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第五章数列单元过关检测五120分钟 150分
一、选择题本大题共12小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1.已知数列5…那么15是数列的 A.第22项B.第23项C.第24项D.第25项【解析】选B.根据通项公式an=有=15解得n=
23.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn且Sn=3n+an∈N*则实数a的值是 A.-3B.3C.-1D.1【解析】选C.当n≥2时an=Sn-Sn-1=2·3n-1当n=1时a1=S1=3+a因为数列{an}是等比数列所以3+a=2解得a=-
1.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn若S3=9S5=25则S7= A.41B.48C.49D.56【解析】选C.设Sn=An2+BnA≠0由题意知解得所以S7=
49.【变式备选】已知等差数列{an}的前13项之和为39则a6+a7+a8= A.6B.9C.12D.18【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d根据等差数列的求和公式可得:S13=13a1+d=39化简得:a1+6d=3所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d=3a1+18d=3a1+6d=3×3=
9.【一题多解】本小题还可以采用以下解法:选B.由等差数列的性质得S13=13a7=39所以a7=3所以a6+a7+a8=3a7=
9.
4.2018·长沙模拟等差数列{an}的前n项和为Sn且a10若存在自然数m≥3使得am=Sm则当nm时Sn与an的大小关系是 A.SnanB.Sn≤anC.SnanD.大小不能确定【解析】选C.由题意得公差d0且am0所以当nm时Sn-an=Sn-Sm+am-an=am+am+1+…+an-10所以Snan.
5.数列{an}满足an+1=若a1=则a2018的值是 A.B.C.D.【解析】选D.由数列的递推公式及首项a1=可得a2=a3=a4=所以数列具有周期性所以a2018=a2=.
6.若an是由正数组成的等比数列其前n项和为Sn已知a1a5=1且S3=7则S7= A.B.C.D.【解析】选C.由an0且a1a5==1得a3=
1.由S3=7得++a3=7即+=6又q0解得q=.所以S7=S3+a3q+a3q2+a3q3+a3q4=7++++=.
7.已知数列{an}的前n项和为Sna1=1a2=2且对于任意n1n∈N*满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1则S10的值为 A.91B.90C.55D.54【解析】选A.由Sn+1+Sn-1=2Sn+1得Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2即an+1=an+2所以an=即数列从第二项起为等差数列公差为2所以S10=1+9×2+×2=
91.
8.2018·重庆模拟在数列{an}中已知an=n∈N*则{an}的前n项和Sn= A.--B.C.D.【解析】选D.由an==Sn=-+-+-+…+-+-==.
9.在等差数列{an}中a10a2012+a20130a2012·a20130则使Sn0成立的最大自然数n是 A.4025B.4024C.4023D.4022【解析】选B.{an}为等差数列a10a2012+a20130a2012·a20130所以a20120a20130所以d0因为S4024=a1+a4024=a2012+a2013所以S
40240.因为S4025=a1+a4025=2a
2013.所以S40250所以使Sn0成立的最大自然数n是
4024.
10.2018·临川模拟我国古代数学名著《九章算术》中有已知长方形面积求一边的算法“少广”算法其方法的前两步如下.第一步:构造数列1….
①第二步:将数列
①的各项乘以得到一个新数列a1a2a3…an.则a1a2+a2a3+a3a4+…+an-1an等于 A.B.C.D.【解析】选C.由题意所得新数列为1×××…×所以a1a2+a2a3+a3a4+…+an-1an=[+++…+]=[+++…-]==.
11.2018·杭州模拟设{an}是等差数列{bn}是等比数列且a1=b1=1a2017=b2017=2017则下列结论正确的是 A.a1008a1009B.a2016b2016C.∀n∈N*1n2017anbnD.∃n0∈N*1n02017使得=【解析】选C.A项{an}是等差数列a1=1a2017=2017所以数列单调递增错误;因为等差数列的图象为一次函数上孤立的点而等比数列为指数函数上孤立的点且由题意两个函数分别单调递增故画出相对应的函数图象一条直线与一条下凸的曲线在自变量n取1和2017时有交点因此在1n2017时anbnn2017时anbn所以BD错误C正确.
