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课时分层作业五十三曲线与方程
一、选择题每小题5分共35分
1.到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是 A.y=xB.y=|x|C.x2+y2=0D.y2=x2【解析】选D.设动点的坐标为xy.因为动点到两坐标轴的距离相等所以|x|=|y|即y2=x2动点的轨迹方程是y2=x
2.
2.2018·南昌模拟已知点F直线l:x=-点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M则点M的轨迹是 A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线【解析】选D.由已知得|MF|=|MB|.由抛物线定义知点M的轨迹是以F为焦点l为准线的抛物线.
3.2018·张家口模拟设线段AB的两个端点AB分别在x轴、y轴上滑动且|AB|=5=+则点M的轨迹方程为 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.设MxyAx00B0y0由=+得xy=x00+0y0则解得由|AB|=5得+=25化简得+=
1.【变式备选】2018·福州模拟已知F1F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点点P为椭圆C上的动点则△PF1F2的重心G的轨迹方程为 A.+=1y≠0B.+y2=1y≠0C.+3y2=1y≠0D.x2+=1y≠0【解析】选C.依题意知F1-10F210设Px0y0Gxy由三角形重心坐标关系可得即代入+=1得重心G的轨迹方程为+3y2=1y≠
0.
4.在平面直角坐标系xOy中已知O00A曲线C上任一点M满足|OM|=4|AM|点P在直线y=x-1上如果曲线C上总存在两点到点P的距离为2那么点P的横坐标t的范围是 A.1t3B.1t4C.2t3D.2t4【解析】选A.设Mxy因为M满足|OM|=4|AM|x2+y2=16化简得:x-42+y2=1所以曲线C:x-42+y2=1设点Ptt-1只需点P到圆心40的距离小于2+r即可.所以t-42+2t-122+
12.解得:1t
3.【变式备选】2018·厦门模拟设椭圆的方程为x2+=1过点M01的直线l交椭圆于AB两点O是坐标原点点P满足=+当l绕点M旋转时动点P的轨迹方程为________. 【解析】直线l过点M01当斜率存在时设其斜率为k则直线l的方程为y=kx+1设Ax1y1Bx2y
2.由题设可得点AB的坐标是方程组的解消去y得:4+k2x2+2kx-3=0所以y1+y2=kx1+x2+2=于是=+==.设点Pxy则消去参数k得:4x2+y2-y=0y≠0当斜率不存在时P为坐标原点00也满足方程.所以点P的轨迹方程为:4x2+y2-y=
0.答案:4x2+y2-y=
05.已知BC为单位圆上不重合的两个定点A为此单位圆上的动点若点P满足=+则点P的轨迹为 A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【解析】选D.设PxyAcosθsinθBx1y1Cx2y2设单位圆圆心为O则根据=+可有:++=0所以点P为△ABC的重心根据重心坐标公式有整理得+=所以点P的轨迹为圆.
6.若圆C:x-22+y2=5与恒过点P10的直线交于AB两点则弦AB的中点M的轨迹方程为 A.x2+y2-3x+2=0B.x2+y2-3x+1=0C.x2+y2-4x+1=0D.x2+y2-4x+2=0【解析】选A.由题知C20设动点Mxy当弦AB的斜率不存在时M10;当弦AB的斜率存在时由垂径定理知MC⊥MP所以·=-1整理得x2+y2-3x+2=0又10满足此方程所以弦AB的中点M的轨迹方程是x2+y2-3x+2=
0.
7.已知△ABC中AB的坐标分别为02和0-2若三角形的周长为10则顶点C的轨迹方程是 A.+=1y≠0B.+=1y≠0C.+=1x≠0D.+=1x≠0【解析】选C.由题知|AB|=4|CA|+|CB|=6且6|AB|所以C点轨迹是以AB为焦点6为长轴长4为焦距的椭圆去掉长轴端点.【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1P37习题
2.1A组T3“两个定点的距离为6点M到这两个定点的距离的平方和为26求点M的轨迹方程”.【变式备选】在平面直角坐标系中已知定点A0-B0直线PA与直线PB的斜率之积为-2则动点P的轨迹方程为 A.+x2=1B.+x2=1x≠0C.-x2=1D.+y2=1y≠0【解析】选B.设动点Pxy由题意可知·=-2x≠0化简得+x2=1x≠
0.
