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圆的第二定义——阿波罗尼斯圆
一、问题背景苏教版《数学必修2》P112第12题已知点Mx，y与两个定点O00，A30的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线．
二、阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯Apollonius在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足PA＝λPB.则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证设AB＝2mm＞0，PA＝λPB，以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A－m0，Bm0．又设Px，y，则由PA＝λPB得＝λ，两边平方并化简整理得λ2－1x2－2mλ2＋1x＋λ2－1y2＝m21－λ2．当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；当λ＞1时，2＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆．上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．
三、阿波罗尼斯圆的性质1．满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB和外分AB所得的两个分点．2．直线CM平分∠ACB，直线CN平分∠ACB的外角．
3.＝.4．CM⊥CN.5．当λ＞1时，点B在圆O内；当0＜λ＜1时，点A在圆O内．6．若AC，AD是切线，则CD与AO的交点即为B.7．若过点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF.
四、范例欣赏例1 设A－c0，Bc0c＞0为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值aa＞0，求P点的轨迹．解 设动点P的坐标为x，y，由＝aa＞0，得＝a.化简得1－a2x2＋2c1＋a2x＋c21－a2＋1－a2y2＝
0.当a≠1时，得x2＋x＋c2＋y2＝0，整理得2＋y2＝
2.当a＝1时，化简得x＝
0.所以当a≠1时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当a＝1时，P点的轨迹为y轴．例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PNM，N分别为切点，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1－20，O220，由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2，因为两圆的半径均为1，所以PO－1＝2PO－1，设Px，y，则x＋22＋y2－1＝2[x－22＋y2－1]．即x－62＋y2＝33，所以所求轨迹方程为x－62＋y2＝
33.例3 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A03，直线l y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．1若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；2若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解 1联立得圆心为C32．切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋
3.d＝＝r＝1，得k＝0或k＝－.故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝
0.2设点Mx，y，由MA＝2MO，知＝2，化简得x2＋y＋12＝
4.即点M的轨迹为以0，－1为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．故1≤CD≤3，其中CD＝.解得0≤a≤.例4 在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x2＋y2＝4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数？如果存在，求出点A，B坐标；如果不存在，请说明理由．解 假设在x轴正半轴上存在两个定点A，B，使得圆x2＋y2＝4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数，设Px，y，Ax10，Bx20，其中x2＞x1＞
0.即＝对满足x2＋y2＝4的任何实数对x，y恒成立，整理得，2x4x1－x2＋x－4x＝3x2＋y2，将x2＋y2＝4代入得，2x4x1－x2＋x－4x＝12，这个式子对任意x∈[－22]恒成立，所以一定有因为x2＞x1＞0，所以解得x1＝1，x2＝
4.所以在x轴正半轴上存在两个定点A10，B40，使得圆x2＋y2＝4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数.
五、跟踪演练1．满足条件AB＝2，AC＝BC的△ABC的面积的最大值是________．答案 2解析 以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A－10，B10，设Cx，y，由AC＝BC，得＝·.平方化简整理得y2＝－x2＋6x－1＝－x－32＋8≤
8.∴|y|≤2，则S△ABC＝×2|y|≤2，∴S△ABC的最大值是
2.2．在△ABC中，边BC的中点为D，若AB＝2，BC＝AD，则△ABC的面积的最大值是________．答案 4解析 以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A－10，B10，由BD＝CD，BC＝AD知，AD＝BD，D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为x－32＋y2＝8，设Cx，y，得D，所以点C的轨迹方程为2＋2＝8，即x－52＋y2＝
32.所以S△ABC＝×2|y|＝|y|≤＝4，故S△ABC的最大值是
4.3．在平面直角坐标系xOy中，设点A10，B30，C0，a，D0，a＋2，若存在点P，使得PA＝PB，PC＝PD，则实数a的取值范围是________．答案 [－2－12－1]解析 设Px，y，则＝·，整理得x－52＋y2＝8，即动点P在以50为圆心，2为半径的圆上运动．另一方面，由PC＝PD知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆x－52＋y2＝8有交点．所以|a＋1|≤2，故实数a的取值范围是[－2－1，2－1]．
4.如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，B－10，AC边的中点为D20，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于________．答案 4π解析 因为AB＝2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为x－32＋y2＝4y≠0．设Cx，y，由AC边的中点为D20，知A4－x，－y，所以C的轨迹方程为4－x－32＋－y2＝4，即x－12＋y2＝4y≠0，所求的面积为4π.5．如图，已知平面α⊥平面β，A，B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α上有一个动点P，使得∠APD＝∠BPC，求△PAB的面积的最大值．解 ∵DA⊥α，PA⊂α，∴DA⊥PA，∴在Rt△PAD中，tan∠APD＝＝，同理tan∠BPC＝＝.∵∠APD＝∠BPC，∴BP＝2AP.在平面α上以线段AB的中点为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A－30，B30，设Px，y，则有＝2y≠0．化简得x＋52＋y2＝16，∴y2＝16－x＋52≤
16.∴|y|≤
4.△PAB的面积为S△PAB＝|y|·AB＝3|y|≤12，当且仅当x＝－5，y＝±4时取得等号，则△PAB的面积的最大值是
12.6．已知⊙O x2＋y2＝1和点M42．1过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；2求以点M为圆心，且被直线y＝2x－1截得的弦长为4的⊙M的方程；3设P为2中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q，试探究平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．解 1直线l的斜率存在，设切线l方程为y－2＝kx－4，易得＝1，解得k＝.∴切线l的方程为y－2＝x－4．2圆心到直线y＝2x－1的距离为，设圆的半径为r，则r2＝22＋2＝9，∴⊙M的方程为x－42＋y－22＝
9.3假设存在这样的点Ra，b，点P的坐标为x，y，相应的定值为λ.根据题意可得PQ＝，∴＝λ，即x2＋y2－1＝λ2x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2．*又点P在圆M上，∴x－42＋y－22＝9，即x2＋y2＝8x＋4y－11，代入*式得8x＋4y－12＝λ2[8－2ax＋4－2by＋a2＋b2－11]，若系数对应相等，则等式恒成立，∴解得a＝2，b＝1，λ＝或a＝，b＝，λ＝，∴可以找到这样的定点R，使得为定值，如点R的坐标为21时，比值为，点R的坐标为时，比值为.。
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