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第一讲 等差数列、等比数列40分钟 70分
一、选择题每小题5分共25分
1.设SnTn分别是等差数列{an}{bn}的前n项和若=n∈N*则= A.B.C.D.【解析】选D.==.
2.等差数列{an}的公差为2若a2a4a8成等比数列则{an}的前n项和Sn= A.nn+1B.nn-1C.D.【解析】选A.由=a2·a8得a1+3d2=a1+da1+7d所以a1+62=a1+2a1+14解得a1=2所以Sn=na1+d=n2+n.
3.已知数列{an}满足:=且a2=2则a4等于 A.-B.23C.12D.11【解析】选D.因为数列{an}满足:=所以an+1+1=2an+1即数列{an+1}是等比数列公比为
2.则a4+1=22a2+1=12解得a4=
11.
4.已知数列{an}是公差不为0的等差数列a2=3且a3a5a8成等比数列设bn=则数列{bn}的前n项和Tn为 A.B.C.D.【解析】选B.设公差为dd≠0首项为a1所以a1+d=3a1+2da1+7d=a1+4d2解得a1=2d=1所以an=n+1bn==2所以Tn=2+2+…+2=2=.
5.记Sn为等差数列{an}的前n项和若3S3=S2+S4a1=2则a5= A.-12B.-10C.10D.12【解析】选B.3=2a1+d+4a1+×d⇒9a1+9d=6a1+7d⇒3a1+2d=0⇒6+2d=0⇒d=-3所以a5=a1+4d=2+4×-3=-
10.
二、填空题每小题5分共15分
6.若{an}为等比数列an0且a2018=则+的最小值为_______. 【解析】+=≥=4答案:
47.设Sn为等差数列{an}的前n项和满足S2=S6-=2则a1=_______________公差d=____________. 【解析】因为Sn为等差数列{an}的前n项和满足S2=S6-=2所以2a1+d=6a1+15d-=2解得a1=-14d=
4.答案:-14
48.对给定的正整数nn≥6定义fx=a0+a1x+a2x2+…+anxn其中a0=1ai=2ai-1i∈N*i≤n则a6=____________;当n=2017时f2=____________. 【解析】因为a0=1ai=2ai-1i∈N*i≤n所以a6=2a5=22a4=…=26a0=
64.f2=20+21×2+22×22+23×23+…+22017×22017==.答案:64
三、解答题每小题10分共30分
9.等比数列{an}的各项均为正数且2a1+3a2=1=9a2a61求数列{an}的通项公式.2设bn=log3a1+log3a2+…+log3an求数列的前n项和.【解析】1设等比数列{an}的公比为q由=9a2a6得=9所以q2=由条件可知q0故q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1所以a1=.故数列{an}的通项公式为an=.2bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-1+2+…+n=-故=-=-
2.++…+=-2=-.
10.设数列{an}的前n项和为Sn数列{Sn}的前n项和为Tn满足Tn=2Sn-n2n∈N*.1求a1a2a3的值.2求数列{an}的通项公式.【解析】1因为S1=T1=2S1-1S1=1=a1所以a1=
1.因为S1+S2=T2=2S2-4所以a2=
4.因为S1+S2+S3=T3=2S3-9所以a3=
10.2因为Tn=2Sn-n2
① Tn-1=2Sn-1-n-12
②所以
①-
②得Sn=2an-2n+1n≥2因为S1=2a1-2×1+1所以Sn=2an-2n+1n≥1
③Sn-1=2an-1-2n+3
④③-
④得an=2an-1+2n≥2an+2=2an-1+
2.因为a1+2=3所以{an+2}是首项为3公比为2的等比数列an+2=3×2n-1故an=3×2n-1-
2.
11.设数列{an}的前n项和为Sn且Sn=n2-n+1正项等比数列{bn}的前n项和为Tn且b2=a2b4=a
5.1求{an}和{bn}的通项公式.2数列{cn}中c1=a1且cn=cn+1-Tn求{cn}的通项公式cn.【解析】1因为Sn=n2-n+1所以令n=1a1=1an=Sn-Sn-1=2n-1n≥2经检验a1=1不能与ann≥2合并所以an=又因为数列{bn}为正项等比数列b2=a2=2b4=a5=8所以=q2=4所以q=2所以b1=1所以bn=2n-
1.2Tn==2n-1因为c2-c1=21-1c3-c2=22-1…cn-cn-1=2n-1-1以上各式相加得cn-c1=-n-1c1=a1=1所以cn-1=2n-n-1所以cn=2n-n.20分钟 20分
1.10分已知数列{an}中a2=1前n项和为Sn且Sn=.1求a1a
3.2求证:数列{an}为等差数列并写出其通项公式.【解析】1令n=1则a1=S1==0令n=3则S3=即0+1+a3=解得a3=
2.2由Sn=即Sn=
①得Sn+1=
②②-
①得n-1an+1=nan
③于是nan+2=n+1an+1
④③-
④得nan+2+nan=2nan+1即an+2+an=2an+1又a1=0a2=1a2-a1=1所以数列{an}是以0为首项1为公差的等差数列.所以an=n-
1.【提分备选】已知正项数列{an}的前n项和为Sn且a1=1Sn+1+Sn=数列{bn}满足bn·bn+1=且b1=
1.1求数列{an}{bn}的通项公式.2记Tn=anb2+an-1b4+…+a1b2n求Tn.【解析】1因为Sn+1+Sn=
①Sn+Sn-1=n≥2
②①-
②得:an+1+an=-所以an+1+anan+1-an-1=0因为an+10an0所以an+1+an≠0所以an+1-an=1n≥2又由S2+S1=得2a1+a2=即-a2-2=0所以a2=2a2=-1舍去所以a2-a1=1所以{an}是以1为首项1为公差的等差数列所以an=n.又因为bn·bn+1==3n
③所以bn-1·bn=3n-1n≥2
④得:=3n≥2又由b1=1可求b2=3故b1b3…b2n-1是首项为1公比为3的等比数列b2b4…b2n是首项为3公比为3的等比数列.所以b2n-1=3n-1b2n=3·3n-1=3n.所以bn=2由1得:Tn=3an+32an-1+33an-2+…+3na1
⑤3Tn=32an+33an-1+34an-2+…+3n+1a1
⑥⑥-
⑤得:2Tn=-3an+32an-an-1+33an-1-an-2+…+3na2-a1+3n+1a1由an=n所以2Tn=-3n+32+33+…+3n+3n+1=-3n+=-3n-+·3n+2所以Tn=--.
2.10分2018·日照一模已知数列{an}前n项和Sn满足:2Sn+an=
1.1求数列{an}的通项公式.2设bn=数列{bn}的前n项和为Tn求证:Tn.【解析】1因为2Sn+an=1所以2Sn+1+an+1=1两式相减可得2an+1+an+1-an=0即3an+1=an即=又2S1+a1=1所以a1=所以数列{an}是公比为的等比数列.故an=·=数列{an}的通项公式为an=.2因为bn=所以bn====-所以Tn=b1+b2+…+bn=++…+-=-.所以Tn.。