12.设数列{an}的前n项和为Sn已知a2=2an+2+-1n-1an=1则S40= A.260B.250C.240D.230【解析】选C.因为an+2+-1n-1an=1所以a2k+1+a2k-1=1a2k+2-a2k=1k∈N*所以数列是等差数列首项为2公差为
1.S40=[a1+a3+…+a37+a39+a2+a4+…+a38+a40]=10+2×20+×1=
240.
二、填空题本大题共4小题每小题5分共20分.请把正确答案填在题中横线上
13.在等差数列{an}中a2+a6+2a8=8则此数列的前11项的和等于________. 【解析】由题知a2+a6+2a8=8所以2a4+2a8=8所以a4+a8=4所以2a6=4解得a6=2所以数列的前11项的和S11===11a6=
22.答案:22【一题多解】本小题还可以采用以下解法:由题知a2+a6+2a8=8所以4a1+20d=8即a1+5d=2S11=11a1+d=11×a1+5d=
22.答案:
2214.已知正项数列{an}满足-6=an+1an.若a1=2则数列{an}的前n项和为________. 【解析】因为-6=an+1an所以an+1-3anan+1+2an=0因为an0所以an+1=3an又因为a1=2所以数列{an}是首项为2公比为3的等比数列所以数列{an}的前n项和Sn==3n-
1.答案:3n-
115.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形等腰直角三角形边上再连接正方形…如此继续若共得到1023个正方形设初始正方形的边长为则最小正方形的边长为________. 【解析】设1+2+4+…+2n-1=1023即=10232n=1024n=
10.正方形边长构成数列…其中第10项为=即所求最小正方形的边长为.答案:
16.已知{an}是等差数列d为其公差Sn是其前n项和若只有S4是数列{Sn}中的最小项则可得出的结论中正确的是________.
①d0
②a40
③a50
④S70
⑤S
80.【解析】Sn=na1+d因为只有S4是{Sn}中的最小项所以⇒因为a4=a1+3da5=a1+4d所以-da1+3d00a1+4dd即a40a
50.S7=7a1+d=7a1+3d=7a
40.S8=8a1+d=42a1+7d由-4da1-3d可得-d2a1+7dd即-4dS84d所以S8的符号正、负、0均有可能.综上可得结论正确的有
①②③④.答案:
①②③④
三、解答题本大题共6小题共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.10分2018·沈阳模拟已知数列{an}是公差不为0的等差数列首项a1=1且a1a2a4成等比数列.1求数列{an}的通项公式.2设数列{bn}满足bn=an+求数列{bn}的前n项和为Tn.【解析】1由题设得=a1a4即1+d2=1+3d化简得d2-d=0又d≠0所以d=1所以an=n.2由1得bn=n+2nTn=1+2+3+…+n+2+22+…+2n=+2n+1-
2.
18.12分已知数列中b1=1bn+1=2bn+3n∈N*.1求证:是等比数列.2若cn=log2bn+3求数列的前n项和Rn.【解析】1因为==2且b1+3=4所以{bn+3}是首项为4公比为2的等比数列.2由1知bn+3=4×2n-1=2n+1所以bn=2n+1-3则cn=log2bn+3=n+1=-Rn=-+-+…+-=-=.【误区警示】需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题导致计算结果错误.【变式备选】已知正项等差数列的前n项和为Sn且满足a1+a5=S7=
63.1求数列的通项公式.2若数列满足b1=a1且bn+1-bn=an+1求数列的前n项和Tn.【解析】1设正项等差数列的首项为a1公差为d且an0则解得:或舍去所以an=2n+
1.2因为bn+1-bn=an+1且an=2n+1所以bn+1-bn=2n+3当n≥2时bn=bn-bn-1+bn-1-bn-2+…+b2-b1+b1=2n+1+2n-1+…+5+3=nn+2当n=1时b1=3满足上式所以bn=nn+2所以==所以Tn=++…++=[+++…+-+]==-.
