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高二暑假作业29椭圆考点要求1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;2.了解椭圆的简单应用,进一步体会数形结合思想.考点梳理1.椭圆的概念1平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数大于F1F2的点的轨迹叫做________.这两个定点叫做椭圆的________,两焦点间的距离叫做椭圆的________.2集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数;
①若________,则P点的轨迹是椭圆;
②若________,则P点的轨迹是线段;
③若________,则P点不存在.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围对称性顶点长、短轴焦距离心率a,b,c的关系考点精练1.椭圆+=1的离心率是______________.2.已知椭圆的焦点为F1-1,0和F21,0,P是椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程为______________.3.设F1,F2是椭圆+=1的左、右两焦点,P为椭圆的一个顶点,若△PF1F2是等边三角形,则a2=____________.4.已知椭圆+=1a>b>0的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若AF1,F1F2,F1B成等比数列,则此椭圆的离心率为____________.5.已知AB是过椭圆+y2=1左焦点F1的弦,且|AF2|+|BF2|=4,其中F2为椭圆的右焦点,则弦AB的长是____________.6.平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆+=1a>b>0的左、右焦点,已知点Pa,b,又△F1PF2为等腰三角形,则椭圆的离心率为______________.7.设F1,F2为椭圆+y2=1的两焦点,P在椭圆上,当△F1PF2面积为1时,·的值为______________.8.设椭圆+=1a>b>0的左、右焦点分别是F1,F2,若椭圆上存在点P,使得∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率的取值范围为____________.9.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形,设P为该椭圆上的动点,C,D的坐标分别是-,0、,0,则PC·PD的最大值为____________.10.求符合下列条件的椭圆的标准方程1离心率为,准线方程为x=±8;2长轴与短轴之和为20,焦距为4.11.设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,P在椭圆上,已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求的值.12.已知椭圆+=1a>b>0和圆O x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B.1若椭圆上存在点P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率e的取值范围;2设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N,求证+为定值.第29课时椭圆1.2.+=13.124.5.26.7.0提示利用焦点三角形的面积求出∠F1PF2=90°.8.9.4解析设椭圆的标准方程为+=1a>b>0,c2=a2-b2.由正方形的对角线性质可得b=c.又该正方形面积为4,则4××b2=4,所以b=c=,则C,D即为椭圆的焦点,所以PC·PD≤===4.10.解1由准线方程为x=±8,可知椭圆的焦点在x轴上,设所求椭圆的方程为+=1a>b>0,由题意,得解得a=4,c=4.所以b2=a2-c2=32-16=16,因此,所求椭圆的方程为+=1.2当焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为+=1a>b>0.由题意,得即解得a=6,b=4,所以焦点在x轴上的椭圆方程为+=
1.同理可求当焦点在y轴上的椭圆方程为+=1.因此,所求的椭圆的方程为+=1和+=1.11.解
①若PF1⊥F1F2,则P,F1-,0,∴|PF1|=,|PF2|=.故=.
②若PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20,同时|PF1|+|PF2|=6,∴|PF1|=4,|PF2|=2,∴=2.12.1解由∠APB=90°及圆的性质,可得四边形OAPB为正方形,∴OP=b,∴OP2=2b2≤a2,∴a2≤2c2,∴e2≥,∴≤e<1.2证明设Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2,则=-,整理得x0x1+y0y1=x+y.∵x+y=b2,∴直线PA方程为x1x+y1y=b2,同理,直线PB方程为x2x+y2y=b2.∵点Px0,y0同时在直线PA和PB上,∴x1x0+y1y0=b2且x2x0+y2y0=b2.∴直线AB方程为x0x+y0y=b2.令x=0,得ON=|y|=.令y=0,得OM=|x|=.∴+=eq\fa2y+b2xb4==,∴+为定值,该定值是.。