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7.3 球的表面积和体积学习目标
1.了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积及体积.
2.会求解组合体的体积与表面积.知识点一 球的截面思考 什么叫作球的大圆与小圆?答案 平面过球心与球面形成的截线是大圆.平面不过球心与球面形成的截线是小圆.梳理 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆,有以下性质1若平面α过球心O,则截线是以O为圆心的球的大圆.2若平面α不过球心O,如图,设OO′⊥α,垂足为O′,记OO′=d,对于平面α与球面的任意一个公共点P,都满足OO′⊥O′P,则有O′P=,即此时截线是以O′为圆心,以r=为半径的球的小圆.知识点二 球的切线1定义与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线.如图,l为球O的切线,M为切点.2性质
①球的切线垂直于过切点的半径;
②过球外一点的所有切线的长度都相等.知识点三 球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R表面积公式S=4πR2体积公式V=πR31.球的表面积等于它的大圆面积的2倍. × 2.两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶
4. × 3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面. √ 类型一 球的表面积与体积例1 1某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________.考点 题点 答案 3π解析 由三视图知该几何体为半球,则其表面积为×4π×12+π×12=3π.2已知球的表面积为64π,求它的体积.考点 题点 解 设球的半径为R,则4πR2=64π,解得R=4,所以球的体积V=πR3=π·43=π.反思与感悟 1要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.2半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.3由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆.跟踪训练1 1已知球的体积为π,则其表面积为________.考点 题点 答案 100π解析 设球的的半径为R,则πR3=π,解得R=5,所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π.2某器物的三视图如图,根据图中数据可知该器物的体积是 A.B.C.-D.+考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 D解析 由三视图可知,此几何体上部是直径为2的球,下部是底面直径为2,高为的圆锥,所以V=π×13+π×12×=+.类型二 球的截面例2 在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.考点 题点 解 依题意知,△ABC是正三角形,△ABC的外接圆半径r=×3=.由R2=2+2,得R=
2.所以球的表面积S=4πR2=16π.反思与感悟 1有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.2解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r
2.跟踪训练2 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3考点 题点 答案 A解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图,作出球的一个截面,则MC=8-6=2cm,BM=AB=×8=4cm.设球的半径为Rcm,则R2=OM2+MB2=R-22+42,∴R=5,∴V球=π×53=cm3.类型三 与球有关的组合体命题角度1 球的内接或外切柱体问题例3 1一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为123,则此球的表面积为________.考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题答案 14π解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即2R==,所以球的表面积S=4πR2=14π.2将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为________.考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题答案 解析 由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是×π×12=.反思与感悟 1正方体的内切球球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,若正方体的棱长为a,此时球的半径为r1=.2长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长为a,b,c,则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2=.跟踪训练3 表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 A.πB.πCπD.π考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题答案 A解析 如图所示,将正四面体补形成一个正方体.设正四面体的棱长为a.∵正四面体的表面积为,∴4×a2=,解得a=,∴正方体的棱长是,又∵球的直径是正方体的体对角线,设球的半径是R,∴2R=×,∴R=,∴球的体积为π·3=π,故选A.命题角度2 球的内接锥体问题例4 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上,求球的表面积.考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题解 把正四面体放在正方体中,设正方体棱长为x,则a=x,由题意2R=x=×=a,∴S球=4πR2=πa
2.反思与感悟 将正四面体补成正方体.由此可得正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R=a.跟踪训练4 球的一个内接圆锥满足球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为________.考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题答案 或解析 设球的半径为R,则球心到圆锥底面的距离为R.
①当圆锥顶点与底面在球心两侧时,过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图,此时圆锥底面圆的半径为R,高为R,故圆锥的体积与球的体积之比为=.
②当圆锥顶点与底面在球心同侧时,同理求得二者体积比为.1.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为 A.RB.2RC.3RD.4R考点 球的体积题点 与截面有关的球的体积计算问题答案 D解析 设圆柱的高为h,则πR2h=3×πR3,得h=4R.2.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为 A.πB.4πC.4πD.6π考点 球的体积题点 与截面有关的球的体积计算问题答案 B解析 如图,设截面圆的圆心为O′,M为截面圆上任一点,则OO′=,O′M=
1.∴OM==.即球的半径为.∴V=π3=4π.3.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9πB.10πC.11πD.12π考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 D解析 由三视图可知,该几何体的上部分是半径为1的球,下部分是底面半径为1,高为3的圆柱.由面积公式可得该几何体的表面积S=4π×12+2π×12+2π×1×3=12π.4.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为 A.1B.2C.3D.4考点 题点 答案 B解析 设两球半径分别为R1,R2,且R1R2,则4πR-R=48π,2πR1+R2=12π,所以R1-R2=
2.5.若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的________倍,表面积变为原来的________倍.考点 题点 答案 8 4解析 球的半径为R时,球的体积为V1=πR3,表面积为S1=4πR2,半径增加为2R后,球的体积为V2=π2R3=πR3,表面积为S2=4π2R2=16πR
2.所以==8,==4,即体积变为原来的8倍,表面积变为原来的4倍.1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算.2.解决球与其他几何体的切接问题时,通常先作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形中,再进行相关计算.
