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6.2 垂直关系的性质学习目标
1.掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理.
2.能运用性质定理解决一些简单问题.
3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.知识点一 直线与平面垂直的性质定理思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直,这些电线杆之间的位置关系是什么?答案 平行.梳理 性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言知识点二 平面与平面垂直的性质思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直,因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直.梳理 性质定理文字语言如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言α⊥β,α∩β=l,aα,a⊥l⇒a⊥β图形语言1.若平面α⊥平面β,任取直线lα,则必有l⊥β. × 2.已知两个平面垂直,过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. × 类型一 线面垂直的性质及应用例1 如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证EF∥BD
1.考点 直线与平面垂直的性质题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明 如图,连接AB1,B1C,BD,B1D
1.∵DD1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,∴AC⊥平面BDD1B1,又BD1平面BDD1B1,∴AC⊥BD
1.同理BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD
1.反思与感悟 证明线线平行的常用方法1利用线线平行定义证共面且无公共点.2利用三线平行公理证两线同时平行于第三条直线.3利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行.4利用线面垂直的性质定理把证线线平行转化为证线面垂直.5利用面面平行的性质定理把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练1 如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B,aα,a⊥AB.求证a∥l.考点 直线与平面垂直的性质题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明 ∵PA⊥α,lα,∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB=P,∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α,aα,∴PA⊥a.∵a⊥AB,PA∩AB=A,∴a⊥平面PAB.∴a∥l.类型二 面面垂直的性质及应用例2 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证BC⊥AB.考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质定理判定线线垂直证明 如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,AD平面PAB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC,∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC,又∵PA∩AD=A,PA,AD平面PAB,∴BC⊥平面PAB.又AB平面PAB,∴BC⊥AB.反思与感悟 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点1两个平面垂直;2直线必须在其中一个平面内;3直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练2 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为边AD的中点.求证1BG⊥平面PAD;2AD⊥PB.考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质定理判定线面垂直证明 1∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,∴△ABD是正三角形,又G为AD的中点,∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG平面ABCD,∴BG⊥平面PAD.2由1可知BG⊥AD,由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD.又BG∩PG=G,∴AD⊥平面PBG,又PB平面PBG,∴AD⊥PB.类型三 垂直关系的综合应用命题角度1 线线、线面、面面垂直的转化例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证1PA⊥底面ABCD;2BE∥平面PAD;3平面BEF⊥平面PCD.考点 垂直问题的综合应用题点 线线、线面、面面垂直的相互转化证明 1∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.2∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E和F分别是CD和PC的中点,故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD.又AD平面PAD,BE⊈平面PAD,∴BE∥平面PAD.3在平行四边形ABED中,∵AB⊥AD,∴四边形ABED为矩形,∴BE⊥CD.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,又AB⊥AD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.又E,F分别为CD和PC的中点,∴EF∥PD,∴CD⊥EF.∵EF∩BE=E,EF,BE平面BEF,∴CD⊥平面BEF.又∵CD平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.反思与感悟 在空间垂直关系中,线面垂直是核心,已知线面垂直,既可为证明线线垂直提供依据,又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而可转化为线线垂直问题.跟踪训练3 如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,AB⊥AC,DC⊥BC.求证平面ABD⊥平面ACD.考点 垂直问题的综合应用题点 线线、线面、面面垂直的相互转化证明 ∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,在平面ABC内,作AE⊥BC于点E,如图,则AE⊥平面BCD.又CD平面BCD,∴AE⊥CD.又BC⊥CD,AE∩BC=E,AE,BC平面ABC,∴CD⊥平面ABC,又AB平面ABC,∴AB⊥CD.又AB⊥AC,AC∩CD=C,AC,CD平面ACD.∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD,∴平面ABD⊥平面ACD.命题角度2 垂直中的探索性问题例4 已知在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ0<λ<1.1求证不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;2当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题1证明 ∵∠BCD=90°,∴BC⊥CD.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又∵AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.∵=,∴EF∥CD,∴EF⊥平面ABC.又∵EF平面BEF,∴平面BEF⊥平面ABC.故不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.2解 由1得EF⊥平面ABC,BE平面ABC,∴EF⊥BE.要使平面BEF⊥平面ACD,只需BE⊥AC.∵∠BCD=90°,BC=CD=1,∴BD=.