赣豫陕2018-2019学年高中数学第一章集合1第1课时集合的含义学案北师大版必修1

第1课时　集合的含义学习目标　

1.了解集合与元素的含义.

2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.

3.理解集合与元素的关系.

4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．知识点一　集合的概念1集合一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．2元素集合中的每个对象叫作这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，d，…表示集合中的元素．知识点二　元素与集合的关系思考　1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案　1是整数；不是整数；没有．梳理　元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉.知识点三　元素的三个特性思考1　某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案　某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合A，那么任何一个对象a是不是这个集合中的元素就确定了．思考2　构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案　2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．思考3　“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答案　两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的．由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．梳理　元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．知识点四　常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋或N*ZQR1．y＝x＋1上所有点构成集合A，则点12∈A.　√　2．0∈N但0∉N＋.　√　3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1∉A.　×　类型一　判断给定的对象能否构成集合例1　考察下列每组对象能否构成一个集合．1不超过20的非负数；2方程x2－9＝0在实数范围内的解；3某班的所有高个子同学；4的近似值的全体．考点　集合的概念题点　集合的概念解　1对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．2能构成集合．3“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．4“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．反思与感悟　判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1　下列各组对象可以组成集合的是　　A．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数考点　集合的概念题点　集合的概念答案　B解析　A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．类型二　元素与集合的关系命题角度1　判定元素与集合的关系例2　给出下列关系

①∈R；

②∉Q；

③|－3|∉N；

④|－|∈Q；

⑤0∉N，其中正确的个数为　　A．1B．2C．3D．4考点　元素与集合的关系题点　判断元素与集合的关系答案　B解析　是实数，

①对；不是有理数，

②对；|－3|＝3是自然数，

③错；|－|＝为无理数，

④错；0是自然数，

⑤错．故选B.反思与感悟　要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．跟踪训练2　用符号“∈”或“∉”填空．－______R；－3______Q；－1______N；π______Z.考点　元素与集合的关系题点　判断元素与集合的关系答案　∈　∈　∉　∉命题角度2　根据已知的元素与集合的关系推理例3　集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．考点　元素与集合的关系题点　伴随元素问题答案　012解析　∵x∈N，∈N，∴0≤x≤2且x∈N.当x＝0时，＝＝2∈N；当x＝1时，＝＝3∈N；当x＝2时，＝＝6∈N.∴A中元素有

012.反思与感悟　判断元素和集合关系的两种方法1直接法

①使用前提集合中的元素是直接给出的．

②判断方法首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．2推理法

①使用前提对于某些不便直接表示的集合．

②判断方法首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．跟踪训练3　已知集合A中的元素x满足2x＋a0，a∈R，若1∉A2∈A，则　　A．a－4B．a≤－2C．－4a－2D．－4a≤－2考点　元素与集合的关系题点　由元素与集合的关系求参数的取值范围答案　D解析　∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－

2.又∵2∈A，∴2×2＋a0，a－4，∴－4a≤－

2.类型三　元素的三个特性的应用例4　已知集合A有三个元素a－32a－1，a2＋1，集合B也有三个元素01，x.1若－3∈A，求a的值；2若x2∈B，求实数x的值；3是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．考点　元素与集合的关系题点　由元素与集合的关系求参数的值解　1由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－

1.经检验，0与－1都符合要求．∴a＝0或－

1.2当x＝01，－1时，都有x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－

1.3显然a2＋1≠

0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2a－1＝

0.若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0510，与集合B中元素不相同．若2a－1＝0，则a＝，A包含的元素为0，－，，与集合B中元素不相同．故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．反思与感悟　元素的无序性主要体现在

①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；

②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等．元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．跟踪训练4　已知集合M中含有三个元素a，，1，集合N中含有三个元素a2，a＋b0，若集合M与集合N中元素相同，求a，b的值．考点　元素与集合的关系题点　由元素与集合的关系求参数的值解　∵集合M与集合N中元素相同．∴解得或由集合中元素的互异性，得a≠1，∴a＝－1，b＝

