江苏省2019高考数学二轮复习专题二立体几何第2讲立体几何的综合问题学案

第2讲　立体几何的综合问题[考情考向分析]　江苏高考对空间几何体体积的计算是高频考点，一般考查几何体的体积或体积之间的关系．对翻折问题和探索性问题考查较少，但是复习时仍要关注．热点一　空间几何体的计算例1　12018·江苏扬州中学模拟已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为________．答案　1解析　如图，＝××AD＝××2××＝

1.2已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，那么这个圆锥的高为________．答案　2解析　设圆锥底面半径为r，则2πr＝×3，∴r＝1，∴圆锥的高为＝

2.思维升华　1涉及柱、锥及其简单组合的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线面，再分析几何体的结构特征，从而进行解题．2求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．跟踪演练1　12018·江苏盐城中学模拟已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．答案　6π解析　S圆柱＝2π×12＋2π×1×2＝6π.2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则三棱锥A－B1D1D的体积为________cm

3.答案　3解析　方法一　长方体ABCD－A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形．连结AC交BD于O，则AC⊥BD，又D1D⊥AC，BD∩D1D＝D，BD，D1D⊂平面B1D1D，所以AC⊥平面B1D1D，AO为A到平面B1D1D的垂线段，AO＝AC＝.又＝D1D×D1B1＝×2×3＝3，所以所求的体积V＝××3＝3cm

3.方法二　＝×A1B1×＝×3××3×2＝3cm

3.热点二　空间图形的翻折问题例2　2018·江苏泰州中学调研一副直角三角板按下面左图拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A－BCD下面右图．1若E，F分别为AB，BC的中点，求证EF∥平面ACD；2若平面ABC⊥平面BCD，求证平面ABD⊥平面ACD.证明　1∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD.2∵平面ABC⊥平面BCD，BC⊥DC，平面ABC∩平面BCD＝BC，CD⊂平面BCD，∴DC⊥平面ABC，又∵AB⊂平面ABC，∴DC⊥AB，又∵AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ACD，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.思维升华　平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．跟踪演练2　如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.1证明DE∥平面BCF；2证明CF⊥平面ABF.证明　1如图1，在等边三角形ABC中，AB＝AC.因为AD＝AE，所以＝，所以DE∥BC，所以DG∥BF.如图2，DG⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，所以DG∥平面BCF.同理可证GE∥平面BCF.因为DG∩GE＝G，DG，GE⊂平面DEG，所以平面DEG∥平面BCF，又因为DE⊂平面DEG，所以DE∥平面BCF.2证明　如图1，在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥FC，所以BF＝FC＝BC＝.在图2中，因为BC＝，所以BC2＝BF2＋FC2，所以∠BFC＝90°，所以FC⊥BF，又AF⊥FC，因为BF∩AF＝F，BF，AF⊂平面ABF，所以CF⊥平面ABF.热点三　探索性问题例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．1证明平面ADC1B1⊥平面A1BE；2在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．1证明　因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥平面ABB1A

1.因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，AB1，B1C1⊂平面ADC1B1，所以A1B⊥平面ADC1B

1.因为A1B⊂平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.2解　当点F为C1D1的中点时，可使B1F∥平面A1BE.证明如下设A1B∩AB1＝O，连结EO，EF，B1F.易知EF∥C1D，且EF＝C1D，B1O∥C1D且B1O＝C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形．所以B1F∥OE.又因为B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE.所以B1F∥平面A1BE.思维升华　探索性问题，一般把要探索的结论作为条件，然后根据条件和假设进行推理论证．跟踪演练3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．1若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证平面ADC1⊥平面BCC1B1；2若A1B∥平面ADC1，求的值．1证明　因为AB＝AC，点D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD.因为BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B

1.因为AD⊂平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B

1.2解　连结A1C，交AC1于点O，连结OD，所以O为A1C的中点．因为A1B∥平面ADC1，A1B⊂平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD.因为O为A1C的中点，所以D为BC的中点，所以＝

1.1．2018·江苏如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案　解析　由题意知所给的几何体是棱长均为的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2××2×1＝.

2.2017·江苏如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．答案　解析　设球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，母线长为2R，又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝πR3，所以＝＝.3．2018·江苏南京师大附中模拟如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是________．答案　解析　＝＝××＝.4．2018·全国Ⅰ如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.1证明平面ACD⊥平面ABC；2Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．1证明　由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，AC∩AD＝A，AD，AC⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.2解　由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝

3.又BP＝DQ＝DA，所以BP＝

2.如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE∥DC且QE＝DC.由1知平面ACD⊥平面ABC，又平面ACD∩平面ABC＝AC，CD⊥AC，CD⊂平面ACD，所以DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝

1.因此，三棱锥Q－ABP的体积VQ－ABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin45°×1＝

1.

