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2.3 二次函数与幂函数挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点二次函数与幂函数
1.理解二次函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.
2.理解二次函数的单调性能判断二次函数在某个区间上是否存在零点.
3.理解二次函数的最大小值及其几何意义并能求二次函数的最大小值.
4.了解幂函数的概念.
5.结合函数y=xy=x2y=x3y=y=的图象了解它们的变化情况.2018浙江715二次函数与幂函数二次函数的单调性、零点、最值★★☆2017浙江5二次函数与幂函数二次函数在闭区间上的最值2016浙江18二次函数与幂函数二次函数的最值2015浙江18文202014浙江文9二次函数与幂函数二次函数的最值分析解读
1.幂函数主要考查其图象和性质一般以小题形式出现难度应该不大例:2014浙江7题.
2.二次函数主要考查其图象和性质以及应用特别是以二次函数为载体考查数学相关知识如求最值、函数零点问题考查数形结合思想例:2015浙江18题2015浙江文20题.
3.预计2020年高考试题中二次函数仍是考查的重点之一.考查仍会集中在二次函数的图象和主要性质以及求二次函数的最值、二次函数零点分布问题上复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点 二次函数与幂函数
1.2018浙江台州高三期末质检10当x∈
[14]时不等式0≤ax3+bx2+4a≤4x2恒成立则a+b的取值范围是 A.[-48]B.[-28]C.
[06]D.
[412]答案 A
2.2018浙江名校协作体10已知偶函数fx满足f1-x=f1+x当x∈
[01]时fx=ax2-bx+cabc∈N*.若函数fx在[-100100]上有400个零点则a+b+c的最小值为 A.5B.8C.11D.12答案 C
3.2018浙江绍兴期末17已知fx=x2-ax|ffx|≤2在
[12]上恒成立则实数a的最大值为 . 答案 炼技法【方法集训】方法1 解决一元二次方程根的分布问题的方法
1.2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中8若函数fx=x2+ax+b有两个零点x1x2且3x1x25则f3f5 A.只有一个小于1B.都小于1C.都大于1D.至少有一个小于1答案 D
2.2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考17设关于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实根分别为x1x2和x3x4若x1x3x2x4则a的取值范围是 . 答案 -1a1方法2 二次函数的区间最值问题的解法
1.2017浙江稽阳联谊学校联考10设二次函数fx=x2+ax+b若对任意的实数a都存在实数x∈使得不等式|fx|≥x成立则实数b的取值范围是 A.∪[2+∞B.∪C.∪D.∪答案 D
2.2017浙江衢州教学质量检测1月16若fx=x2+ax+bab∈Rx∈[-11]且|fx|的最大值为则4a+3b= . 答案 -方法3 幂函数的图象、性质及应用
1.2014浙江75分在同一直角坐标系中函数fx=xax0gx=logax的图象可能是 答案 D
2.2018上海75分已知α∈.若幂函数fx=xα为奇函数且在0+∞上递减则α= . 答案 -1过专题【五年高考】A组 自主命题·浙江卷题组考点 二次函数与幂函数
1.2017浙江54分若函数fx=x2+ax+b在区间
[01]上的最大值是M最小值是m则M-m A.与a有关且与b有关B.与a有关但与b无关C.与a无关且与b无关D.与a无关但与b有关答案 B
2.2015浙江文2015分设函数fx=x2+ax+bab∈R.1当b=+1时求函数fx在[-11]上的最小值ga的表达式;2已知函数fx在[-11]上存在零点0≤b-2a≤1求b的取值范围.解析 1当b=+1时fx=+1故对称轴为直线x=-.当-≥1即a≤-2时ga=f1=+a+2;当-1-1即-2a2时ga=f=1;当-≤-1即a≥2时ga=f-1=-a+
2.综上ga=2设st为方程fx=0的解且-1≤t≤1则由于0≤b-2a≤1因此≤s≤-1≤t≤
1.当0≤t≤1时≤st≤由于-≤≤0和-≤≤9-4所以-≤b≤9-
4.当-1≤t0时≤st≤由于-2≤0和-3≤0所以-3≤b
0.故b的取值范围是[-39-4].B组 统一命题、省区、市卷题组考点 二次函数与幂函数
