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课时分层作业五十二直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题每小题5分共25分
1.2016·山东高考已知圆M:x2+y2-2ay=0a0截直线x+y=0所得线段的长度是2则圆M与圆N:x-12+y-12=1的位置关系是 A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】选B.圆M:x2+y2-2ay=0a0可化为:x2+=a2由题意d=所以有a2=+2解得a=
2.所以圆M:x2+=22圆心距=半径和=3半径差=1所以二者相交.
2.2018·桂林模拟已知圆C1:x+12+y-12=1圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称则圆C2的方程为 A.x+22+y-22=1B.x-22+y+22=1C.x+22+y+22=1D.x-22+y-22=1【解析】选B.圆C1:x+12+y-12=1的圆心坐标为-11关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为2-2所求的圆C2的方程为x-22+y+22=
1.【变式备选】若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切则m= A.21B.19C.9D.-11【解析】选C.圆C1的圆心是原点00半径r1=1圆C2:x-32+y-42=25-m圆心C234半径r2=由两圆相外切得|C1C2|=r1+r2=1+=5所以m=
9.
3.过点P31作圆C:x-12+y2=1的两条切线切点分别为AB则直线AB的方程为 A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【解析】选A.如图圆心坐标为C10易知A
11.又kAB·kPC=-1且kPC==所以kAB=-
2.故直线AB的方程为y-1=-2x-1即2x+y-3=
0.【一题多解】选A.易知PACB四点共圆其方程为x-1·x-3+y-0y-1=0即x2+y2-4x-y+3=
0.又已知圆为x2+y2-2x=0所以所求方程为2x+y-3=
0.【变式备选】已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=
0.设该圆过点35的最长弦和最短弦分别为AC和BD则四边形ABCD的面积为 A.10B.20C.30D.40【解析】选B.圆心坐标是34半径是5圆心到点35的距离为
1.最短弦BD和最长弦即圆的直径AC垂直故最短弦的长为2=4所以四边形ABCD的面积为|AC|·|BD|=×10×4=
20.
4.2018·朝阳模拟已知过定点P20的直线l与曲线y=相交于AB两点O为坐标原点当△AOB的面积最大时直线l的倾斜角为 A.150°B.135°C.120°D.30°【解析】选A.曲线y=为圆x2+y2=2的上半圆由题意可得△AOB的面积S=|OA|·|OB|sin∠AOB=××sin∠AOB=sin∠AOB当sin∠AOB=1即∠AOB=90°时△AOB的面积取到最大值此时在Rt△AOB中易得O到直线l的距离OD=1在Rt△POD中易得sin∠OPD==可得∠OPD=30°所以直线l的倾斜角为150°.【变式备选】已知圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+25=0相交于AB两点则线段AB的垂直平分线的方程为 A.x+y-3=0B.x-y+3=0C.x+3y-1=0D.3x-y+1=0【解析】选A.由题设可知线段AB的垂直平分线过两圆的圆心C112C2-25由此可得圆心连线的斜率k==-1故由点斜式方程可得y-2=-x-1即x+y-3=
0.
5.已知圆心aba0b0在直线y=-2x+1上的圆其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径在y轴上截得的弦长为2则圆的方程为 A.x-32+y+52=25B.x-22+y+32=9C.x-12+y+12=1D.+=【解析】选B.设圆的方程为x-a2+y-b2=r
2.则由题知解得所以圆的方程为x-22+y+32=
9.
二、填空题每小题5分共15分
6.2018·宁德模拟若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心则m的值为________. 【解析】圆x2+y2-2x+4y=0的圆心为C1-2因为直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心所以圆心C1-2在直线2x+y+m=0上所以2×1-2+m=0解得m=
0.答案:
07.2018·大连模拟若☉O:x2+y2=5与☉O1:x-m2+y2=20m∈R相交于AB两点且两圆在点A处的切线互相垂直则线段AB的长度是________. 【解析】由题意☉O1与☉O在A处的切线互相垂直则两切线分别过另一圆的圆心所以O1A⊥OA.又因为|OA|=|O1A|=2所以|OO1|=
5.又AB关于OO1对称所以AB为Rt△OAO1斜边上的高的2倍.所以|AB|=2×=
4.答案:
48.如图已知圆C与x轴相切于点T10与y轴正半轴交于两点ABB在A的上方且|AB|=
2.则圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.【解析】由题意设圆心C1rr为圆C的半径则r2=+12=2解得r=.所以圆C的方程为x-12+y-2=
2.令x=0得y=±1所以点B0+
1.又点C1所以直线BC的斜率为kBC=-1所以过点B的切线方程为y-+1=x-0即y=x++
1.令y=0得切线在x轴上的截距为--
1.答案:--1【一题多解】同上面的方法得出圆C的方程.令x=0得y=±1所以点B0+
1.又点C1设过点B的切线方程为y-+1=kx即kx-y++1=
0.由题意圆心C1到直线kx-y++1=0的距离d==r=解得k=
1.故切线方程为x-y++1=
0.令y=0得切线在x轴上的截距为--
1.答案:--1
三、解答题每小题10分共20分
9.2018·宁德模拟已知直线l:kx-y+k-=0与圆x2+y2=12交于AB两点过AB分别作l的垂线与x轴交于CD两点若|AB|=4求|CD|.【解析】由圆的方程x2+y2=22可知:圆心为00半径r=2因为弦长为|AB|=4=2r说明直线过圆心.则有:0-0+k-=0解得k=直线AB的方程为y=x.设直线AB的倾斜角为θ则tanθ=所以θ=60°.Rt△AOC中|CO|===4所以|CD|=2|OC|=
8.【变式备选】设圆x-32+y+52=r2r0上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1则圆半径r的取值范围是 A.3r5B.4r6C.r4D.r5【解析】选B.圆心C3-5半径为r圆心C到直线4x-3y-2=0的距离d==5由于圆C上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1则r-1dr+1所以4r
6.
