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文本内容:
3.1 交集与并集学习目标
1.理解并集、交集的概念.
2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.
3.会求简单集合的并集和交集.知识点一 并集1定义一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B读作“A并B”.2并集的符号语言表示为A∪B={x|x∈A或x∈B}.3图形语言、,阴影部分为A∪B.4性质A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=A⇔B⊆A,A⊆A∪B.知识点二 交集思考 一副扑克牌,既是红桃又是A的牌有几张?答案 1张.红桃共13张,A共4张,其中两项要求均满足的只有红桃A一张.梳理 1定义一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B读作“A交B”.2交集的符号语言表示为A∩B={x|x∈A且x∈B}.3图形语言,阴影部分为A∩B.4性质A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=A⇔A⊆B,A∩B⊆A∪B,A∩B⊆A,A∩B⊆B.1.若x∈A∩B,则x∈A∪B. √ 2.A∩B是一个集合. √ 3.如果把A,B用Venn图表示为两个圆,则两圆必须相交,交集才存在. × 4.若A,B中分别有2个元素,则A∪B中必有4个元素. × 类型一 求并集命题角度1 数集求并集例1 1已知集合A={345},B={136},则集合A∪B是 A.{13456}B.{3}C.{3456}D.{123456}考点 并集的概念及运算题点 有限集合的并集运算答案 A解析 A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合相同元素算一个,因此A∪B={13456},故选A.2A={x|-1x2},B={x|1x3},求A∪B.考点 并集的概念及运算题点 无限集合的并集运算解 如图由图知A∪B={x|-1x3}.反思与感悟 有限集求并集就是把两个集合中的元素合并,重复的保留一个;用不等式表示的,常借助数轴求并集.由于A∪B中的元素至少属于A,B之一,所以从数轴上看,至少被一道横线覆盖的数均属于并集.跟踪训练1 1A={-202},B={x|x2-x-2=0},求A∪B.考点 并集的概念及运算题点 有限集合的并集运算解 B={-12},∴A∪B={-2,-102}.2A={x|-1x2},B={x|x≤1或x3},求A∪B.考点 并集的概念及运算题点 无限集合的并集运算解 如图由图知A∪B={x|x2或x3}.命题角度2 点集求并集例2 集合A={x,y|x0},B={x,y|y0},求A∪B,并说明其几何意义.考点 并集的概念及运算题点 无限集合的并集运算解 A∪B={x,y|x0或y0}.其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴,y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点.反思与感悟 求并集要弄清楚集合中的元素是什么,是点还是数.跟踪训练2 A={x,y|x=2},B={x,y|y=2}.求A∪B,并说明其几何意义.考点 并集的概念及运算题点 无限集合的并集运算解 A∪B={x,y|x=2或y=2},其几何意义是直线x=2和直线y=2上所有的点组成的集合.类型二 求交集例3 1若集合A={x|-5x2},B={x|-3x3},则A∩B等于 A.{x|-3x2}B.{x|-5x2}C.{x|-3x3}D.{x|-5x3}考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算答案 A解析 在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示,由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分,即A∩B={x|-3x2},故选A.2若集合M={x|-2≤x2},N={012},则M∩N等于 A.{0}B.{1}C.{012}D.{01}考点 交集的概念及运算题点 有限集合与无限集合的交集运算答案 D解析 M={x|-2≤x2},N={012},则M∩N={01},故选D.3集合A={x,y|x0},B={x,y|y0},求A∩B并说明其几何意义.考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算解 A∩B={x,y|x0且y0},其几何意义为第一象限所有点的集合.反思与感悟 两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的公共元素组成的集合,当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.数轴是集合运算的好帮手,但要画得规范.跟踪训练3 1集合A={x|-1x2},B={x|x≤1或x3},求A∩B;2集合A={x|2kx2k+1,k∈Z},B={x|1x6},求A∩B;3集合A={x,y|y=x+2},B={x,y|y=x+3},求A∩B.考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算解 1A∩B={x|-1x≤1}.2A∩B={x|2x3或4x5}.3A∩B=∅.类型三 并集、交集性质的应用例4 已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x-1或x5},若A∪B=B,求实数a的取值范围.考点 集合的交集、并集性质及应用题点 利用集合的交集、并集性质求参数的取值范围解 A∪B=B⇔A⊆B.当2aa+3,即a3时,A=∅,满足A⊆B.当2a=a+3,即a=3时,A={6},满足A⊆B.当2aa+3,即a3时,要使A⊆B,需或解得a-4或a
3.综上,a的取值范围是{a|a3}∪{a|a=3}∪=.反思与感悟 解此类题,首先要准确翻译,诸如“A∪B=B”之类的条件.在翻译成子集关系后,不要忘了空集是任何集合的子集.跟踪训练4 设集合A={x|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中p,q为常数,x∈R,当A∩B=时,求p,q的值和A∪B.考点 集合的交集、并集性质及应用题点 求集合的并集解 ∵A∩B=,∴∈A,∴2×2+3p×+2=0,∴p=-,∴A=.又∵A∩B=,∴∈B,∴2×2++q=0,∴q=-
1.∴B=.∴A∪B=.1.已知集合M={-101},N={012},则M∪N等于 A.{-101}B.{-1012}C.{-102}D.{01}考点 并集的概念及运算题点 有限集合的并集运算答案 B2.已知集合A={x|x2-2x=0},B={012},则A∩B等于 A.{0}B.{01}C.{02}D.{012}考点 交集的概念及运算题点 有限集合的交集运算答案 C3.已知集合A={x|x1},B={x|0x2},则A∪B等于 A.{x|x0}B.{x|x1}C.{x|1x2}D.{x|0x2}考点 并集的概念及运算题点 无限集合的并集运算答案 A4.已知A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合A∩B等于 A.∅B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0x1}考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算答案 A5.已知集合A={13},B={1,m},A∪B=A,则m等于 A.0或B.0或3C.1或D.1或3考点 集合的交集、并集性质及应用题点 利用集合的交集、并集性质求参数的值答案 B1.对并集、交集概念的理解1对于并集,要注意其中“或”的意义,“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别,它们是“相容”的.“x∈A,或x∈B”这一条件,包括下列三种情况x∈A但x∉B;x∈B但x∉A;x∈A且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合.2A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素,而不是部分,特别地,当集合A和集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=∅.2.集合的交、并运算中的注意事项1对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性.2对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值取到与否.
