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文本内容:
§2 集合的基本关系学习目标
1.理解子集、集合相等、真子集的概念.
2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.
3.掌握列举有限集的所有子集的方法.知识点一 子集思考 如果把“马”和“白马”视为两个集合,则这两个集合中的元素有什么关系?答案 所有的白马都是马,马不一定是白马.梳理 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即若a∈A,则a∈B,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,称集合A为集合B的子集,记作A⊆B或B⊇A,读作“A包含于B”或“B包含A”.子集的有关性质1∅是任何集合A的子集,即∅⊆A.2任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.3对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.4若A⊆B,B⊆A,则称集合A与集合B相等,记作A=B.知识点二 真子集思考 在知识点一里,我们知道集合A是它本身的子集,那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集?答案 用真子集.梳理 如果集合A⊆B,但A≠B,称集合A是集合B的真子集,记作AB或BA,读作A真包含于B或B真包含A.知识点三 Venn图思考 图中集合A,B,C的关系用符号可表示为__________.答案 A⊆B⊆C梳理 一般地,用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.1.若用“≤”类比“⊆”,则“”相当于“”. √ 2.空集可以用表示. × 3.若a∈A,则⊆A. √ 4.若a∈A,则A. × 类型一 求集合的子集例1 1写出集合{a,b,c,d}的所有子集;2若一个集合有nn∈N个元素,则它有多少个子集?多少个真子集?验证你的结论.考点 子集及其运算题点 求集合的子集解 1∅,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}.2若一个集合有nn∈N个元素,则它有2n个子集,2n-1个真子集.如∅,有1个子集,0个真子集.反思与感悟 为了罗列时不重不漏,要讲究列举顺序,这个顺序有点类似于从1到100数数先是一位数,然后是两位数,在两位数中,先数首位是1的等等.跟踪训练1 适合条件{1}⊆A{12345}的集合A的个数是 A.15B.16C.31D.32考点 与两个已知集合有包含关系的集合个数题点 与两个已知集合有包含关系的集合个数答案 A解析 这样的集合A有{1},{12},{13},{14},{15},{123},{124},{125},{134},{135},{145},{1234},{1235},{1245},{1345}共15个.类型二 判断集合间的关系命题角度1 概念间的包含关系例2 设集合M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为 A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 B解析 正方形都是菱形,菱形都是平行四边形,平行四边形都是四边形,故选B.反思与感悟 一个概念通常就是一个集合,要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义.跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N,Z,Q,R表示,用符号表示N,Z,Q,R的关系为______________.考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 NZQR命题角度2 数集间的包含关系例3 设集合A={01},集合B={x|x2或x3},则A与B的关系为 A.A∈BB.B∈AC.A⊆BD.B⊆A考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 C解析 ∵02,∴0∈B.又∵12,∴1∈B.∴A⊆B.反思与感悟 判断集合关系的方法1观察法一一列举观察.2元素特征法首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法利用数轴或Venn图.跟踪训练3 已知集合A={x|-1x4},B={x|x5},则 A.A∈BB.ABC.BAD.B⊆A考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 B解析 由数轴易知A中元素都属于B,B中至少有一个元素如-2∉A,故有AB.类型三 由集合间的关系求参数或参数范围例4 已知集合A={x|x2-x=0},B={x|ax=1},且A⊇B,求实数a的值.考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的值解 A={x|x2-x=0}={01}.1当a=0时,B=∅⊆A,符合题意.2当a≠0时,B={x|ax=1}=,∵≠0,要使A⊇B,只有=1,即a=
1.综上,a=0或a=
1.反思与感悟 集合A的子集可分三类∅,A本身,A的非空真子集,解题中易忽略∅.跟踪训练4 已知集合A={x|1x2},B={x|2a-3xa-2},且A⊇B,求实数a的取值范围.考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的取值范围解 1当2a-3≥a-2,即a≥1时,B=∅⊆A,符合题意.2当a1时,要使A⊇B,需满足这样的实数a不存在.综上,实数a的取值范围是{a|a≥1}.1.下列说法
①空集没有子集;
②任何集合至少有两个子集;
③空集是任何集合的真子集;
④若∅A,则A≠∅.其中正确的个数是 A.0B.1C.2D.3考点 空集的定义、性质及运算题点 空集的定义答案 B解析 只有
④正确.2.集合P={x|x2-1=0},T={-101},则P与T的关系为 A.PTB.P∈TC.P=TD.P⊈T考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 A3.若A={1},则下列关系错误的是 A.∅⊆∅B.A⊆AC.∅⊆AD.∅∈A考点 空集的定义、性质及运算题点 空集的性质答案 D4.下列正确表示集合M={-101}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是 考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 B5.已知集合A=,B=,则集合A,B之间的关系为________.考点 集合的关系题点 集合关系的判定答案 A=B解析 A==,B==,故A=B.1.对子集、真子集有关概念的理解1集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由x∈A,能推出x∈B,这是判断A⊆B的常用方法.2不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为若A=∅时,则A中不含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素.3在真子集的定义中,AB首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为含n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.写集合的子集时,空集和集合本身易漏掉.3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法1注意点
①不能忽视集合为∅的情形;
②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.2常用方法对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围值时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.
