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课时分层作业三十八直接证明与间接证明
一、选择题每小题5分共25分
1.要证明+2可选择的方法有以下几种其中最合理的是 A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法【解析】选B.从要证明的结论——比较两个无理数大小出发证明此类问题通常转化为比较有理数的大小这正是分析法的证明方法.
2.2018·广州模拟用反证法证明命题“设ab为实数则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时要做的假设是 A.方程x2+ax+b=0没有实根B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.因为“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x2+ax+b=0有一个实根或两个实根”所以该命题的否定是“方程x2+ax+b=0没有实根”.
3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0只要证明 A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.a2-1b2-1≥0【解析】选D.因为要证a2+b2-1-a2b2≤0只需要证a2-1b2-1≥
0.
4.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n那么数列{an}一定是等差数列”是否成立 A.不成立B.成立C.不能断定D.能断定【解析】选B.因为Sn=2n2-3n所以Sn-1=2n-12-3n-1n≥2所以an=Sn-Sn-1=4n-5n=1时a1=S1=-1符合上式.又因为an+1-an=4n≥1所以{an}是等差数列.【变式备选】2018·西安模拟不相等的三个正数abc成等差数列并且x是ab的等比中项y是bc的等比中项则x2b2y2三数 A.成等比数列而非等差数列B.成等差数列而非等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既非等差数列又非等比数列【解析】选B.由已知条件可得由
②③得代入
①得+=2b即x2+y2=2b
2.故x2b2y2成等差数列.
5.设ab是两个实数给出下列条件:
①a+b1;
②a+b=2;
③a+b2;
④a2+b22;
⑤ab
1.其中能推出:“ab中至少有一个大于1”的条件是 A.
②③B.
①②③C.
③D.
③④⑤【解析】选C.若a=b=则a+b1但a1b1故
①推不出;若a=b=1则a+b=2故
②推不出;若a=-2b=-3则a2+b22故
④推不出;若a=-2b=-3则ab1故
⑤推不出;对于
③即a+b2则ab中至少有一个大于1反证法:假设a≤1且b≤1则a+b≤2与a+b2矛盾因此假设不成立则ab中至少有一个大于
1.
二、填空题每小题5分共15分
6.设ab0m=-n=则mn的大小关系是________. 【解析】分析法-⇐+⇐ab+2·+a-b⇐2·0显然成立.答案:mn【巧思妙解】取特殊值法取a=2b=1得mn.答案:mn
7.已知abμ∈0+∞且+=1则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是________. 【解析】因为ab∈0+∞且+=1所以a+b=a+b=10+≥10+2=16所以a+b的最小值为
16.所以要使a+b≥μ恒成立需16≥μ所以0μ≤
16.答案:016]
8.2018·商丘模拟若二次函数fx=4x2-2p-2x-2p2-p+1在区间[-11]内至少存在一点c使fc0则实数p的取值范围是________.【解析】补集法令解得p≤-3或p≥故满足条件的p的范围为.答案:【一题多解】直接法依题意有f-10或f10即2p2-p-10或2p2+3p-90得-p1或-3p.故满足条件的p的取值范围是.答案:
三、解答题每小题10分共20分
9.已知a≥b0求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.【证明】要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成立只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0即2aa2-b2+ba2-b2≥0即a+ba-b2a+b≥
0.因为a≥b0所以a-b≥0a+b02a+b0从而a+ba-b2a+b≥0成立所以2a3-b3≥2ab2-a2b.
10.已知四棱锥S-ABCD中底面是边长为1的正方形又SB=SD=SA=
1.1求证:SA⊥平面ABCD.2在棱SC上是否存在异于SC的点F使得BF∥平面SAD若存在确定F点的位置;若不存在请说明理由.【解析】1由已知得SA2+AD2=SD2所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD=A所以SA⊥平面ABCD.2假设在棱SC上存在异于SC的点F使得BF∥平面SAD.因为BC∥ADBC⊄平面SAD.所以BC∥平面SAD.而BC∩BF=B所以平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾所以假设不成立.所以不存在这样的点F使得BF∥平面SAD.
1.5分设abc均为正实数则三个数a+b+c+ A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2【解析】选D.因为a0b0c0所以++=++≥6当且仅当a=b=c时等号成立故三者不能都小于2即至少有一个不小于
2.
2.5分2018·洛阳模拟设fx是定义在R上的奇函数且当x≥0时fx单调递减若x1+x20则fx1+fx2的值 A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负【解析】选A.由fx是定义在R上的奇函数且当x≥0时fx单调递减可知fx是R上的单调递减函数由x1+x20可知x1-x2fx1f-x2=-fx2则fx1+fx
20.【变式备选】设函数fx的导函数为f′x对任意x∈R都有f′xfx成立则 A.3fln22fln3B.3fln22fln3C.3fln2=2fln3D.3fln2与2fln3的大小不确定【解析】选B.令Fx=x0则F′x=因为x0所以lnx∈R因为对任意x∈R都有f′xfx所以f′lnxflnx所以F′x0所以Fx为增函数因为320所以F3f2即所以3fln22fln
3.
3.5分2018·合肥模拟某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数fx在
[01]上有意义且f0=f1如果对于不同的x1x2∈
[01]当|fx1-fx2||x1-x2|时求证:|fx1-fx2|.那么他的反设应该是________. 【解析】根据反证法写出相反的结论是:存在x1x2∈
[01]当|fx1-fx2||x1-x2|时则|fx1-fx2|≥.答案:存在x1x2∈
[01]当|fx1-fx2||x1-x2|时则|fx1-fx2|≥
4.12分已知非零向量ab且a⊥b求证:≤.【证明】因为a⊥b⇔a·b=0要证≤.只需证|a|+|b|≤|a+b|只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2a·b+b2只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0即|a|-|b|2≥0上式显然成立故原不等式得证.
5.13分已知函数fx=ax+a
1.1证明:函数fx在-1+∞上为增函数.2用反证法证明方程fx=0没有负数根.【证明】1任取x1x2∈-1+∞不妨设x1x2则x2-x
10.因为a1所以1且0所以-=-
10.又因为x1+10x2+10所以-==
0.于是fx2-fx1=-+-0故函数fx在-1+∞上为增函数.2假设存在x00x0≠-1满足fx0=0则=-.因为a1所以01所以0-1即x02与假设x00相矛盾故方程fx=0没有负数根.。