一、选择题1.已知集合M={1234},N={-22},下列结论成立的是 A.N⊆MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}考点 集合的交集、并集性质及应用题点 交集、并集的性质答案 D解析 ∵-2∈N,但-2∉M,∴A,B,C三个选项均不对.2.设集合A={12},B={123},C={234},则A∩B∪C等于 A.{123}B.{124}C.{234}D.{1234}考点 并集、交集的综合运算题点 并集、交集的综合运算答案 D解析 A∩B={12},A∩B∪C={12}∪{234}={1234}.3.已知集合A={x|-1≤x≤1}和集合B={y|y=x2},则A∩B等于 A.{y|0y1}B.{y|0≤y≤1}C.{y|y0}D.{01,10}考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算答案 B解析 ∵B={y|y=x2},∴B={y|y≥0},A∩B={y|0≤y≤1}.4.已知M={x,y|x+y=2},N={x,y|x-y=4},那么M∩N为 A.x=3,y=-1B.3,-1C.{3,-1}D.{3,-1}考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算答案 D解析 由解得∴M∩N={3,-1}.5.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则A*B等于 A.{x|1≤x3}B.{x|1≤x≤3}C.{x|0≤x1或x3}D.{x|0≤x≤1或x≥3}考点 并集、交集的综合运算题点 并集、交集的综合运算答案 C解析 由题意知,A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},则A*B={x|0≤x1或x3}.6.若集合A={x|x≥0},且A∩B=B,则集合B可能是 A.{12}B.{x|x≤1}C.{-101}D.R考点 交集的概念及运算题点 有限集合与无限集合的交集运算答案 A解析 ∵A∩B=B,∴B⊆A,四个选项中,符合B⊆A的只有选项A.7.已知集合A=,A∪B=,则满足条件的集合B的个数为 A.1B.2C.3D.4考点 集合的交集、并集性质及应用题点 利用交集、并集性质求集合的个数答案 D解析 因为集合A=,A∪B=,所以B中至少含有34两个元素,所以满足条件的集合B为,,,,共4个.
二、填空题8.已知集合P={x||x|x},Q={x|y=},则P∩Q=________.考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算答案 {x|x0}解析 |x|x⇒x0,∴P={x|x0}1-x≥0⇒x≤1,∴Q={x|x≤1},故P∩Q={x|x0}.9.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是________.考点 并集的概念及运算题点 由并集运算结果求参数问题答案 {a|a≤1}解析 A={x|x≤1},B={x|x≥a},要使A∪B=R,只需a≤
1.如图.10.已知集合A={01,11,-12},B={x,y|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=________.考点 交集的概念及运算题点 有限集合的交集运算答案 {01,-12}解析 A,B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可.
三、解答题11.已知集合A=,集合B={m|32m-1},求A∩B,A∪B.考点 并集、交集的综合运算题点 并集、交集的综合运算解 解不等式组得-2x3,则A={x|-2x3},解不等式32m-1得m2,则B={m|m2}.用数轴表示集合A和B,如图所示,则A∩B={x|-2x2},A∪B={x|x3}.12.已知集合A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.1若A∩B={x|1≤x≤3},求实数m的值;2若A∩B=∅,求实数m的取值范围.考点 交集的概念及运算题点 由交集运算结果求参数的值解 A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.1∵A∩B={x|1≤x≤3},∴解得m=
3.2A∩B=∅,A⊆{x|xm-2或x>m+2}.∴m-2>3或m+2-
1.∴实数m的取值范围是{m|m>5或m-3}.13.已知集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|x2-ax-b=0}.1若A∪B={235},A∩B={3},求a,b的值;2若∅BA,求实数a,b的值.考点 题点 解 1因为A={35},A∪B={235},A∩B={3},所以3∈B2∈B,故23是一元二次方程x2-ax-b=0的两个实数根,所以a=2+3=5,-b=2×3=6,b=-
6.2由∅BA,且A={35},得B={3}或B={5}.当B={3}时,解得a=6,b=-9;当B={5}时,解得a=10,b=-
25.综上,或
四、探究与拓展14.已知集合A=,B={x|x2-2x-m0},若A∩B={x|-1x4},则实数m的值为______.考点 题点 答案 8解析 由≥1,得≤0,∴-1x≤5,∴A={x|-1x≤5}.又∵B={x|x2-2x-m0},A∩B={x|-1x4},∴4是方程x2-2x-m=0的根,即42-2×4-m=0,解得m=
8.此时B={x|-2x4},符合题意,故实数m的值为
8.15.某校有21个学生参加了数学小组,17个学生参加了物理小组,10个学生参加了化学小组,他们之中同时参加数学、物理小组的有12人,同时参加数学、化学小组的有6人,同时参加物理、化学小组的有5人,同时参加3个小组的有2人,现在这三个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛,问需要预购多少张车票?考点 Venn图表达的集合关系及运用题点 Venn图的应用解 由题意可画Venn图如下由图可以看出,参加三个小组的学生共有1+2+2+3+4+5+10=27人,所以需要购买27张车票.。