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文本内容:
4.2 空间图形的公理二学习目标
1.掌握公理4及等角定理.
2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念,能求出一些较特殊的异面直线所成的角.知识点一 平行公理公理4思考 在平面内,直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c.该结论在空间中是否成立?答案 成立.梳理 平行公理1文字表述平行于同一条直线的两条直线平行.2符号表示⇒a∥c.知识点二 空间两直线的位置关系思考 在同一平面内,两条直线有几种位置关系?观察下面两个图形,你能找出既不平行又不相交的两条直线吗?答案 平行与相交.教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线;六角螺母中直线AB与CD.梳理 异面直线的概念1定义不同在任何一个平面内的两条直线.2异面直线的画法衬托平面法如图12所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.3判断两直线为异面直线的方法
①定义法;
②两直线既不平行也不相交.4空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分
②从是否共面的角度来分知识点三 等角定理思考 观察图,在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?答案 从图中可以看出,∠ADC=∠A′D′C′,∠ADC+∠D′A′B′=180°.梳理 等角定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,则这两个角相等或互补.知识点四 异面直线所成的角思考 在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中,BC1∥AD1,则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等?答案 相等.梳理 异面直线所成角的定义定义前提两条异面直线a,b作法经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b结论我们把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角或夹角范围记异面直线a与b所成的角为θ,则0°θ≤90°.特殊情况当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b.1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线. × 2.两直线若不是异面直线,则必相交或平行. √ 3.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,则∠BAC=∠B′A′C′. × 类型一 公理4及等角定理的应用例1 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分别是AB,BC,A′B′,B′C′的中点,求证EE′∥FF′.考点 平行公理题点 判断、证明线线平行证明 因为E,E′分别是AB,A′B′的中点,所以BE∥B′E′,且BE=B′E′.所以四边形EBB′E′是平行四边形,所以EE′∥BB′,同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.反思与感悟 1空间两条直线平行的证明
①定义法即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.
②利用公理4找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.2“等角”定理的结论是相等或互补,在实际应用时,一般是借助于图形判断是相等,还是互补,还是两种情况都有可能.跟踪训练1 如图,已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证1四边形MNA1C1是梯形;2∠DNM=∠D1A1C
1.考点 空间等角定理题点 判断、证明角的关系证明 1如图,连接AC,在△ACD中,∵M,N分别是CD,AD的中点,∴MN是△ACD的中位线,∴MN∥AC,MN=AC.由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C
1.∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1,∴四边形MNA1C1是梯形.2由1可知MN∥A1C
1.又∵ND∥A1D1,∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,∴∠DNM=∠D1A1C
1.类型二 异面直线命题角度1 异面直线的判定例2 1若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c的位置关系是 A.异面B.相交或平行C.平行或异面D.相交、平行或异面考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 D解析 异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明a,b异面,直线c的位置可如图所示.2如图,已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定解 由异面直线的定义可知,棱AD,DC,CC′,DD′,D′C′,B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.反思与感悟 判断两直线是否为异面直线,只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交,也不平行,就是异面直线.跟踪训练2 1在四棱锥P-ABCD中,各棱所在的直线互相异面的有________对.考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 8解析 与AB异面的有侧棱PD和PC,同理,与底面的各条边异面的都有两条侧棱,故共有异面直线4×2=8对.2如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对?分别是哪几对?考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定解 还原的正方体如图所示.异面直线有三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.命题角度2 求异面直线所成的角例3 在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成锐角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角解 如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB且EG=AB,GF∥CD且GF=CD,由AB=CD知EG=FG,从而可知∠GEF为EF与AB所成角,∠EGF或其补角为AB与CD所成角.∵AB与CD所成角为30°,∴∠EGF=30°或150°,由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°,当∠EGF=150°时,∠GEF=15°,故EF与AB所成角的大小为15°或75°.反思与感悟 1异面直线一般依附于某几何体,所以在求异面直线所成的角时,首先将异面直线平移成相交直线,而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.2求异面直线所成的角的一般步骤
①作角平移成相交直线.
②证明用定义证明前一步的角为所求.
③计算在三角形中求角的大小,但要注意异面直线所成的角的范围.跟踪训练3 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心,则EF与CD所成角的大小是________.考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 45°解析 连接B′D′,则E为B′D′的中点,连接AB′,则EF∥AB′,又CD∥AB,所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角,即∠B′AB=45°.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是 A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 B解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,显然BB1∩BC=B,DD1与BC是异面直线,故选B.2.若OA∥O′A′,OB∥O′B′,且∠AOB=130°,则∠A′O′B′为 A.130°B.50°C.130°或50°D.不能确定考点 空间等角定理题点 利用等角定理求角答案 C解析 根据定理,∠A′O′B′与∠AOB相等或互补,即∠A′O′B′=130°或∠A′O′B′=50°.3.下列四个结论中错误的个数是
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.A.1B.2C.3D.4考点 题点 答案 B解析
①④均为错误结论.
①可举反例,如a,b,c三线两两垂直.
