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第71练椭圆的几何性质[基础保分练]
1.2019·绍兴模拟倾斜角为的直线经过椭圆+=1ab0的右焦点F,与椭圆交于A,B两点,且=2,则该椭圆的离心率为 A.B.C.D.
2.过椭圆+=1ab0的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为 A.B.C.D.
3.2018·全国Ⅱ已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为 A.1-B.2-C.D.-
14.已知椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3,则椭圆的离心率为 A.B.C.D.
5.已知圆C1x2+2cx+y2=0,圆C2x2-2cx+y2=0,椭圆C+=1ab0,若圆C1,C2都在椭圆内,且圆C1,C2的圆心分别是椭圆C的左、右焦点,则椭圆离心率的取值范围是 A.B.C.D.
6.设F1,F2分别是椭圆+=1ab0的左、右焦点,离心率为,M是椭圆上一点且MF2与x轴垂直,则直线MF1的斜率为 A.±B.±C.±D.±
7.已知椭圆C的两个焦点分别为F1-10,F210,短轴的两个端点分别为M,N,左、右顶点分别为A1,A2,若△F1MN为等腰直角三角形,点T在椭圆C上且直线TA2斜率的取值范围是,那么直线TA1斜率的取值范围是 A.
[12]B.C.[-4,-2]D.[-2,-1]
8.已知点A-10,B10,Px0,y0是直线y=x+2上任意一点,以A,B为焦点的椭圆过点P.记椭圆的离心率e关于x0的函数为ex0,那么下列结论正确的是 A.e与x0一一对应B.函数ex0无最小值,有最大值C.函数ex0是增函数D.函数ex0有最小值,无最大值
9.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点F1关于直线y=-x的对称点P仍在椭圆上,则△PF1F2的周长为________.
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1ab0的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若∠BAO+∠BFO=90°,则椭圆的离心率是________.[能力提升练]
1.若AB是过椭圆+=1ab0中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与两坐标轴均不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则kAM·kBM等于 A.-B.-C.-D.-
2.2019·金华一中模拟已知椭圆E+=1,O为坐标原点,A,B是椭圆上两点,OA,OB的斜率存在并分别记为kOA,kOB且kOA·kOB=-,则+的最小值为 A.B.C.D.
3.已知F是椭圆C+=1ab0的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于 A.B.C.D.
4.已知椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1-c,0,F2c0,若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为 A.0,-1B.C.D.-
115.已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C与y轴的交点,若以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是____________________.
6.如图所示,椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,离心率为,点P为第一象限内椭圆上的一点,若=2∶1,则直线PF1的斜率为________.答案精析基础保分练1.B
2.B
3.D
4.A
5.B
6.C
7.C
8.B
9.2+2
10.能力提升练1.B2.C [点A,B在椭圆+=1上,由椭圆的对称性不妨设A2cosθ,2sinθ,B2cosφ,2sinφ,因为kOA·kOB=-,所以不妨设0θ,φπ,所以·=-,所以tanθtanφ=-1,所以φ=+θ,所以A2cosθ,2sinθ,B-2sinθ,2cosθ,所以|OA|2+|OB|2=2cosθ2+2sinθ2+-2sinθ2+2cosθ2=36,所以36=|OA|2+|OB|2≥2|OA|·|OB|,所以≥当且仅当|OA|=|OB|=3时取等号.+≥2≥2=当且仅当|OA|=|OB|=3时取等号.]3.A [记椭圆的左焦点为F′,圆2+y2=的圆心为E,连接PF′,QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=,∴|PF′|=b.由椭圆的定义知|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+2a-b2=2c2,2a2-c2+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,∴=,∴椭圆的离心率为.]4.D [根据正弦定理得=,所以由=,可得=,即==e,所以|PF1|=e|PF2|,又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|e+1=2a,即|PF2|=,因为a-c|PF2|a+c不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义,所以a-ca+c,即1-1+,所以1-e1+e,即所以又0e1,所以-1e1,即e∈-11,故选D.]
5.解析 因为点P为椭圆C与y轴的交点,以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,所以∠F1PF2≤90°,所以tan∠OPF2≤1,所以≤1,c≤b,c2≤a2-c22c2≤a2,≤,即≤,又0e1,所以0e≤.
6.解析 由=,得a=2c.设直线PF1的斜率为kk0,则直线PF1的方程为y=kx+c.因为∶=2∶1,即=2,即·|PF1|·=2×·|PF1|·,所以|kc-b|=4|kc|,解得b=-3kc舍去或b=5kc.又因为a2=b2+c2,即a2=25k2c2+c2,所以4c2=25k2c2+c2,解得k2=,又k0,所以k=.。