高中数学第一章三角函数1.3同角三角函数函数关系学案苏教版必修4

同角三角函数函数关系

一、考点突破知识点课标要求题型说明同角三角函数关系

1.掌握同角三角函数的基本关系式；

2.能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明选择题解答题同角三角函数是三角函数的基础，注意理解本质，灵活应用

二、重难点提示重点同角三角函数之间的基本关系、化简与证明难点化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用

一、同角三角函数的基本关系式

1.平方关系

2.商数关系

二、利用同角三角函数的基本关系式求值、化简、证明

1.利用同角三角函数的基本关系式求值利用公式可解决已知某角的一个三角函数值，求它的其余两个三角函数值（即知一求二）的问题注意

（1）如果已知一个角的正弦、余弦、正切中的一个具体值，且角所在的象限也已指定，那么只有一种结果；

（2）如果已知一个角的正弦、余弦、正切中的一个具体值，但未指定角所在的象限，那么要按角所在的可能象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组解

2.利用同角三角函数的基本关系式化简和证明注意三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，化简的结果一般要求函数种类尽量少，次数尽量低，项数尽量少，式子中尽可能不含根号，能求值的要求出示例（北京高考）若，则思路分析由正弦求余弦，利用平方关系答案由已知得在第三象限，技巧点拨注意先判断角所在象限，从而确定开方取负例题1已知cosα＝－，求sinα，tanα的值思路分析先由cosα的符号判断α所在的象限，然后分别由平方关系和商数关系求sinα，tanα的值答案∵cosα＝－＜0，∴α是第

二、三象限角若α是第二象限，则sinα＝，tanα＝；若α是第三象限角，则sinα＝－，tanα＝＝例题2已知tanα＝－，求下列各式的值

①；

②3sin2α＋2sinαcosα－cos2α思路分析利用同角三角函数的基本关系式tanα＝，将所求代数式转化为关于tanα的代数式，再将tanα的值代入即可答案

①＝＝＝＝－1

②3sin2α＋2sinαcosα－cos2α＝技巧点拨解决齐次式时，分子分母同除以某一量，其式子可以转化为关于tanα的式子，然后求值例题3求证sinθ（1＋tanθ）＋cosθ（1＋）＝＋；思路分析证明恒等式的原则是由繁到简，所以在该题中应从左到右进行论证，因为右端无切函数，所以在变形、化简过程中应将切借助于商数关系化弦；答案左式＝sinθ（1＋）＋cosθ（1＋）＝sinθ＋＋cosθ＋＝（sinθ＋）＋（cosθ＋）＝＋＝＋＝右式；技巧点拨证明三角恒等式，实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子通过巧妙变形消除差异，实现联通，使其左右两侧相等，为了达到这个目的，我们经常采用以下的策略和方法

（1）左推右（或右推左）法从一边开始，证明它等于另一边；

（2）左右归一法证明左右两边都等于同一个式子；

（3）等价转化法变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式【满分训练】已知关于x的方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实数根分别是sinθ，cosθ，求|sinθ－cosθ|的值思路分析根据根与系数的关系可求出sinθ＋cosθ，sinθcosθ的值，再利用平方关系求得k的值，最后求出|sinθ－cosθ|的值答案由题意得∴sin2θ＋cos2θ＝（sinθ＋cosθ）2－2sinθcosθ＝k2－＝1，∴9k2－8k－20＝0，∴k＝2或k＝－，当k＝2时，Δ＜0，不符合题意，舍去，当k＝－时，Δ＞0，∴k＝－，此时sinθ＋cosθ＝，∴|sinθ－cosθ|2＋（sinθ＋cosθ）2＝2（sin2θ＋cos2θ）＝2，∴|sinθ－cosθ|2＝2－＝，∴|sinθ－cosθ|＝技巧点拨

1.解答本题时，易忽视“Δ＞0”这一隐含条件

2.要学会利用方程的思想解三角函数题，对于sinα±cosα，sinαcosα这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两式的值，求值时不要忘记讨论符号。