④如图甲所示,c,d与异面直线l1,l2交于四个点,此时c,d异面;当点A在直线l1上运动其余三点不动时,会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c,d共面相交.4.如图所示,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.填序号考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案
②④解析
①中,∵G,M是中点,∴AG∥BM,AG=BM,∴GM∥AB,GM=AB,HN∥AB,HN=AB,∴四边形GHNM是平行四边形.∴GH∥MN,即G,H,M,N四点共面;
②中,∵H,G,N三点共面,且都在平面HGN内,而点M显然不在平面HGN内,∴H,G,M,N四点不共面,即GH与MN异面;
③中,∵G,M是中点,∴GM∥CD,GM=CD,∴GM∥HN,GM=HN,即GMNH是梯形,则GH,MN必相交,∴H,G,M,N四点共面;
④中,同
②,G,H,M,N四点不共面,即GH与MN异面.5.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中.1求A1C1与B1C所成角的大小;2若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角解 1如图所示,连接AC,AB
1.由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知,四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°.2如图所示,连接BD.由1知AC∥A1C1,∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.∵EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD.又∵AC⊥BD,∴AC⊥EF,∴EF⊥A1C1,即A1C1与EF所成的角为90°.1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方法.2.在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是,两条异面直线所成角的范围为0°,90°],解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生,主要有三种方法
①直接平移法可利用图中已有的平行线;
②中位线平移法;
③补形平移法在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线.
一、选择题1.如图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是其所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是 考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 C解析 选项A,B中RS与PQ平行;选项D中RS与PQ相交,故选C.2.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形 A.全等B.不相似C.仅有一个角相等D.相似考点 空间等角定理题点 判断、证明角的关系答案 D解析 由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,故选D.3.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定 A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系的判定答案 C解析 若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据公理4,知a∥b,与a,b异面矛盾,故选C.4.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是 A.空间四边形B.矩形C.菱形D.正方形考点 平行公理题点 判断、证明线线平行答案 B解析 如图,易证四边形EFGH为平行四边形.又∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.又∵FG∥BD,∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.而AC与BD所成的角为90°,∴∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.
5.如图所示,已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中,l平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定不正确的是 A.l与AD平行B.l与AB异面C.l与CD所成角为30°D.l与BD垂直考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 A
6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 C解析 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.综上所述,故选C.7.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成的角为 A.30°B.45°C.60°D.90°考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 C解析 如图,连接BC1,A1C
1.∵BC1∥AD1,∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中,A1B=BC1=A1C1,∴∠A1BC1=60°.故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.8.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.平行、相交或异面都有可能考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案 D解析 当a,b,c共面时,a∥c;当a,b,c不共面时,a与c可能异面也可能相交.
二、填空题
9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为________.填序号考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案
③④解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故
①②错误;
③④正确.10.在空间四边形ABCD中,如图所示,=,=,则EH与FG的位置关系是________.考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案 平行解析 如图,连接BD,在△ABD中,=,则EH∥BD,同理可得FG∥BD.∴EH∥FG.11.如果两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥所在的12条直线中,异面直线共有________对.考点 异面直线的判定题点 异面直线的判定答案 24解析 六条侧棱不是异面直线,一条侧棱与底面六边形的两边相交,与另四条边异面,这样异面直线一共有4×6=24对.12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,1AC与DD1所成的角为________;2AC与D1C1所成的角为________.考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 190° 245°解析 1DD1和AC是异面直线,因为AA1∥DD1,所以∠A1AC为DD1和AC所成的角.因为AA1⊥AC,所以∠A1AC=90°,所以DD1和AC所成的角是90°.2因为DC∥D1C1,所以∠ACD是AC和D1C1所成的角.又∠ACD=45°,所以AC和D1C1所成的角是45°.
三、解答题
13.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥AF,BE=AF,G,H分别为FA,FD的中点.1证明四边形BCHG是平行四边形;2判断C,D,F,E四点是否共面?为什么?考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定的应用1证明 由已知FG=GA,FH=HD,可得GH∥AD,GH=AD.又BC∥AD,BC=AD,∴GH∥BC,GH=BC,∴四边形BCHG为平行四边形.2解 C,D,F,E四点共面,理由如下由BE∥AF,BE=AF,G为FA的中点知,BE∥GF,BE=GF,∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.由1知BG∥CH,BG=CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.
四、探究与拓展
14.如图,在三棱锥D—ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于 A.30°B.45°C.60°D.90°考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 B解析 如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.∵E,F分别为CD,AB的中点,∴FG∥AC,EG∥BD,且FG=AC,EG=BD.又∵AC=BD,∴FG=EG,∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角.∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,∴△EFG为等腰直角三角形,∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.
15.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角解 如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,AD,由四棱柱的性质知BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角.设AB=a,∵AA1与AC,AB所成的角均为60°,且AB=AC=AA1,∴A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos30°=a.又∠BAC=90°,∴在矩形ABDC中,AD=a,∴A1D1=a,∴A1D+A1B2=BD,∴∠BA1D1=90°,∴在Rt△BA1D1中,cos∠A1BD1===.。