0.1．下列给出的对象中，能组成集合的是　　A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的实数根考点　集合的概念题点　集合的概念答案　D2．下面说法正确的是　　A．所有在N中的元素都在N＋中B．所有不在N＋中的数都在Z中C．所有不在Q中的实数都在R中D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中考点　常用的数集及表示题点　常用的数集及表示答案　C3．由“book中的字母”构成的集合中元素的个数为　　A．1B．2C．3D．4考点　元素与集合的关系题点　集合中元素的个数答案　C4．下列结论不正确的是　　A．0∈NB.∈QC．0∉QD．－1∈Z考点　常用的数集及表示题点　常用的数集及表示答案　C5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为　　A．2B．3C．0或3D．023均可考点　元素与集合的关系题点　由元素与集合的关系求参数的值答案　B解析　由2∈A可知若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为032，符合题意．1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征或标准，依此特征或标准能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．2．元素a与集合A之间只有两种关系a∈A，a∉A.3．集合中元素的三个特性1确定性指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．2互异性集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．3无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系.

一、选择题1．已知集合A由满足x1的数x构成，则有　　A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1∉A考点　元素与集合的关系题点　判断元素与集合的关系答案　C解析　很明显31不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含　　A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素考点　元素与集合的关系题点　集合中元素的个数答案　A解析　由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．3．下列结论中，不正确的是　　A．若a∈N，则－a∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则∈R考点　常用的数集及表示题点　常用的数集及表示答案　A解析　A不对．反例0∈N，－0∈N.4．已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是　　A．0∉MB．1∈MC．－2∉MD．2∈M考点　元素与集合的关系题点　判断元素与集合的关系答案　D解析　

①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；

②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；

③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，所以集合M的元素共有3个－202，故选D.5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是　　A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形考点　集合中元素的特征题点　集合中参数的取值范围答案　D解析　由元素的互异性知a，b，c均不相等．6．已知A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是　　A．－1∉AB．－11∈AC．3k2－1∈AD．－34∉A考点　元素与集合的关系题点　判断元素与集合的关系答案　C解析　令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.令3k－1＝－11，解得k＝－∉Z，∴－11∉A；∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.

二、填空题7．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．考点　元素与集合的关系题点　集合中元素的个数答案　1解析　易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．8．下列所给关系正确的个数是________．

①π∈R；

②∉Q；

③0∈N＋；

④|－4|∉N＋.考点　常用的数集及表示题点　常用的数集及表示答案　2解析　∵π是实数，是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴

①②正确，

③④不正确，正确的个数为

2.9．如果有一个集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．考点　集合中元素的特征题点　集合中参数的取值范围答案　x≠012，解析　由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠012，.10．已知集合P中元素x满足x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.考点　元素与集合的关系题点　由元素与集合的关系求参数的值答案　6解析　∵x∈N2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝

6.

三、解答题11．已知集合A是由a－22a2＋5a12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．考点　元素与集合的关系题点　由元素与集合的关系求参数的值解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－.当a＝－1时，a－2＝－32a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．∴实数a的值为－.12．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.若a∈A，试求实数a的值．考点　集合中元素的特征题点　集合中参数的取值范围解　因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－

1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－21，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为

1.13．数集A满足条件若a∈A，则∈Aa≠1．1若2∈A，试求出A中其他所有元素；2自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；3从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．考点　元素与集合的关系题点　伴随元素问题解　12∈A，则∈A，即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，.2如若3∈A，则A中其他所有元素为－，.3分析以上结果可以得出A中只能有3个元素，它们分别是a，，a≠0，且a≠1，且三个数的乘积为－

1.证明如下若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，所以又有＝∈A且≠1，进而有＝a∈A.又因为a≠因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解，同理≠，a≠.又因为a··＝－1，所以A中只能有3个元素，它们分别是a，，a≠0，且a≠1，且三个数的乘积为－

1.

四、探究与拓展14．已知集合A中有3个元素a，b，c，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是

123.则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．考点　元素与集合的关系题点　根据新定义求集合答案　12解析　由题意知解得∴集合A＝{012}，则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是

12.故集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{12}．15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2m，n∈Z，求证13∈A；2偶数4k－2k∈Z不属于集合A.考点　元素与集合的关系题点　判断元素与集合的关系证明　1令m＝2∈Z，n＝1∈Z，得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.2假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝m＋nm－n成立．

①当m，n为同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，所以m＋nm－n为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．

②当m，n为一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，所以m＋nm－n为奇数，与4k－2是偶数矛盾．所以假设不成立．综上，4k－2∉A.。