1.2015四川95分如果函数fx=m-2x2+n-8x+1m≥0n≥0在区间上单调递减那么mn的最大值为 A.16B.18C.25D.答案 B
2.2017课标全国Ⅲ文2012分在直角坐标系xOy中曲线y=x2+mx-2与x轴交于AB两点点C的坐标为
01.当m变化时解答下列问题:1能否出现AC⊥BC的情况说明理由;2证明:过ABC三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析 1不能出现AC⊥BC的情况理由如下:设Ax10Bx20则x1x2满足x2+mx-2=0所以x1x2=-
2.又C的坐标为01故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-所以不能出现AC⊥BC的情况.2证明:BC的中点坐标为可得BC的中垂线方程为y-=x
2.由1可得x1+x2=-m所以AB的中垂线方程为x=-.联立又+mx2-2=0可得所以过ABC三点的圆的圆心坐标为半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2=3即过ABC三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.C组 教师专用题组考点 二次函数与幂函数
1.2015陕西125分对二次函数fx=ax2+bx+ca为非零四位同学分别给出下列结论其中有且只有一个结论是错误的则错误的结论是 A.-1是fx的零点B.1是fx的极值点C.3是fx的极值D.点28在曲线y=fx上答案 A
2.2017北京文115分已知x≥0y≥0且x+y=1则x2+y2的取值范围是 . 答案 【三年模拟】
一、选择题每小题4分共8分
1.2019届浙江高考模拟卷一10若正整数abc使二次方程ax2-bx+c=0在02内有两个不相等的实根则a的最小值为 A.1B.2C.3D.4答案 B
2.2018浙江新高考调研卷五绍兴一中10已知函数fx=ax2+bx+c且存在相异实数mn满足fm=fn=
0.若a+b+3c=0则|m-n|的最小值是 A.B.C.D.答案 C
二、填空题单空题4分多空题6分共16分
3.2019届浙江高考模拟卷一17设fx=x2-3x-mm∈RA={x|fx=x}B={x|ffx=x}若A=B≠⌀则实数m的取值范围为 . 答案 -4≤m≤-
34.2018浙江高考模拟卷17已知关于x的方程x2+2bx+c=0bc∈R在[-11]上有实根且0≤4b+c≤3则b的取值范围是 . 答案
[02]
5.2018杭州二中高三仿真考数学试卷17已知函数fx=ax+3+|2x2+4-ax-1|的最小值为2则a= . 答案
6.2017浙江名校杭州二中交流卷三16记Mxyz为xyz三个数中的最小数若二次函数fx=ax2+bx+ca≥b≥c0有零点则M的最大值为 . 答案
三、解答题共10分
7.2017浙江镇海中学第一学期期中20已知函数fx=x2+ax+bab∈R.1若对任意的实数a总存在实数m当x∈[m-1m+1]时使得fx≤0恒成立求b的最大值;2若存在x∈R使不等式fx-ax-b≤2|x-a|-|x+1-a|成立求a的取值范围.解析 1易知Δ=a2-4b0由x2+ax+b≤0得≤x≤依题意知对任意的实数a总存在实数m使得[m-1m+1]⊆所以-≥2即4b≤a2-4对于任意的实数a恒成立.故4b≤-4即b≤-1故b的最大值为-
1.2先求使不等式x22|x-a|-|x+1-a|对任意的x∈R恒成立的a的取值范围.
①当x≤a-1时不等式化为x2-x-1+a2a-x即x2+x-1a亦即a-.若a-1≥-即a≥则a-矛盾.若a-1-即a则aa-12+a-1-1即a2-2a-10解得a1+或a1-所以a1-.
②当a-1x≤a时不等式化为x2+x+1-a2a-x即x2+3x+13a亦即3a-.若a-1-≤a即-≤a-则3a-即a-所以-≤a-.若a-1≥-即a≥-则3aa-12+3a-1+1即a2-2a-10解得a1+或a1-所以-≤a1-或a1+.若a-则3aa2+3a+1恒成立.综合得a1-或a1+.
③当xa时不等式化为x2+x+1-a2x-a即x2-x+1-a亦即-a+若a≥则-aa2-a+1恒成立所以a≥.若a则-a即a-所以-a.综合得a-.综合
①②③得使不等式x22|x-a|-|x+1-a|对任意的x∈R恒成立的a的取值范围是-a1-.故存在x∈R使不等式fx-ax-b≤2|x-a|-|x+1-a|成立的a的取值范围是a≥1-或a≤-.。
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