10.已知以点Ct∈Rt≠0为圆心的圆与x轴交于点OA与y轴交于点OB其中O为原点.1求证:△OAB的面积为定值.2设直线y=-2x+4与圆C交于点MN若|OM|=|ON|求圆C的方程.【解析】1因为圆C过原点O且|OC|2=t2+.所以圆C的方程是x-t2+=t2+令x=0得y1=0y2=;令y=0得x1=0x2=2t所以S△OAB=|OA|·|OB|=×|2t|×=4即△OAB的面积为定值.2因为|OM|=|ON||CM|=|CN|所以OC垂直平分线段MN.因为kMN=-2所以kOC=.所以=解得t=2或t=-
2.当t=2时圆心C的坐标为21|OC|=此时C到直线y=-2x+4的距离d=圆C与直线y=-2x+4相交于两点.当t=-2时圆心C的坐标为-2-1|OC|=此时C到直线y=-2x+4的距离d=.圆C与直线y=-2x+4不相交所以t=-2不符合题意舍去.所以圆C的方程为x-22+y-12=
5.
1.5分2018·合肥模拟设曲线C的方程为x-22+y+12=9直线l的方程为x-3y+2=0则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.曲线C是以点2-1为圆心半径为3的圆则圆心到直线l的距离为=小于半径所以圆与直线l相交作出圆和直线图象如图:其中点C为圆心AD为过圆心且与直线l垂直的直线则可知AD分别为圆被直线l划分的两部分中离直线l最远的点由于BC=则AB=3-所以在A这一部分是没有点到直线l的距离为的因为BD=3+故在点B这一部分是有两个点到直线l的距离为综上曲线C上有两个点到直线l的距离为.
2.5分已知圆C1:x-12+y+12=1圆C2:x-42+y-52=9点MN分别是圆C1圆C2上的动点P为x轴上的动点则|PN|-|PM|的最大值是 A.7B.3+4C.9D.2+2【解析】选C.圆C1的圆心为C11-1半径为1圆C2的圆心为C245半径为3要使|PN|-|PM|的值最大需PN最大PM最小PN最大为|PC2|+3PM最小为|PC1|-1故|PN|-|PM|的最大值是|PC2|+3-|PC1|-1=|PC2|-|PC1|+4C2关于x轴的对称点为C2′4-5|PC2|-|PC1|=|PC2′|-|PC1|≤|C1C2′|==5故|PN|-|PM|的最大值是5+4=
9.【变式备选】设直线l:m-1x+2m+1y+3m=0m∈R与圆x-12+y2=r2r0交于AB两点C为圆心当实数m变化时△ABC面积的最大值为4则mr2=_____. 【解析】设CACB的夹角为θ所以S△ABC=r2sinθ≤r2r2=4⇒r=2此时圆心C到直线l的距离为2所以=2解得m=-或m=-所以mr2=-4或-
28.答案:-4或-
283.5分已知ACBD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦垂足为M1则四边形ABCD的面积的最大值为__________. 【解析】设圆心O到ACBD的距离分别为d1d2则+=OM2=3则|AC|=2|BD|=2所以四边形的面积S=|AC|·|BD|=2≤5所以四边形ABCD的面积的最大值为
5.答案:
54.12分已知点P05及圆C:x2+y2+4x-12y+24=
0.1若直线l过P且被圆C截得的线段长为4求l的方程.2求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.【解析】1如图所示|AB|=4D是AB的中点CD⊥ABAD=2AC=
4.在Rt△ACD中可得CD=
2.设所求直线的斜率为k则直线的方程为y-5=kx即kx-y+5=
0.由点C到直线AB的距离公式得=2得k=.当k=时直线l的方程为3x-4y+20=
0.又直线l的斜率不存在时也满足题意此时方程为x=
0.所以所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=
0.2设过P点的圆C的弦的中点为Dxy则CD⊥PD即·=0所以x+2y-6·xy-5=0化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=
0.
5.13分2018·郑州模拟已知过点A01且斜率为k的直线l与圆C:x-22+y-32=1交于MN两点.1求k的取值范围.2若·=12其中O为坐标原点求|MN|.【解析】1由题设可知直线l的方程为y=kx+
1.因为直线l与圆C交于两点所以
1.解得k.所以k的取值范围为.2设Mx1y1Nx2y
2.将y=kx+1代入圆C的方程x-22+y-32=1整理得1+k2x2-41+kx+7=
0.所以x1+x2=x1x2=.·=x1x2+y1y2=1+k2x1x2+kx1+x2+1=+
8.由题设可得+8=12解得k=1所以l的方程为y=x+
1.故圆C的圆心23在l上所以|MN|=
2.。