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课时分层作业五十二抛 物 线
一、选择题每小题5分共35分
1.已知抛物线关于x轴对称它的顶点在坐标原点O并且经过点M2y
0.若点M到该抛物线焦点的距离为3则|OM|= A.2 B.2 C.4 D.2【解析】选B.设抛物线的标准方程为C:y2=2pxp0由焦半径公式得2+=3所以p=2不妨设M22如图|OM|=
2.
2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F直线y=2x-4与C交于AB两点则cos∠AFB= A.B.C.-D.-【解析】选D.联立解得或不妨设A在x轴上方所以A44B1-2因为F点坐标为10所以=34=0-2cos∠AFB===-.【一题多解】选D.因为A44B1-2|AB|=3|AF|=5|BF|=2由余弦定理知cos∠AFB==-.
3.已知抛物线y2=2pxp0的准线经过点-11则该抛物线焦点坐标为 A.B.10C.D.01【解析】选B.因为抛物线y2=2pxp0的准线为x=-且过点-11故-=-1解得p=
2.所以抛物线的焦点坐标为
10.【一题多解】选B.由于准线方程为x=-焦点坐标为所以由准线经过点-11可知焦点坐标为
10.【变式备选】抛物线y=2x2的焦点坐标是 A.B.C.D.【解析】选C.抛物线的标准方程为x2=y所以焦点坐标是.【方法技巧】根据抛物线的标准方程确定焦点坐标.
4.以x轴为对称轴原点为顶点的抛物线上的一点P1m到焦点的距离为4则抛物线的方程是 A.y=4x2B.y=12x2C.y2=6xD.y2=12x【解析】选D.设抛物线的方程为y2=2pxp0则由抛物线的定义知1+=4即p=6所以抛物线方程为y2=12x.
5.已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为则|AB|的最大值为 A.1B.2C.3D.4【解析】选D.设Ax1y1Bx2y2则x1+x2=3利用抛物线的定义可知|AF|+|BF|=x1+x2+1=4由图可知|AF|+|BF|≥|AB|即|AB|≤4当且仅当直线AB过焦点F时|AB|取得最大值
4.
6.设F为抛物线C:y2=4x的焦点曲线y=k0与C交于点PPF⊥x轴则k= A.B.1C.D.2【解析】选D.因为y2=4x所以F
10.又因为曲线y=k0与C交于点PPF⊥x轴所以P
12.将点P12的坐标代入y=k0得k=
2.
7.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点过F作两条互相垂直的直线l1l2直线l1与C交于AB两点直线l2与C交于DE两点则|AB|+|DE|的最小值为 A.16B.14C.12D.10【解析】选A.方法一:设直线l1方程为y=k1x-1联立方程得x2-2x-4x+=0设Ax1y1Bx2y2Dx3y3Ex4y4所以x1+x2=-=同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=++4=++8≥2+8=16当且仅当k1=-k2=1或-1时取得等号.方法二:不妨设AB的倾斜角为θ.作AK1垂直于准线垂足为K1AK2垂直于x轴垂足为K2准线交x轴于点G易知所以·cosθ+p=所以=同理=所以==又DE与AB垂直即DE的倾斜角为+θ==而y2=4x即p=
2.所以+=2p=4===≥16当θ=时取等号即+的最小值为
16.
二、填空题每小题5分共15分
8.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点M是C上一点FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点则|FN|=________. 【解析】设N0aF20那么M点M在抛物线上所以=8解得a=±4所以N0±4那么|FN|==
6.答案:
69.如图是抛物线形拱桥当水面在l时拱顶离水面2米水面宽4米.水位下降1米后水面宽________米. 【解析】建立坐标系如图所示:则可设抛物线方程为x2=-2pyp
0.因为点2-2在抛物线上所以p=1即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时x=±.所以水位下降1米后水面宽为2米.答案:
210.已知双曲线C1:-=1a0b0的离心率为
2.若抛物线C2:x2=2pyp0的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2则抛物线C2的方程为________.【解析】因为双曲线C1:-=1a0b0的离心率为2所以2==所以=所以渐近线方程为x±y=0因为抛物线C2:x2=2pyp0的焦点F所以F到双曲线C1的渐近线的距离为=2所以p=8所以抛物线C2的方程为x2=16y.答案:x2=16y
1.5分设抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F点M在C上|MF|=
5.若以MF为直径的圆过点02则抛物线C的方程为 A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得抛物线的焦点F设点A02抛物线上点Mx0y0则==.由已知得·=0即-8y0+16=0因而y0=4M.由|MF|=5得+=5又p0解得p=2或p=8所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.【变式备选】若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点则实数a=________. 【解析】直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点F10则a+1=0所以a=-
1.答案:-
12.5分O为坐标原点F为抛物线C:y2=4x的焦点P为C上一点若|PF|=4则△POF的面积为 A.2B.2C.2D.4【解析】选C.由题意可知焦点坐标为F0因为|PF|=4所以xP+=4所以xP=3所以|yP|=2所以△POF的面积为S=××2=
2.【变式备选】过抛物线y2=2pxp0的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第
一、四象限分别交于AB两点则的值等于 A.B.C.D.【解析】选A.记抛物线y2=2px的准线为l′如图作AA1⊥l′BB1⊥l′AC⊥BB1垂足分别是A1B1C则有cos∠ABB1===即cos60°==由此得=.
