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文本内容:
3.
1.1 空间向量及其加减运算学习目标
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.
3.了解向量加法的交换律和结合律.知识点一 空间向量的概念1在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记作,其模记为|a|或||.2几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量,记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考 下面给出了两个空间向量a,b,作出b+a,b-a.答案 如图,空间中的两个向量a,b相加时,我们可以先把向量a,b平移到同一个平面α内,以任意点O为起点作=a,=b,则=+=a+b,=-=b-a.梳理 1类似于平面向量,可以定义空间向量的加法和减法运算.=+=a+b,=-=a-b.2空间向量加法交换律a+b=b+a,空间向量加法结合律a+b+c=a+b+c.1零向量没有方向.×2有向线段都可以表示向量,向量都可以用有向线段表示.×3平面内所有的单位向量是相等的.×4空间中,将单位向量起点放在一起,其终点组成的图形是球.×5任何两个向量均不可以比较大小√类型一 向量概念的应用例1 1下列关于空间向量的说法中正确的是 A.若向量a,b平行,则a,b所在直线平行B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反C.若向量,满足||>||,则>D.相等向量其方向必相同考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案 D解析 A中,向量a,b平行,则a,b所在的直线平行或重合;B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定;C中,向量作为矢量不能比较大小,故选D.2给出下列命题
①若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
②在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=;
③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;
④空间中任意两个单位向量必相等.其中假命题的个数是 A.1B.2C.3D.4考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 B解析
①为假命题,根据向量相等的定义知,两向量相等,不仅模要相等,而且还要方向相同,而
①中向量a与b的方向不一定相同;
②为真命题,与的方向相同,模也相等,故=;
③为真命题,向量相等满足传递性;
④为假命题,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故选B.反思与感悟 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反.跟踪训练1 1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,下列四对向量
①与;
②与;
③与;
④与.其中互为相反向量的有n对,则n等于 A.1B.2C.3D.4考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 B解析 对于
①与,
③与,长度相等,方向相反,互为相反向量;对于
②与,长度相等,方向不相反;对于
④与,长度相等,方向相同.故互为相反向量的有2对.2如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=3,AD=2,AA′=1,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中
①单位向量共有多少个?
②试写出模为的所有向量.
③试写出与向量相等的所有向量.
④试写出向量的所有相反向量.考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 空间向量的定义与模解
①由于长方体的高为1,所以长方体的四条高所对应的向量,,,,,,,,共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为,故模为的向量有,,,,,,,.
③与向量相等的所有向量除它自身之外有,及.
④向量的相反向量有,,,.类型二 空间向量的加减运算例2 如图,已知长方体ABCD-A′B′C′D′,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.1-;2++.考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算解 1-=-=+=+=.2++=++=++=+=.向量,如图所示.引申探究利用本例题图,化简+++.解 结合加法运算+=,+=,+=
0.故+++=
0.反思与感悟 1首尾顺次相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+++…+=.2首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为
0.如图,+++++++=
0.跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中,求证++=
2.考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形,∴=+,=+,=+,∴++=+++++=2++.又∵=,=,∴++=++=+=.∴++=
2.
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为的共有
①++;
②++;
③++;
④++.A.1个B.2个C.3个D.4个考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 D解析
①++=+=;
②++=+=;
③++=+=;
④++=+=,故选D.2.下列命题中,假命题是 A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.空间向量不满足加法结合律考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案 D3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量相等的向量共有 A.1个B.2个C.3个D.4个考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 C解析 与相等的向量有,,,共3个.4.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是 A.a=bB.a+b为实数0C.a与b方向相同D.|a|=3考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 D解析 向量a,b互为相反向量,则a,b模相等、方向相反,故选D.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知下列各式
①++;
②++;
③++;
④++.其中运算的结果为的有________个.考点 题点 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断
①++=+=;
②++=+=;
③++=+=;
④++=+=.所以4个式子的运算结果都是.1.一些特殊向量的特性1零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的.2单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是
1.3两个向量模相等,不一定是相等向量,反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.2.空间向量加法、减法运算的两个技巧1巧用相反向量向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.2巧用平移利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
一、选择题1.化简-+所得的结果是 A.B.C.0D.考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 C解析 -+=+=-=0,故选C.2.下列命题中为真命题的是 A.向量与的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 A解析 对于选项B,其终点构成一个球面;对于选项C,零向量不能用有向线段表示;对于选项D,向量a与向量b不相等,未必它们的模不相等,故选A.3.空间任意四个点A,B,C,D,则+-等于 A.B.C.D.考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 D4.2017·嘉兴一中期末如图,在三棱锥O-ABC中,点D是棱AC的中点,若=a,=b,=c,则等于 A.a+b-cB.a-b+cC.a-b+cD.-a+b-c答案 B5.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是 A.平行四边形B.空间四边形C.等腰梯形D.矩形考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 A解析 由+==+=,得=,故四边形ABCD为平行四边形,故选A.6.如果向量,,满足||=||+||,则 A.=+B.=--C.与同向D.与同向考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 D7.判断下列各命题的真假
①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;
②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;
③零向量是没有方向的;
④有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为 A.2B.3C.4D.5考点 题点 答案 B解析
①假命题,当a与b中有一个为零向量时,其方向是不确定的;
②真命题;
③假命题,零向量也是向量,故也有方向,只是方向不确定;
④假命题,向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段.
二、填空题8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简-+-的结果是________.考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 2解析 -+-=++-=+=
2.9.已知向量a,b,c互相平行,其中a,c同向,a,b反向,|a|=3,|b|=2,|c|=1,则|a+b+c|=________.考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案 210.若G为△ABC内一点,且满足++=0,则G为△ABC的________.选填“外心”“内心”“垂心”或“重心”考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 重心解析 因为+=-=,所以AG所在直线的延长线为边BC上的中线,同理,得BG所在直线的延长线为AC边上的中线,故G为其重心.11.给出下列命题
①若|a|=0,则a=0;
②若a=0,则|a|=0;
③|a|=|-a|;
④若a=0,则-a=
0.其中正确命题的序号为________.考点 空间向量的相关概念及及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案
②③④
三、解答题12.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,请化简++,++,并标出化简结果的向量.考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用解 ++=+=.因为E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,所以=,=.所以++=++=.故所求向量为,,如图所示.13.如图所示,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,化简下列表达式.1+;2++;3++;4+-.考点 题点 解 1+=.2++=+=.3++=++=.4+-=+++++-=.
四、探究与拓展14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为点O,则在下列结论中正确的结论共有
①+与+是一对相反向量;
②-与-是一对相反向量;
③+++与+++是一对相反向量;
④-与-是一对相反向量.A.1个B.2个C.3个D.4个考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 C15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,化简-+-+-.解 如图.-+-+-=-+-+-=++=+=.。