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第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积限时:45分钟【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的三视图12911几何体的表面积和体积36由三视图求几何体的表面积和体积4571012与球有关的接、切问题81314
一、选择题
1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是101110011000画该四面体三视图中的正视图时以zOx平面为投影面则得到的正视图可以为 A 解析:在空间直角坐标系中作出四面体OABC的直观图如图所示作顶点AC在zOx平面的投影是A′C′可得四面体的正视图.故选A.
2.2018·宁德二模某几何体的三视图如图所示若该几何体的体积为2则图中x的值为 A A1BCD解析:三视图对应的几何体的直观图如图所示.几何体的体积为××2x×2=2解得x=
1.故选A.
3.2018·山西省八校一联轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为 C ABCD2解析:设圆柱的底面半径为r由题意可知圆柱的高h=2r.设外接球的半径为R则r2+r2=R2故R=r.则圆柱的体积V1=πr2h=2πr3外接球的体积V2=R3=r3所以=.故选C.
4.2018·安徽省知名示范高中联考某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 C A1BCD解析:法一 该几何体的直观图为四棱锥SABCD如图SD⊥平面ABCD且SD=1四边形ABCD是平行四边形且AB=DC=1连接BD由题意知BD⊥DCBD⊥AB且BD=1所以S四边形ABCD=1所以=S四边形ABCD·SD=.故选C.法二 由三视图易知该几何体为锥体所以V=Sh其中S指的是锥体的底面积即俯视图中四边形的面积易知S=1h指的是锥体的高从正视图和侧视图易知h=1所以V=Sh=.故选C.
5.2018·辽宁模拟一个正三棱柱底面是正三角形高等于侧棱长的三视图如图所示这个正三棱柱的表面积是 D A8B24C4+24D8+24解析:由正视图知三棱柱是以底面边长为4高为2的正三棱柱所以底面积为2××42=8侧面积为3×4×2=24所以其表面积为24+
8.故选D.
6.2018·太原市一模已知三棱锥DABC中CD⊥底面ABC△ABC为正三角形若AE∥CDAB=CD=AE=2则三棱锥DABC与三棱锥EABC的公共部分构成的几何体的体积为 B ABCD解析:设AD∩CE=F因为CD=AE所以F为CE的中点则三棱锥FABC为三棱锥DABC与三棱锥EABC的公共部分如图取AC的中点M连接FM则FM=1且FM⊥底面ABC故FM为三棱锥FABC的高.S△ABC=×22=故=××1=.故选B.
7.祖暅原理:“幂势既同则积不容异”.“幂”是截面积“势”是几何体的高意思是两个同高的几何体如在等高处截面的面积恒相等则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”则该不规则几何体的体积为 C AB3CD6解析:三视图对应的几何体为三棱锥其长为5宽为由侧视图知其高为=三棱锥的体积为V=××5××=所以所求不规则几何体的体积为.故选C.
8.2018·惠州市第二次调研如图某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形且直角边长都等于1则该几何体的外接球的体积为 B AπBπC3πDπ解析:还原几何体为三棱锥ABCD将其放入棱长为1的正方体中如图所示则三棱锥ABCD外接球的半径R=该几何体的外接球的体积V=πR3=π.故选B.
9.2018·武汉市四月调研某几何体的三视图如图所示则从该几何体的所有顶点中任取两个顶点它们之间距离的最大值为 B ABC2D2解析:由三视图可知该几何体是一个四棱柱记为四棱柱ABCDA1B1C1D1将其放在如图所示的长方体中底面ABCD是边长为1的正方形四棱柱的高为1连接AC1观察图形可知几何体中两顶点间距离的最大值为AC1的长即=.故选B.
10.2018·郑州市一中入学测试某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削加工成一个体积尽可能大的长方体新工件并使新工件的一个面落在原工件的一个面内则原工件材料的利用率为（材料利用率=） A ABCD解析:依题意知题中的工件形状是一个底面半径为
1、高为2的圆锥设新工件的长、宽、高分别为abc截去的小圆锥的底面半径、高分别为rh则有a2+b2=4r2h=2r设长方体的体积为abc=ab2-2r≤=4r21-r.设fr=4r21-r则有f′r=4r2-3r当0r时f′r0当r1时f′r0因此fr=4r21-r的最大值是f（）=则原工件材料的利用率为÷（π×12×2）=.故选A.
二、填空题
11.某三棱锥的三视图如图所示则该三棱锥最长棱的棱长为 . 解析:三视图所表示的几何体的直观图如图所示.结合三视图知PA⊥平面ABCPA=2AB=BC=AC=
2.所以PB===PC==2所以该三棱锥最长棱的棱长为
2.答案:
212.2018·温州二模某几何体的三视图如图所示正视图为边长2的正方形单位:cm则该几何体的体积是 cm3表面积是 cm
2. 解析:由三视图还原原几何体如图该几何体为圆柱截去一部分圆柱底面半径为1cm母线长为2cm则该几何体的体积V=×π×12×2=cm3表面积为2π×12+×2π×1×2+2×1=5π+2cm
2.答案: 5π+
213.2018·德州二模如图所示的是一个几何体的三视图则这个几何体外接球的表面积为 . 解析:如图几何体为四棱锥PABCD其中底面ABCD为边长为2的正方形顶点P在底面ABCD的射影为CD的中点M设底面中心为O由侧视图可知PM=1PM⊥CD所以OM=AD=1故OP==又OA=OB=OC=OD=所以O为几何体的外接球球心球的半径为所以外接球的表面积S=4π·2=8π.答案:8π
14.2018·武汉市四月调研在四面体ABCD中AC=CB=AB=AD=BD=1且平面ABC⊥平面ABD则四面体ABCD的外接球半径R= . 解析:如图取AB的中点G连接DGCG由题意知△ABC与△ABD均为正三角形则四面体ABCD的外接球球心O在过△ABC的重心O1且与平面ABC垂直的直线上同时也在过△ABD的重心O2且与平面ABD垂直的直线上易知四边形OO1GO2为正方形.在△ABC中O1C=CG=×AB=O1G=CG=×AB=则OO1=连接OC则OC===故四面体ABCD的外接球的半径为.答案:。
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