又∵AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,∴AB=,AC=,∴BE==,∴AE=,∴λ==.故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.反思与感悟 解决开放性问题一般先从结论入手,分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件,此类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.跟踪训练4 如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.1求证D1C⊥AC1;2设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题1证明 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接C1D,∵DC=DD1,∴四边形DCC1D1是正方形,∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,∴AD⊥平面DCC1D1,∴AD⊥D1C.∵AD,DC1平面ADC1,且AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC
1.∵AC1平面ADC1,∴D1C⊥AC
1.2解 连接AD1,AE,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN,∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,需使MN∥D1E.又M是AD1的中点,∴N是AE的中点,又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE,即E是DC的中点.综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E∥平面A1BD.1.给出下列说法
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行;
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;
③一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线垂直.其中正确说法的个数是 A.0B.1C.2D.3考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 D2.平面α⊥平面β,直线a∥α,则 A.a⊥βB.a∥βC.a与β相交D.以上都有可能考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 D解析 因为a∥平面α,平面α⊥平面β,所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能.3.已知直线l⊥平面α,直线m平面β.有下面四个说法
①α∥β⇒l⊥m;
②α⊥β⇒l∥m;
③l∥m⇒α⊥β;
④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个说法是 A.
①②B.
③④C.
①③D.
②④考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 C解析 ∵l⊥α,α∥β,mβ,∴l⊥m,故
①正确;∵l∥m,l⊥α,∴m⊥α,又∵mβ,∴α⊥β,故
③正确.4.如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=________.考点 平面与平面垂直的性质题点 有关面面垂直性质的计算答案 解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°即PA⊥AC,∴PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,∴PB===.
5.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证平面SCD⊥平面SBC.考点 平面与平面垂直的性质题点 面面垂直性质的综合应用证明 因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD,平面SDC∩平面ABCD=CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面SCD.又因为BC平面SBC,所以平面SCD⊥平面SBC.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的转化与化归思想,其转化关系如下
一、选择题1.在圆柱的一个底面上任取一点该点不在底面圆周上,过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 A.相交B.平行C.异面D.相交或平行考点 直线与平面垂直的性质题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行答案 B解析 由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于点F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是 A.平行B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质定理判定线面垂直答案 D解析 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF平面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D
1.3.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则 A.PD平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质定理判定线面垂直答案 B解析 ∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,PD平面PAB,∴PD⊥平面ABC.4.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1的位置关系为 A.平行B.共面C.垂直D.不垂直考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质定理判定线线垂直答案 C解析 如图所示,在四边形ABCD中,∵AB=BC,AD=CD,∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD平面ABCD,∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C,∴BD⊥CC1,故选C.5.下列说法中错误的是 A.如果平面α⊥平面β,那么平面α所有直线都垂直于平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面τ,平面β⊥平面τ,α∩β=l,那么l⊥平面τ考点 平面与平面垂直的性质题点 面面垂直性质的综合应用答案 A解析 显然A不正确,若两个平面垂直,一个平面内只有和交线垂直的直线才和另一个平面垂直.6.设l是直线,α,β是两个不同的平面,下列结论正确的是 A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 B解析 设α∩β=a,若直线l∥a,且l⃘α,l⃘β,则l∥α,l∥β,因此α不一定平行于β,故A错误;由于l∥α,故在α内存在直线l′∥l,又因为l⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β,所以B正确;若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此时l在平面β内,因此C错误;已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β内,则l∥α且l∥β,因此D错误.
7.如图,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,现在沿SE,SF,EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3重合,重合后的点记为G.给出下列关系
①SG⊥平面EFG;
②SE⊥平面EFG;
③GF⊥SE;
④EF⊥平面SEG.其中成立的有 A.
①与
②B.
①与
③C.
②与
③D.
③与
④考点 垂直问题的综合应用题点 线线、线面、面面垂直的相互转化答案 B解析 由SG⊥GE,SG⊥GF,得SG⊥平面EFG,排除C、D;若SE⊥平面EFG,则SG∥SE,这与SG∩SE=S矛盾,排除A,故选B.