19.12分2018·武汉模拟已知Sn是等比数列{an}的前n项和S3+2S9+2S6+2成等差数列且a2+a5=
4.1求数列{an}的公比q.2设bn=log2|an|求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】1设等比数列{an}的公比为q当q≠1时因为S3+2S9+2S6+2成等差数列且a2+a5=4所以2S9+2=S6+2+S3+2a1q+q4=
4.所以2×=+化为2q3+1q3-1=0解得:q3=-a2=8当q=1时不满足条件舍去所以q=-.2由1可得an=a2qn-2=-1n-2·.bn=log2|an|=当n≤11时数列{bn}的前n项和Tn==.当n≥12时数列{bn}的前n项和Tn=T11+++…+=+×[-11×n-11]=.
20.12分已知数列{an}{bn}Sn为数列{an}的前n项和a2=4b1Sn=2an-2nbn+1-n+1bn=n2+nn∈N*1求数列{an}的通项公式.2证明为等差数列.3若数列的通项公式为cn=令Tn为的前n项的和求T2n.【解析】1当n1时⇒an=2an-2an-1⇒=2当n=1时S1=2a1-2⇒a1=2综上{an}是首项为2公比为2的等比数列an=2n.2因为a2=4b1所以b1=1因为nbn+1-n+1bn=n2+n所以-=1综上是首项为1公差为1的等差数列.3由2得=1+n-1⇒bn=n
2.令pn=c2n-1+c2n=-+=4n-1·22n-2=4n-1·4n-1T2n=3×40+7×41+11×42+…+4n-1×4n-1
①4T2n=3×41+7×42+11×43+…+4n-5×4n-1+4n-1×4n
②①-
②得-3T2n=3×40+4×41+4×42+…+4×4n-1-4n-1×4n-3T2n=3+-4n-1×4nT2n=+×4n.【变式备选】已知an是单调递增的等差数列首项a1=3前n项和为Sn数列是等比数列首项b1=1且a2·b2=12S3+b2=
20.1求数列{an}和的通项公式.2设cn=an·bn求数列的前n项和Tn.【解析】1设数列{an}的公差为d数列bn的公比为q则由题意得:解得:d=-q=18或d=3q=
2.因为{an}是单调递增的等差数列所以d0所以d=3q=2所以an=3+n-1×3=3nbn=2n-
1.2cn=anbn=3n×2n-1则Tn=3×1×20+3×2×21+3×3×22+…+3×n-1×2n-2+3×n×2n-1又因为2Tn=3×1×21+3×2×22+…+3×n-1×2n-1+3×n×2n所以-Tn=3+321+22+…+2n-1-3×n×2n=3×-3×n×2n=3×2n-3-3×n×2n=-3-3×2nn-1所以Tn=3+3×2nn-
1.
21.12分2018·成都模拟已知等比数列{an}的各项均为正数a1=1公比为q;等差数列{bn}中b1=3且{bn}的前n项和为Sna3+S3=27q=.1求{an}与{bn}的通项公式.2设数列{cn}满足cn=求{cn}的前n项和Tn.【解析】1设等差数列{bn}的公差为d因为所以解得所以{an}的通项公式为an=3n-1{bn}的通项公式为bn=3n.2由题意得:Sn=所以数列{cn}的通项公式为cn==··=3所以{cn}的前n项和为Tn=3[++…+]=.
22.12分2018·北京师大附中设数列{an}的前n项和为Sna1=1Sn=nan-3nn-1n∈N*.1求数列{an}的通项公式an.2是否存在正整数n使得+++…+-n-12=2016若存在求出n值;若不存在说明理由.【解析】1Sn=nan-3nn-1n∈N*所以当n≥2时Sn-1=n-1an-1-3n-1n-2两式相减得:an=Sn-Sn-1=nan-n-1an-1-3n-1即n-1an=n-1an-1+6n-1也即an-an-1=6所以{an}是首项为1公差为6的等差数列所以an=6n-
5.2Sn=nan-3nn-1=n6n-5-3nn-1=3n2-2n所以=3n-2+++…+=31+2+3+…+n-2n=-2n=n2-n所以+++…+-n-12=n2-n-n-12=-=2016所以5n=4035所以n=807即当n=807时+++…+-n-12=
2016.。
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