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课时分层作业五十直线与椭圆的综合问题
一、选择题每小题5分共25分
1.2017·全国卷Ⅲ已知椭圆C:+=1ab0的左、右顶点分别为A1A2且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切则C的离心率为 A.B.C.D.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切所以圆心到直线的距离d==a整理为a2=3b2即a2=3a2-c2⇒2a2=3c2即=e==.【变式备选】椭圆+y2=1的两个焦点为F1F2过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交一个交点为P则= A.B.C.D.4【解析】选C.因为=所以=2×2-=4-=.
2.在平面直角坐标系中点Pxy到点F30的距离与它到直线x=的距离之比为则点P的轨迹方程为 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.由题意可知=化简整理得+=
1.
3.已知椭圆+=1上一点P椭圆的焦点为F1F2若三角形PF1F2的内切圆的半径为则三角形PF1F2的面积为 A.B.C.D.【解析】选B.因为三角形的面积公式S△=pr其中p为三角形的周长的一半r为内切圆的半径所以三角形PF1F2的面积为PF1+PF2+F1F2r=2a+2cr=3+1×=.【变式备选】
1.已知椭圆+=1的两个焦点为F1F2过焦点F1作长轴的垂线与椭圆相交一个交点为P在第一象限则PF2的斜率为 A.B.C.-D.-【解析】选B.因为椭圆的焦点为F101F20-1所以P所以==.
2.已知椭圆的中心在原点离心率e=且它的一个焦点是圆x2+y2+2x-2019=0的圆心则此椭圆方程为 A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+y2=1【解析】选A.因为圆心为-10所以c=1因为离心率为所以a=2所以b2=3所以椭圆方程为+=
1.
4.已知F1F2是椭圆+=1ab0的左右焦点该椭圆上存在两点AB使=3则该椭圆的离心率的取值范围是 A.B.C.D.【解析】选C.=3⇒F1A∥F2B设Ax1y1Bx2y2代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2得 *由=3得代入*得消去y2得x2=a所以2e2-3e+10所以e
1.
5.设直线y=kx与椭圆+=1相交于AB两点分别过AB两点向x轴作垂线若垂足恰为椭圆的两个焦点则k等于 A.±B.±C.±D.±2【解析】选A.由题意可知点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标又c=1当k0时不妨设AB两点的坐标分别为-1y11y2代入椭圆方程得解得:k=;同理可得当k0时k=-.
二、填空题每小题5分共15分
6.已知椭圆Γ:+=1ab0经过不同的三点ABCC在第三象限线段BC的中点在直线OA上则点C的坐标为________. 【解析】由点AB在椭圆Γ上得解得所以椭圆Γ的方程为+=
1.设C坐标为mnm0n0由已知求得直线OA的方程为x-2y=0从而m=2n-
1.1又点C在椭圆Γ上故2m2+8n2=
5.2由12解得n=舍去或n=-从而m=-所以点C的坐标为.答案:
7.在平面直角坐标系xOy中点B与点A-11关于原点O对称P是动点且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为________________. 【解析】因为点B与点A-11关于原点O对称所以点B的坐标为1-
1.设点P的坐标为xy由题意得·=-化简得x2+3y2=4x≠±
1.故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4x≠±
1.答案:x2+3y2=4x≠±
18.如图过坐标原点作两条互相垂直的直线交椭圆+=1于四个点ABCD则四边形ABCD的面积的取值范围为____________. 【解析】由对称性可知四边形ABCD的面积等于直角三角形AOB的面积的4倍.设OA的方程为y=kx代入椭圆方程解得点A的横坐标为x=12所以=12同理可知=12所以S△AOB==72换元设1+k2=tt≥1所以=∈所以四边形ABCD的面积的取值范围为.答案:
三、解答题每小题10分共20分
