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文本内容:
1.
1.1 任意角学习目标
1.了解角的概念.
2.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表示这些角.知识点一 角的相关概念思考1 用旋转方式定义角时,角的构成要素有哪些?答案 角的构成要素有始边、顶点、终边.思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置,有几种旋转方向?答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.梳理 1角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点,射线OA,OB分别是角α的始边和终边.2按照角的旋转方向,分为如下三类类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角知识点二 象限角思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,旋转该角,则其终边除端点外可能落在什么位置?答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理 在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.象限角终边在第几象限就是第几象限角;轴线角终边落在坐标轴上的角.知识点三 终边相同的角思考1 假设60°的终边是OB,那么-660°,420°的终边与60°的终边有什么关系,它们与60°分别相差多少?答案 它们的终边相同.-660°=60°-2×360°,420°=60°+360°,故它们与60°分别相差了-2个周角及1个周角.思考2 如何表示与60°终边相同的角?答案 60°+k·360°k∈Z.梳理 终边相同角的表示所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.1.经过1小时,时针转过30°. × 提示 因为是顺时针旋转,所以时针转过-30°.2.终边与始边重合的角是零角. × 提示 终边与始边重合的角是k·360°k∈Z.3.小于90°的角是锐角. × 提示 锐角是指大于0°且小于90°的角.4.钝角是第二象限角. √ 5.第二象限角是钝角. × 提示 第二象限角不一定是钝角.类型一 任意角概念的理解例1 2018·牌头中学月考下列命题正确的是 A.第一象限角是锐角B.钝角是第二象限角C.终边相同的角一定相等D.不相等的角,它们终边必不相同考点 任意角的概念题点 任意角的概念答案 B反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°~90°角、象限角等概念.角的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练1 写出下列说法所表示的角.1顺时针拧螺丝2圈;2将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角.考点 任意角的概念题点 任意角的概念解 1顺时针拧螺丝2圈,螺丝顺时针旋转了2周,因此所表示的角为-720°.2拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,因此将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角为900°.类型二 象限角的判定例2 1已知下列各角
①-120°;
②-240°;
③180°;
④495°.其中是第二象限角的是 A.
①②B.
①③C.
②③D.
②④考点 象限角、轴线角题点 象限角答案 D解析 -120°为第三象限角,
①错;-240°=-360°+120°,∵120°为第二象限角,∴-240°也为第二象限角,故
②对;180°为轴线角;495°=360°+135°,∵135°为第二象限角,∴495°为第二象限角,故
④对.故选D.2已知α为第三象限角,则是第几象限角?考点 象限角、轴线角题点 象限角解 因为α为第三象限角,所以k·360°+180°αk·360°+270°,k∈Z,所以k·180°+90°k·180°+135°,k∈Z,当k为偶数时,记k=2n,n∈Z,n·360°+90°n·360°+135°,n∈Z,所以终边在第二象限,当k为奇数时,记k=2n+1,n∈Z,n·360°+270°n·360°+315°,n∈Z,所以终边在第四象限.综上可知,是第二象限角或第四象限角.反思与感悟 1判断象限角的步骤
①当0°≤α360°时,直接写出结果;
②当α0°或α≥360°时,将α化为k·360°+βk∈Z,0°≤β360°,转化为判断角β所属的象限.2一般地,要确定所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线,它们与坐标轴把周角分成4n个区域,从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区域依次标上1234,…,4n,标号为几的区域,就是根据α所在第几象限时,的终边所落在的区域,如此,所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.跟踪训练2 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.1-150°;2650°;3-950°15′.考点 象限角、轴线角题点 象限角解 1因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.2因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.3因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.1最大的负角;2最小的正角;3[360°,720°的角.考点 终边相同的角题点 终边相同的角解 与10030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+10030°k∈Z,1由-360°<k·360°+10030°<0°,得-10390°<k·360°<-10030°,解得k=-28,故所求的最大负角为β=-50°.2由0°<k·360°+10030°<360°,得-10030°<k·360°<-9670°,解得k=-27,故所求的最小正角为β=310°.3由360°≤k·360°+10030°<720°,得-9670°≤k·360°<-9310°,解得k=-26,故所求的角为β=670°.反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.跟踪训练3 写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.考点 终边相同的角题点 终边相同的角解 由终边相同的角的表示知,与角α=-1910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1910°,k∈Z}.∵-720°≤β<360°,即-720°≤k·360°-1910°<360°k∈Z,∴3≤k<6k∈Z,故取k=