3.5分2017·山东高考在平面直角坐标系xOy中双曲线-=1a0b0的右支与焦点为F的抛物线x2=2pyp0交于AB两点若|AF|+|BF|=4|OF|则该双曲线的渐近线方程为________________. 【解析】设Ax1y1Bx2y2由抛物线的定义知|AF|=y1+|BF|=y2+|OF|=所以|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p可得y1+y2=p联立方程得-+1=0由根与系数的关系得y1+y2=p所以p=p则==所以双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【变式备选】过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于AB两点若|AF|=3则|BF|=________. 【解析】焦点坐标为F10所以直线方程为y=kx-1代入抛物线方程得k2x2-2k2+4x+k2=0所以x1+x2=x1x2=
1.由题意知|AF|=x1+1|BF|=x2+1由已知|AF|=3所以x1=2所以x2=所以|BF|=.答案:
4.12分2017·北京高考已知抛物线C:y2=2px过点P
11.过点作直线l与抛物线C交于不同的两点MN过点M作x轴的垂线分别与直线OPON交于点AB其中O为原点.1求抛物线C的方程并求其焦点坐标和准线方程.2求证:A为线段BM的中点.【解析】1把P11代入y2=2px得p=所以C:y2=x所以焦点坐标准线方程:x=-.2设l:y=kx+Mx1y1Nx2y2OP:y=xON:y=x由题知Ax1x1B由消去y得k2x2+k-1x+=0所以x1+x2=x1·x2=.所以y1+=kx1++=2kx1+由x1+x2=x1x2=上式=2kx1+=2kx1+1-k·2x1=2x1所以A为线段BM的中点.
5.13分2017·全国卷Ⅲ已知抛物线C:y2=2x过点20的直线l交C于AB两点圆M是以线段AB为直径的圆.1证明:坐标原点O在圆M上.2设圆M过点P4-2求直线l与圆M的方程.【解析】1a.当直线l⊥x轴时将x=2代入y2=2x得y=±2故|AB|=4圆的半径为2故原点O在圆M上b.当直线l不垂直于x轴时设AB的方程为y=kx-2
①因为抛物线C的方程为y2=2x
②联立
①②得k2x2-4k2+2x+4k2=0设AB坐标分别为x1y1x2y2则x1+x2=
③x1x2=4
④则·=x1·x2+y1·y2=x1·x2+k2x1-2x2-2=1+k2x1·x2-2k2x1+x2+4k2
⑤将
③④代入
⑤得·=41+k2-24k2+2+4k2=0故OA⊥OB又因为AB为直径所以原点O在圆M上.2若斜率k不存在时则圆M不经过P4-2故斜率k存在.因为圆M过点P4-2所以PA⊥PB即·=
0.将点PAB的坐标代入得x1-4x2-4+y1+2y2+2=0即x1x2+y1y2-4x1+x2+2y1+y2+20=0
⑥由于y1+y2=kx1-2+kx2-2=kx1+x2-4k利用1中的结论及式
③化简
⑥式得k2+k-2=0解得k=-2或k=
1.所以当k=-2时直线l的方程为y=-2x-2x1+x2=所以点M的横坐标为x0=将x0=代入直线l的方程y=-2x-2得纵坐标y0=-所以点M所以|MP|==所以圆M的方程为+=.当k=1时直线l的方程为y=x-2x1+x2=6所以点M的横坐标为x0=3将x0=3代入直线l的方程得纵坐标y0=1所以点M31所以|MP|==所以圆M的方程为x-32+y-12=
10.所以当k=-2时直线l的方程为y=-2x-2圆M的方程为+=;当k=1直线l的方程为y=x-2圆M的方程为x-32+y-12=
10.【变式备选】有一块正方形菜地EFGHEH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是菜地分为两个区域S1和S2其中S1中的蔬菜运到河边较近S2中的蔬菜运到F点较近而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等现建立平面直角坐标系其中原点O为EF的中点点F的坐标为10如图.1求菜地内的分界线C的方程.2菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍由此得到S1面积的“经验值”为.设M是C上纵坐标为1的点请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积及五边形EOMGH的面积并判断哪一个更接近于S1面积的经验值.【解析】1因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等所以C是以F为焦点、以EH所在直线为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分其方程为y2=4x0≤y≤
2.2依题意点M的坐标为.所求的矩形面积为而所求的五边形面积为.矩形面积与“经验值”之差的绝对值为=而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为=所以五边形面积更接近于S1面积的“经验值”.。