一、选择题1.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的 A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍考点 题点 答案 C解析 设三个球的半径由小到大依次为r1,r2,r3,则r1∶r2∶r3=1∶2∶3,∴V3=πr=×27πr=36πr,V1+V2=πr+πr=×9πr=12πr,∴V3=3V1+V2.2.设正方体的表面积为24cm2,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是 A.πcm3B.πcm3C.πcm3D.πcm3考点 球的体积题点 与外接、内切有关的球的体积计算问题答案 D解析 由正方体的表面积为24cm2,得正方体的棱长为2cm,故这个球的直径为2cm,故这个球的体积为πcm
3.
3.圆柱形容器内盛有高度为6cm的水,若放入三个相同的球球的半径与圆柱的底面半径相同后,水恰好淹没最上面的球,如图所示.则球的半径是 A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm考点 球的体积题点 与外接、内切有关的球的体积计算问题答案 C解析 设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r,解得r=
3.4.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.π+12B.π+18C.9π+42D.36π+18考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积V=π3+3×3×2=π+
18.5.一平面截一球得到直径为6cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4cm,则该球的体积是 A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3考点 球的体积题点 与截面有关的球的体积计算问题答案 C解析 如图,根据题意,|OO1|=4cm,|O1A|=3cm,∴|OA|=R==5cm,故球的体积V=πR3=cm3.故选C.6.圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为r组成一个几何体,该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r等于 A.1B.2C.4D.8考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 B解析 如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S=×4πr2+πr2+4r2+πr·2r=5π+4r2,又S=16+20π,∴5π+4r2=16+20π,∴r2=4,r=2,故选B.7.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2cm,那么该棱柱的表面积为 A.2+4cm2B.8+16cm2C.4+8cm2D.16+32cm2考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题答案 B解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上,∴正四棱柱的底面边长为2cm,球的直径为正四棱柱的体对角线,∴正四棱柱的体对角线为4cm,正四棱柱的底面对角线长为2cm,∴正四棱柱的高为=2cm,∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×2=8+16cm2,故选B.
二、填空题8.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为________.考点 题点 答案 解析 设大,小两球半径分别为R,r,则所以所以体积和为πR3+πr3=.9.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为________.考点 题点 答案 解析 设球的半径为R,正方体棱长为a,则V球=πR3=π,得到R=,正方体体对角线的长为a=2R,则a=,所以正方体的棱长为.10.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 33π解析 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成,且球的半径和圆锥底面半径都等于3,圆锥的母线长等于5,所以该几何体的表面积为S=2π×32+π×3×5=33π.11.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________.考点 题点 答案 π解析 如图所示,CD是截面圆的直径.∴2·π=π,即CD=2,设球O的半径为R,∵AH∶HB=1∶2,∴AH=×2R=R,∴OH=R-R=R,由OD2=OH2+HD2,得R2=R2+1,∴R2=,∴S球=4πR2=π.
三、解答题12.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积解 该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.13.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r,水面的半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·r2·3r-πr3=πr3,而将球取出后,设容器内水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积是V′=π·2·h=πh3,由V=V′,得h=r.即容器中水的深度为r.
四、探究与拓展14.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π考点 题点 答案 A解析 这个几何体由上、下两部分组成,下半部分是一个长方体,其中长,宽,高分别为6+2+2=101+2+1=45;上半部分是一个横放的半圆柱,其中底面半径为=3,母线长为2,故V=10×4×5+π×32×2=200+9π.15.有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个项点,求这三个球的表面积之比.考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题解 设正方体棱长为a,三个球的半径依次为R1,R2,R3,则有2R1=a,R1=,a=2R2,R2=a,a=2R3,R3=a,所以R1∶R2∶R3=1∶∶.所以S1∶S2∶S3=R∶R∶R=1∶2∶
3.即这三个球的表面积之比为1∶2∶
3.。