456.当k=4时,β=4×360°-1910°=-470°;当k=5时,β=5×360°-1910°=-110°;当k=6时,β=6×360°-1910°=250°.命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合例4 写出终边在直线y=-x上的角的集合.考点 终边相同的角题点 终边相同的角解 终边在y=-xx0上的角的集合是S1={α|α=120°+k·360°,k∈Z};终边在y=-xx≥0上的角的集合是S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}.因此,终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=300°+k·360°,k∈Z},即S={α|α=120°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=120°+2k+1·180°,k∈Z}={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.故终边在直线y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合,常用分类讨论的思想,即分x≥0和x0两种情况讨论,最后再进行合并.跟踪训练4 写出终边在直线y=x上的角的集合.考点 终边相同的角题点 终边相同的角解 终边在y=xx≥0上的角的集合是S1={α|α=30°+k·360°,k∈Z};终边在y=xx0上的角的集合是S2={α|α=210°+k·360°,k∈Z}.因此,终边在直线y=x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=30°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=210°+k·360°,k∈Z},即S={α|α=30°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=30°+2k+1·180°,k∈Z}={α|α=30°+n·180°,n∈Z}.故终边在直线y=x上的角的集合是S={α|α=30°+n·180°,n∈Z}.1.下列说法正确的是 A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第四象限角一定是负角D.小于90°的角都是锐角考点 终边相同的角题点 任意角的综合应用答案 B2.与-457°角终边相同的角的集合是 A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}考点 终边相同的角题点 终边相同的角答案 C解析 -457°=-2×360°+263°,故选C.3.2018°是 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角考点 象限角、轴线角题点 象限角答案 C解析 2018°=5×360°+218°,故2018°是第三象限角.4.已知α=30°,将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________.考点 任意角的概念题点 任意角的概念答案 1110°解析 3×360°+30°=1110°.
5.如图所示.1写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;2写出终边落在阴影部分包括边界的角的集合.考点 终边相同的角题点 终边相同的角解 1终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.2终边落在阴影部分含边界的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.注意1α为任意角;2k·360°与α之间是“+”号,k·360°-α可理解为k·360°+-α;3相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍;4k∈Z这一条件不能少.
一、选择题1.2017·甘肃兰州一中期末下列命题正确的是 A.终边在x轴非正半轴上的角是零角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k·360°k∈Z,则α与β终边相同考点 终边相同的角题点 任意角的综合应用答案 D解析 终边在x轴非正半轴上的角为k·360°+180°,k∈Z,零角为0°,所以A错误;480°角为第二象限角,但不是钝角,所以B错误;285°角为第四象限角,但不是负角,所以C错误,故选D.2.2017·济宁高一检测下列各角中,与60°角终边相同的角是 A.-300°B.-60°C.600°D.1380°考点 终边相同的角题点 终边相同的角答案 A解析 与60°角终边相同的角α=k·360°+60°,k∈Z,令k=-1,则α=-300°.3.把-1485°化成k·360°+α0°≤α<360°,k∈Z的形式是 A.315°-5×360°B.45°-4×360°C.-315°-4×360°D.-45°-10×180°考点 终边相同的角题点 终边相同的角答案 A解析 可以估算-1485°介于-5×360°与-4×360°之间.∵0°≤α<360°,∴k=-5,则α=315°.4.2017·河北邯郸一中月考已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则A,B,C关系正确的是 A.B=A∩CB.B∪C=CC.ACD.A=B=C考点 象限角、轴线角题点 象限角答案 B解析 由题意得BA∩C,故A错误;BC,所以B∪C=C,故B正确;A与C互不包含,故C错误;由以上分析可知D错误.5.若α是第四象限角,则180°-α是 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角考点 象限角、轴线角题点 象限角答案 C解析 可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.6.时针走过了2小时40分,则分针转过的角度是 A.80°B.-80°C.960°D.-960°考点 任意角的概念题点 任意角的概念答案 D解析 分针转过的角是负角,且分针每转一周是-360°,故共转了-360°×=-960°.7.2017·临沂高一检测角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为 A.α+β=k·360°,k∈ZB.α+β=k·360°+180°,k∈ZC.α-β=k·360°+180°,k∈ZD.α-β=k·360°,k∈Z考点 终边相同的角题点 终边相同的角答案 B解析 方法一 特殊值法令α=30°,β=150°,则α+β=180°.方法二 直接法因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,即α+β=k·360°+180°,k∈Z.8.设集合A={α|α=45°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=135°+k·180°,k∈Z},集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z},则 A.A∩B=∅B.ABC.BAD.A=B考点 终边相同的角题点 任意角的综合应用答案 D解析 对于集合A,α=45°+k·180°=45°+2k·90°或α=135°+k·180°=45°+90°+2k·90°=45°+2k+1·90°.∵k∈Z,∴2k表示所有的偶数,2k+1表示所有的奇数,∴集合A={α|α=45°+n·90°,n∈Z},又集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z},∴A=B.故选D.