5.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD＝4，BD＝4，AB＝2CD＝

8.1设M是PC上的一点，证明平面MBD⊥平面PAD；2当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD1证明　在△ABD中，∵AD＝4，BD＝4，AB＝8，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.2解　当CM＝CP时，PA∥平面MBD.证明如下连结AC，交BD于点N，连结MN.∵AB∥DC，AB≠CD，∴四边形ABCD是梯形．∵AB＝2CD，∴CN∶NA＝1∶

2.又∵CM∶MP＝1∶2，∴CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN.∵MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD.A组　专题通关1．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为________．答案　π解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则πr2＝2π，πrl＝4π，解得r＝，l＝2，故高h＝，所以V＝πr2h＝π×2×＝π.2．2018·江苏兴化一中模拟在三棱锥S－ABC中，直线SA⊥平面ABC，SA＝1，△ABC的面积为3，若点G为△ABC的重心，则三棱锥S－AGB的体积为________．答案　解析　VS－AGB＝VS－ABC＝××3×1＝.3．已知圆台的母线长为4cm，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的，则这个圆台的侧面积是________cm

2.答案　24π解析　如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC＝4cm，∠ASO＝30°，O1C＝OA，设O1C＝r，则OA＝2r，又＝＝sin30°，∴SC＝2r，SA＝4r，∴AC＝SA－SC＝2r＝4cm，∴r＝2cm.∴圆台的侧面积为S＝πr＋2r×4＝24πcm2．4．三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.答案　解析　V1＝VD－ABE＝VE－ABD＝VE－ABP＝VA－BEP＝×VA－BCP＝×VP－ABC＝V

2.

5.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝3BC，过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与平面α的交点为Q，则的值为________．答案　2解析　设A1Q∩DC＝P，则点P∈AB，因为AD∥BC，且AD＝3BC，所以＝＝，又BB1∥AA1，BB1＝AA1，所以＝＝＝，从而BB1＝3BQ，即＝

2.6．2018·南京金陵中学模拟已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为36，则这个球的体积为________．答案　9π解析　正方体的棱长为，设球的半径为R，则2R＝×，∴R＝，∴V球＝π×3＝9π.7．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为________．答案　解析　以AE，EF，AF为折痕，折叠这个正方形，使点B，C，D重合于一点P，得到一个四面体，如图所示．∵在折叠过程中，始终有AB⊥BE，AD⊥DF，即AP⊥PE，AP⊥PF，且PE∩PF＝P，PE，PF⊂平面PEF，∴AP⊥平面EFP.四面体的底面积为S△EFP＝PE·PF，高为AP＝

2.∴四面体A－EFP的体积VA－EFP＝××1×1×2＝.8．如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF，现测得AB＝20cm，AD＝15cm，EF＝30cm，AB与EF间的距离为25cm，则几何体EF－ABCD的体积为________cm

3.答案　3500解析　在EF上，取两点M，N图略，分别满足EM＝NF＝5，连结DM，AM，BN，CN，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得V＝×20×15×20＋2×××20×15×5＝

3500.

9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为________．答案　解析　将侧面展开如图所示，所以由平面几何性质可得AD＋DC1≥AC1，当且仅当A，D，C1三点共线时取到等号．此时BD＝1，所以S△ABD＝×AB×BD＝.在直三棱柱ABC－A1B1C1中有BB1⊥CB，又AB⊥CB，且BB1∩AB＝B，BB1，AB⊂平面ABD，所以CB⊥平面ABD，所以C1B1⊥平面ABD，即C1B1是三棱锥C1－ABD的高，所以VD－ABC1＝VC1－ABD＝×C1B1×S△ABD＝×2×＝.

10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.1证明平面PAB⊥平面PAD；2若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．1证明　由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，AP∩PD＝P，AP，PD⊂平面PAD，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.2解　在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由1知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x.故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝AB·AD·PE＝x

3.由题设得x3＝，故x＝

2.从而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝

2.可得四棱锥P－ABCD的侧面积为PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin60°＝6＋

2.B组　能力提高

11.如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________．答案　解析　由题意可得三棱锥V－AOB的体积为V三棱锥V－AOB＝S△AOB·VO＝.△VAB是边长为的等边三角形，其面积为×2＝，设点O到平面VAB的距离为h，则V三棱锥O－VAB＝S△VAB·h＝×h＝V三棱锥V－AOB＝，解得h＝，即点O到平面VAB的距离是.

12.如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA＝2，AB＝1，则三棱锥C－PED的体积为________．答案　解析　∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥P－CED的高，PA＝

2.∵ABCD是正方形，E是AC的中点，∴△CED是等腰直角三角形．AB＝1，故CE＝ED＝，S△CED＝CE·ED＝··＝.故VC－PED＝VP－CED＝·S△CED·PA＝··2＝.13．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．1求证BC⊥平面ACEF；2当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．1证明　∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120°，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACEF.2解　当FM＝a时，AM∥平面BDE.证明如下设AC∩BD＝N，连结EN，如图．∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝a，∴AC＝a，AB＝2a，∴CN∶NA＝1∶2，∵四边形ACEF是平行四边形，∴EF＝AC＝a.∵AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝NE，∴AM∥NE，∴四边形ANEM为平行四边形，∴FM∶ME＝1∶2，∴FM＝EF＝AC＝.∴当FM＝a时，AM∥平面BDE.

14.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．1求证直线EF∥平面A1ACC1；2在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．1证明　连结A1C，A1E.∵侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，∴E也是A1B的中点，又F是BC的中点，∴EF∥A1C.∵A1C⊂平面A1ACC1，EF⊄平面A1ACC1，∴直线EF∥平面A1ACC

1.2解　当＝时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下连结EG，FG.∵侧面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB是等边三角形，∵E是A1B的中点，＝，∴EG⊥AB.∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，EG⊂平面A1ABB1，∴EG⊥平面ABC.又EG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC.。