9.2015·全国卷Ⅱ已知椭圆C:+=1ab0的离心率为点2在C上.1求C的方程.2直线l不过原点O且不垂直于坐标轴l与C有两个交点AB线段AB的中点为M证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【解析】1由题意有=+=1解得a2=8b2=
4.所以C的方程为+=
1.2设直线l:y=kx+bk≠0b≠0Ax1y1Bx2y2MxMyM.将y=kx+b代入+=1得2k2+1x2+4kbx+2b2-8=
0.故xM==yM=k·xM+b=.于是直线OM的斜率kOM==-即kOM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
10.如图在平面直角坐标系xOy中已知圆O:x2+y2=4椭圆C:+y2=1A为椭圆右顶点.过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于BC两点直线AB与圆O的另一交点为P直线PD与圆O的另一交点为Q其中D.设直线ABAC的斜率分别为k1k
2.1求k1k2的值.2记直线PQBC的斜率分别为kPQkBC是否存在常数λ使得kPQ=λkBC若存在求λ的值;若不存在说明理由.3求证:直线AC必过点Q.【解析】1设Bx0y0则C-x0-y0+=1所以k1k2=·===-.2联立得1+x2-4x+4-1=0解得xP=yP=k1xP-2=;联立得1+4x2-16x+44-1=0解得xB=yB=k1xB-2=所以kBC==kPQ===所以kPQ=kBC故存在常数λ=使得kPQ=kBC.3当直线PQ与x轴垂直时QP得k1=-k2=则kAQ===k2所以直线AC必过点Q当直线PQ与x轴不垂直时直线PQ方程为:y=联立解得xQ=yQ=所以kAQ==-=k2故直线AC必过点Q.
1.5分已知椭圆C:+=1ab0的左、右焦点为F1F2离心率为过F2的直线l交C于AB两点.若△AF1B的周长为4则C的方程为 A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【解析】选A.根据题意因为△AF1B的周长为4所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4所以a=.又因为椭圆的离心率e==所以c=1b2=a2-c2=3-1=2所以椭圆C的方程为+=
1.
2.5分2018·吕梁模拟设F1F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点若椭圆上存在一点P使+·=0O为坐标原点则△F1PF2的面积是 A.4B.3C.2D.1【解析】选D.因为+·=+·=·=0所以PF1⊥PF2∠F1PF2=90°.设|PF1|=m|PF2|=n则m+n=4m2+n2=122mn=4所以=mn=
1.
3.5分椭圆+=1上有两个动点PQE30EP⊥EQ则·的最小值为 A.6B.3-C.9D.12-6【解析】选A.设P点坐标为mn则+=1|PE|===因为-6≤m≤6所以|PE|的最小值为.又因为·=·-=-·=||2所以·的最小值为
6.
4.12分已知长为1+的线段AB的两个端点AB分别在x轴、y轴上滑动P是AB上一点且=求点P的轨迹C的方程.【解析】设Ax00B0y0Pxy=又=x-x0y=-xy0-y所以x-x0=-xy=y0-y得x0=xy0=1+y.因为|AB|=1+即+=1+2所以+[1+y]2=1+2化简得+y2=
1.所以点P的轨迹方程为+y2=
1.
5.13分2017·全国卷Ⅰ已知椭圆C:+=1ab0四点P111P201P3P4中恰有三点在椭圆C上.1求C的方程.2设直线l不经过P2点且与C相交于AB两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1证明:l过定点.【解析】1根据椭圆对称性必过P3P4又P4横坐标为1椭圆必不过P1所以过P2P3P4三点将P2P3代入椭圆方程得解得a2=4b2=
1.所以椭圆C的方程为:+y2=
1.2
①当斜率不存在时设l:x=mAB+=+==-1得m=2此时l过椭圆右顶点不存在两个交点故不满足.
②当斜率存在时设l:y=kx+nAB联立整理得x2+8knx+4n2-4=0x1+x2=x1·x2=则+=+====-1又n≠1⇒n=-2k-1此时Δ=-64k存在k使得Δ0成立所以直线l的方程为y=kx-2k-1当x=2时y=-1所以l过定点.。
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