fx+1<f2x,即为2-x+1<2-2x,即-x+1<-2x,解得x<
1.因此不等式的解集为-∞,-1].
②当时,不等式组无解.
③当即-1<x≤0时,fx+1<f2x,即为1<2-2x,解得x<
0.因此不等式的解集为-10.
④当即x>0时,fx+1=1,f2x=1,不合题意.综上,不等式fx+1<f2x的解集为-∞,0.法二∵fx=∴函数fx的图象如图所示.结合图象知,要使fx+1<f2x,则需或∴x<
0.答案-∞,0命题点二 函数的基本性质
1.2016·江苏高考设fx是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-11上,fx=其中a∈R.若f=f,则f5a的值是________.解析因为函数fx的周期为2,结合在[-11上fx的解析式,得f=f=f=-+a,f=f=f==.由f=f,得-+a=,解得a=.所以f5a=f3=f4-1=f-1=-1+=-.答案-2.2013·江苏高考已知fx是定义在R上的奇函数.当x>0时,fx=x2-4x,则不等式fx>x的解集用区间表示为________.解析由于fx为R上的奇函数,所以当x=0时,f0=0;当x<0时,-x>0,所以f-x=x2+4x=-fx,即fx=-x2-4x,所以fx=由fx>x,可得或解得x>5或-5<x<0,所以原不等式的解集为-50∪5,+∞.答案-50∪5,+∞3.2018·全国卷Ⅱ改编已知fx是定义域为-∞,+∞的奇函数,满足f1-x=f1+x.若f1=2,则f1+f2+f3+…+f50=________.解析法一∵fx是奇函数,∴f-x=-fx,∴f1-x=-fx-1.由f1-x=f1+x,得-fx-1=fx+1,∴fx+2=-fx,∴fx+4=-fx+2=fx,∴函数fx是周期为4的周期函数.由fx为奇函数得f0=
0.又∵f1-x=f1+x,∴fx的图象关于直线x=1对称,∴f2=f0=0,∴f-2=
0.又f1=2,∴f-1=-2,∴f1+f2+f3+f4=f1+f2+f-1+f0=2+0-2+0=0,∴f1+f2+f3+f4+…+f49+f50=0×12+f49+f50=f1+f2=2+0=
2.法二由题意可设fx=2sin,作出fx的部分图象如图所示.由图可知,fx的一个周期为4,∴f1+f2+f3+…+f50=12[f1+f2+f3+f4]+f49+f50=12×0+f1+f2=
2.答案24.2017·全国卷Ⅱ改编函数fx=lnx2-2x-8的单调递增区间是________.解析由x2-2x-8>0,得x>4或x<-
2.因此,函数fx=lnx2-2x-8的定义域是-∞,-2∪4,+∞.注意到函数y=x2-2x-8在4,+∞上单调递增,由复合函数的单调性知,fx=lnx2-2x-8的单调递增区间是4,+∞.答案4,+∞5.2017·全国卷Ⅱ已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x∈-∞,0时,fx=2x3+x2,则f2=________.解析由已知得,f-2=2×-23+-22=-12,又函数fx是奇函数,所以f2=-f-2=
12.答案126.2017·山东高考已知fx是定义在R上的偶函数,且fx+4=fx-2.若当x∈[-30]时,fx=6-x,则f919=________.解析因为fx+4=fx-2,所以fx+6=fx,所以fx的周期为6,因为919=153×6+1,所以f919=f1.又fx为偶函数,所以f919=f1=f-1=
6.答案6命题点三 函数的图象
1.2016·全国卷Ⅱ改编已知函数fxx∈R满足f-x=2-fx,若函数y=与y=fx图象的交点为x1,y1,x2,y2,…,xm,ym,则xi+yi=________.解析因为f-x=2-fx,所以f-x+fx=
2.因为=0,=1,所以函数y=fx的图象关于点01对称.函数y==1+,故其图象也关于点01对称.所以函数y=与y=fx图象的交点x1,y1,x2,y2,…,xm,ym成对出现,且每一对均关于点01对称,所以i=0,i=2×=m,所以xi+yi=m.答案m2.2015·全国卷Ⅱ已知函数fx=ax3-2x的图象过点-14,则a=________.解析因为fx=ax3-2x的图象过点-14,所以4=a×-13-2×-1,解得a=-
2.答案-2。