二、填空题每小题5分共15分
8.2018·贵阳模拟已知圆的方程为x2+y2=4若抛物线过点A-10B10且以圆的切线为准线则抛物线的焦点轨迹方程是________. 【解析】设抛物线焦点为F过ABO作准线的垂线AA1BB1OO1则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|所以|FA|+|FB|=4故F点的轨迹是以AB为焦点长轴长为4的椭圆去掉长轴两端点.所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1y≠
0.答案:+=1y≠
09.在△ABC中BC=4且AB=AC则三角形ABC面积的最大值为________. 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系则B-20C20设点A的坐标为xy由题意有:=×整理可得:x-42+y2=12结合三角形的性质可得点C的轨迹方程为以40为圆心2为半径的圆除去其与x轴的交点据此可得三角形ABC面积的最大值为S=×4×2=
4.答案:
410.已知椭圆+=1与x轴交于AB两点过椭圆上一点Px0y0P不与AB重合的切线l的方程为+=1过点AB且垂直于x轴的垂线分别与l交于CD两点设CBAD交于点Q则点Q的轨迹方程为________. 【解析】椭圆+=1可得A-30B
30.由x=-3代入切线l的方程+=1可得y=即C.由x=3代入切线l的方程+=1可得y=即D.可得直线CB的方程为y=x-3
①直线AD的方程为y=x+3
②①×
②可得y2=-x2-9
③结合P在椭圆上可得+=
1.即有9-=.代入
③可得+y2=1x≠±
3.答案:+y2=1x≠±3【变式备选】已知过点A-20的直线与x=2相交于点C过点B20的直线与x=-2相交于点D若直线CD与圆x2+y2=4相切则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为________. 【解析】设直线ACBD的斜率分别为k1k2则直线ACBD的方程分别为:y=k1x+2y=k2x-2据此可得:C24k1D-2-4k2则:kCD==k1+k2直线CD的方程为:y-4k1=k1+k2x-2整理可得:k1+k2x-y+2k1-k2=0直线与圆相切则:=2据此可得:k1k2=-由于:y=k1x+2y=k2x-2两式相乘可得:y2=k1k2x2-4=-x2+1即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为+y2=1y≠
0.答案:+y2=1y≠
01.5分2018·南昌模拟已知两定点F1-10F210且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项则动点P的轨迹方程是 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知:|PF1|+|PF2|=4故动点P的轨迹是以定点F1-10F210为焦点长轴长为4的椭圆故其方程为+=
1.【变式备选】设圆C与圆x2+y-32=1外切与直线y=0相切则C的圆心轨迹为 A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆【解析】选A.由题意知动点C满足:到定点03的距离比到定直线y=0的距离多1故其到定点03与到定直线y=-1的距离相等.所以点C的轨迹为抛物线.
2.5分2018·洛阳模拟设过点Pxy的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于AB两点点Q与点P关于y轴对称O为坐标原点若=2且·=1则点P的轨迹方程是 A.x2+3y2=1x0y0B.x2-3y2=1x0y0C.3x2-y2=1x0y0D.3x2+y2=1x0y0【解析】选A.设Aa0B0ba0b0由=2得xy-b=2a-x-y即a=x0b=3y
0.点Q-xy故由·=1得-xy·-ab=1即ax+by=1将ab代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1x0y
0.
3.5分2018·承德模拟已知圆C1:x+32+y2=1和圆C2:x-32+y2=9动圆M同时与圆C1及圆C2相外切则动圆圆心M的轨迹方程为____________. 【解析】如图所示设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B则有|MC1|-|AC1|=|MA||MC2|-|BC2|=|MB|.又|MA|=|MB|所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2即动点M到两定点C2C1的距离的差是常数2且2|C1C2|=6|MC2||MC1|故动圆圆心M的轨迹为以定点C2C1为焦点的双曲线的左支则2a=2所以a=
1.又c=3则b2=c2-a2=
8.设动圆圆心M的坐标为xy则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1x≤-
1.答案:x2-=1x≤-
14.12分如图所示已知圆A:x+22+y2=1与点B20分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.1△PAB的周长为
10.2圆P与圆A外切且过B点P为动圆圆心.3圆P与圆A外切且与直线x=1相切P为动圆圆心.【解析】1根据题意知|PA|+|PB|+|AB|=10即|PA|+|PB|=64=|AB|故P点轨迹是椭圆且2a=62c=4即a=3c=2b=.因此其轨迹方程为+=1y≠
0.2设圆P的半径为r则|PA|=r+1|PB|=r因此|PA|-|PB|=
1.由双曲线的定义知P点的轨迹为双曲线的右支且2a=12c=4即a=c=2b=因此其轨迹方程为4x2-y2=
1.3依题意知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离故其轨迹为抛物线且开口向左p=
4.因此其轨迹方程为y2=-8x.
5.13分在平面直角坐标系中A-20B20Pxy满足+=16设点P的轨迹为C1从C1上一点Q向圆C2:x2+y2=r2r0作两条切线切点分别为MN且∠MQN=60°.1求点P的轨迹方程和r.2当点Q在第一象限时连接切点MN分别交xy轴于点CD求△OCD面积最小时点Q的坐标.【解析】1由题知x+22+y2+x-22+y2=16整理得x2+y2=4所以点P的轨迹方程是x2+y2=4因为在Rt△OMQ中O为坐标原点∠MQO=30°|OQ|=2所以|OM|=2sin30°=1即圆C2的半径r=
1.2设点Qx0y0Mx1y1Nx2y2x00y
00.因为QMQN为圆C2:x2+y2=1的切线所以QM方程为x1x+y1y=1QN方程为x2x+y2y=1因为Q点在QMQN上所以x1x0+y1y0=1x2x0+y2y0=1所以MN的直线方程为x0x+y0y=1此时MN与x轴的交点C的坐标为与y轴的交点D的坐标为===当x0=时S△OCD取最小值此时点Q坐标为.。