二、填空题8.设两个平面α,β,直线l,下列三个条件
①l⊥α;
②l∥β;
③α⊥β.若以其中两个作为前提条件,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中,正确命题的个数为________.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 1解析
①②作为前提条件,
③作为结论构成的命题正确,过l作一平面与β交于l′,则l∥l′,所以l′⊥α,故α⊥β;
①③作为前提条件,
②作为结论构成的命题错误,这时可能有lβ;
②③作为前提条件,
①作为结论构成的命题错误,这时l与α的各种位置关系都可能存在.
9.如图,直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为________.考点 平面与平面垂直的性质题点 有关面面垂直性质的计算答案 解析 如图,连接BC,∵二面角α-l-β为直二面角,ACα,且AC⊥l,∴AC⊥β.又BCβ,∴AC⊥BC,∴BC2=AB2-AC2=
3.又BD⊥CD,∴CD==.
10.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=________.考点 平面与平面垂直的性质题点 有关面面垂直性质的计算答案 7解析 取AB的中点D,连接PD,∵PA=PB,∴PD⊥AB,∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD平面PAB,∴PD⊥平面ABC,∴PD⊥CD.连接DC,则△PDC为直角三角形,在Rt△ABC中,AB===2,在Rt△DBC中,DC===,PD===.在Rt△PCD中,PC===
7.11.如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为________.考点 平面与平面垂直的判定题点 判定两平面垂直答案 3解析 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD.在折起前,因为AB⊥BD,AB∥CD,所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,所以平面ACD⊥平面ABD,共3对
三、解答题12.如图所示,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.1求证AP∥平面BEF;2求证BE⊥平面PAC.考点 题点 证明 1如图所示,设AC∩BE=O,连接OF,EC.由于E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,因此,四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此,在△PAC中,可得AP∥OF.又OF平面BEF,AP⃘平面BEF,所以AP∥平面BEF.2由题意,知ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC平面PAC,所以BE⊥平面PAC.13.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起.1如果二面角A-DE-C是直二面角,求证AB=AC;2如果AB=AC,求证平面ADE⊥平面BCDE.考点 垂直问题的综合应用题点 线线、线面、面面垂直的相互转化证明 1过A作AM⊥DE于点M,则由题意可得AM⊥平面BCDE,∴AM⊥BC.又AD=AE,所以M是DE的中点.取BC的中点N,连接MN,则MN⊥BC,又AM∩MN=M,所以BC⊥平面AMN,所以AN⊥BC.又N是BC的中点,所以△ABC为等腰三角形,所以AB=AC.2取BC的中点N,连接AN.因为AB=AC,所以AN⊥BC.取DE的中点M,连接MN,AM,所以MN⊥BC,又AN∩MN=N,所以BC⊥平面AMN,所以AM⊥BC.又M是DE的中点,AD=AE,所以AM⊥DE.又因为DE与BC是平面BCDE内的两条相交直线,所以AM⊥平面BCDE.又因为AM平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCDE.
四、探究与拓展14.在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为 A.2B.2C.4D.4考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题答案 B解析 如图,连接CM,则由题意PC⊥平面ABC,可得PC⊥CM,所以PM=,要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可.在△ABC中,当CM⊥AB时,CM有最小值,此时有CM=4×=2,所以PM的最小值为
2.15.如图
①所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图
②所示.1求证DE∥平面A1CB;2求证A1F⊥BE;3线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题1证明 因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又DE⃘平面A1CB,BC平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.2证明 由已知得DC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥DC.又DE⊥A1D,A1D∩CD=D,A1D,CD平面A1DC,所以DE⊥平面A1DC,而A1F平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE平面BCDE,所以A1F⊥平面BCDE,又BE平面BCDE,所以A1F⊥BE.3解 线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下如图所示,分别取A1C,A1B的中点P,Q,连接DP,PQ,QE,则PQ∥BC.又因为DE∥BC,所以DE∥PQ,所以平面DEQ即为平面DEP.由2知,DE⊥平面A1DC,A1C平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,所以A1C⊥DP,又DE∩DP=D,DE,DP平面DEP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,且Q为A1B的中点时,A1C⊥平面DEQ.。