一、选择题1.在下列关系中错误的个数是
①1∈{012};
②{1}∈{012};
③{012}⊆{012};
④{012}={201};
⑤{01}⊆{01}.A.1B.2C.3D.4考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 B解析
①正确;因为集合{1}是集合{012}的真子集,而不能用符号∈来表示,所以
②错误;
③正确,因为任何集合都是它本身的子集;
④正确,因为集合元素具有无序性;因为集合{01}表示数集,它有两个元素,而集合{01}表示点集,它只有一个元素,所以
⑤错误,所以错误的个数是
2.故选B.2.已知集合M={x,y|x+y0,xy0}和P={x,y|x0,y0},那么 A.PMB.MPC.M=PD.M⊈P考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 C解析 由得故M=P.3.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系正确的是
①S∈U;
②F⊆T;
③S⊆T;
④S⊆F;
⑤S∈F;
⑥F⊆U.A.
①③B.
②③C.
③④D.
③⑥考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 D解析 元素与集合之间的关系才用∈,故
①⑤错;子集的区域要被全部涵盖,故
②④错.4.已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等腰直角三角形},D={x|x是等边三角形},则 A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 B解析 ∵等腰三角形包括等腰直角三角形,∴C⊆B.5.若M⊆P,M⊆Q,P={012},Q={024},则满足上述条件的集合M的个数是 A.1B.2C.4D.8考点 子集个数题点 求集合的子集个数答案 C解析 P,Q中的公共元素组成集合C={02},M⊆C,这样的集合M共有22=4个.6.设集合A={-11},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠∅,B⊆A,则a,b不能是 A.-11B.-10C.0,-1D.11考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的值答案 B解析 当a=-1,b=1时,B={x|x2+2x+1=0}={-1},符合;当a=b=1时,B={x|x2-2x+1=0}={1},符合;当a=0,b=-1时,B={x|x2-1=0}={-11},符合;当a=-1,b=0时,B={x|x2+2x=0}={0,-2},不符合.7.已知集合A⊆,且集合A中至少含有一个偶数,则这样的集合A的个数为 A.6B.5C.4D.3考点 子集及其运算题点 求集合的子集答案 A解析 方法一 集合的子集为∅,,,,,,,,其中含有偶数的集合有6个.方法二 共有23=8个子集,其中不含偶数的有∅,.故符合题意的A共有8-2=6个.
二、填空题8.已知{01}A⊆{-101},则集合A的个数为________.考点 与两个已知集合有包含关系的集合个数题点 与两个已知集合有包含关系的集合个数答案 1解析 由题意知集合A中一定含有元素01,并且A中至少含三个元素,又因为A⊆{-101},所以A={-101},满足题意的集合A有1个.9.已知集合A=,B=,则集合A,B满足的关系是________.用⊆,,=连接A,B考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 AB解析 若x0∈A,即x0=+=+-=+,k0∈Z.∵2k0-1∈Z,∴x0∈B,即A⊆B,又∈B,但∉A,即A≠B,∴AB.10.已知集合{b}={x|x∈R|ax2-4x+1=0}a,b∈R,则a+b=________.考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的值答案 或解析 由题意知方程ax2-4x+1=0有唯一解,当a=0时,x=,此时b=,则a+b=;当a≠0时,由Δ=-42-4a=0,得a=4,方程ax2-4x+1=0的解为x=,此时b=,则a+b=.
三、解答题11.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0x5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C有多少个?考点 与两个已知集合有包含关系的集合个数题点 与两个已知集合有包含关系的集合个数解 先用列举法表示集合A,B.由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={12}.由题意知B={1234},∴满足条件的C可为{12},{123},{124},{1234}.综上,满足题意的集合C共有4个.12.设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2a+1x+a2-1=0},其中x∈R,如果B⊆A,求实数a的取值范围.考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的取值范围解 由于A={0,-4},又B⊆A,则
①当B=A时,即0,-4是方程x2+2a+1x+a2-1=0的两根,代入方程解得a=
1.
②当B≠A时,ⅰ当B=∅时,则Δ=4a+12-4a2-10,解得a-1;ⅱ当B={0}或B={-4}时,方程x2+2a+1x+a2-1=0应有两相等实数根0或-4,则Δ=4a+12-4a2-1=0,解得a=-1,此时B={0},满足条件.综上,可知a=1或a≤-
1.13.已知集合A={13,-x3},B={x+21},是否存在实数x,使得B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.考点 子集及其运算题点 求集合的子集解 因为B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,符合题意.若x+2=-x3,则x3+x+2=0,所以x+1x2-x+2=
0.因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.综上所述,存在实数x=1,使得B是A的子集,此时A={13,-1},B={13}.
四、探究与拓展14.给定集合U,若非空集合A,B满足A⊆U,B⊆U,且集合A中的最大元素小于B中的最小元素,则称A,B为U的一个有序子集对,若U={1234},则U的有序子集对的个数为 A.16B.17C.18D.19考点 子集及其运算题点 求集合的子集答案 B解析 当A={1}时,集合B为集合{234}的非空子集,有7个;当A={2}时,集合B为集合{34}的非空子集,有3个;当A={3}时,集合B={4},有1个;当A={12}时,集合B为集合{34}的非空子集,有3个;当A={13}时,集合B={4},有1个;当A={23}时,集合B={4},有1个;当A={123}时,集合B={4},有1个.所以符合条件的有序子集对有17个.15.已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x0},若A⊆B,求实数m的取值集合.考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的取值范围解 ∵A⊆B,∴当A=∅时,即方程x2-4mx+2m+6=0无实根,故Δ=16m2-8m+30,解得-1m.当A≠∅时,方程x2-4mx+2m+6=0的根为负,则⇒⇒⇒-3m≤-
1.综上,实数m的取值集合是.。