二、填空题9.已知角α=-3000°,则与α终边相同的最小正角是________.考点 终边相同的角题点 终边相同的角答案 240°解析 与α=-3000°终边相同的角的集合为{θ|θ=-3000°+k·360°,k∈Z},令-3000°+k·360°0°,解得k,故当k=9时,θ=240°满足条件.10.若α=k·360°+45°,k∈Z,则是第________象限角.考点 象限角、轴线角题点 象限角答案 一或三解析 ∵α=k·360°+45°,k∈Z,∴=k·180°+
22.5°,k∈Z.当k为偶数,即k=2n,n∈Z时,=n·360°+
22.5°,n∈Z,∴为第一象限角;当k为奇数,即k=2n+1,n∈Z时,=n·360°+
202.5°,n∈Z,∴为第三象限角.综上,是第一或第三象限角.
11.如图,终边落在OA的位置上的角的集合是________________;终边落在OB的位置上,且在-360°~360°内的角的集合是________;终边落在阴影部分含边界的角的集合是____________________.考点 终边相同的角题点 任意角的综合应用答案 {α|α=120°+k·360°,k∈Z} {315°,-45°}{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}解析 终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α=120°+k·360°,k∈Z}.终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α=315°+k·360°,k∈Z},取k=0,-1得α=315°,-45°.故终边落在OB的位置上,且在-360°~360°内的角的集合是{315°,-45°}.终边落在阴影部分的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.12.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°β180°},则A∩B=________________.考点 终边相同的角题点 任意角的综合应用答案 {-126°,-36°,54°,144°}解析 当k=-1时,α=-126°;当k=0时,α=-36°;当k=1时,α=54°;当k=2时,α=144°.∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.13.已知角β的终边在直线x-y=0上.则角β的集合S为__________.考点 终边相同的角题点 任意角的综合应用答案 {β|β=60°+n·180°,n∈Z}解析 如图,直线x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°~360°范围内,终边落在射线OA上的角是60°,终边落在射线OB上的角是240°,所以以射线OA,OB为终边的角的集合分别为S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z},所以,角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+2k+1·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.14.2017·山东临沂一中月考若角α满足180°α360°,角5α与α有相同的始边与终边,则角α=________.考点 终边相同的角题点 终边相同的角答案 270°解析 ∵角5α与α具有相同的始边与终边,∴5α=k·360°+α,k∈Z,得4α=k·360°,k∈Z,∴α=k·90°,k∈Z,又180°α360°,∴当k=3时,α=270°.
三、解答题15.2017·山西平遥一中月考一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆半径为1的圆上爬动,两只蚂蚁均从点A10同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角其中0°αβ180°,如果两只蚂蚁都在第14s时回到A点,并且在第2s时均位于第二象限,求α,β的值.考点 终边相同的角题点 任意角的综合应用解 根据题意,可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z14β=n·360°,n∈Z,则α=·180°,m∈Z,β=·180°,n∈Z.由两只蚂蚁在第2s时均位于第二象限,知2α,2β均为第二象限角.团为0°αβ180°,所以0°2α2β360°,所以2α,2β均为钝角,即90°2α2β180°,于是45°α90°,45°β90°.所以45°·180°90°,45°·180°90°,即m,n,又αβ,所以mn,从而可得m=2,n=3,即α=,β=.。