（全国通用版）2019高考数学二轮复习专题一三角函数、三角恒等变换与解三角形第1讲三角函数的图象与性质学案文

第1讲　三角函数的图象与性质[考情考向分析]　

1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.

2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px，y，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝x≠0．各象限角的三角函数值的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.3．诱导公式在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1　12018·资阳三诊已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P21，则tan2α等于　　A.B.C．－D．－答案　A解析　因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P21，所以tanα＝，因此tan2α＝＝＝.22018·衡水金卷信息卷已知曲线fx＝x3－2x2－x在点1，f1处的切线的倾斜角为α，则cos2－2cos2α－3sin2π－αcosπ＋α的值为　　A.B．－C.D．－答案　A解析　由fx＝x3－2x2－x可知f′x＝3x2－4x－1，∴tanα＝f′1＝－2，cos2－2cos2α－3sincos＝－sinα2－2cos2α－3sinαcosα＝sin2α－2cos2α－3sinαcosα＝＝＝＝.思维升华　1涉及与圆及角有关的函数建模问题如钟表、摩天轮、水车等，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．2应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1　12018·合肥质检在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sinπ＋α等于　　A．－B．－C.D.答案　B解析　由诱导公式可得，sin＝sin＝－sin＝－，cos＝cos＝cos＝，即P，由三角函数的定义可得，sinα＝＝，则sin＝－sinα＝－.22018·衡水金卷调研卷已知sin3π＋α＝2sin，则等于　　A.B.C.D．－答案　D解析　∵sin3π＋α＝2sin，∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα，则＝＝＝＝－.热点二　三角函数的图象及应用函数y＝Asinωx＋φ的图象1“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．2图象变换先平移后伸缩y＝sinxy＝sinx＋φy＝sinωx＋φy＝Asinωx＋φ．先伸缩后平移y＝sinxy＝sinωxy＝sinωx＋φy＝Asinωx＋φ．例2　1要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos3x的图象　　A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度答案　A解析　因为y＝cos3x＝sin＝sin3，且y＝sin＝sin3，－＝，所以应将y＝cos3x的图象向右平移个单位长度，即可得到函数y＝sin的图象．故选A.22018·永州模拟函数fx＝Asinωx＋φ的部分图象如图所示，将函数fx的图象向右平移个单位长度后得到函数gx的图象，若函数gx在区间上的值域为[－12]，则θ＝________.答案　解析　函数fx＝Asinωx＋φ的部分图象如图所示，则A＝2，＝－＝，解得T＝π，所以ω＝2，即fx＝2sin2x＋φ，当x＝时，f＝2sin＝0，又|φ|π，解得φ＝－，所以fx＝2sin，因为函数fx的图象向右平移个单位长度后得到函数gx的图象，所以gx＝2sin＝2cos2x，若函数gx在区间上的值域为[－12]，则2cos2θ＝－1，则θ＝kπ＋，k∈Z，或θ＝kπ＋，k∈Z，所以θ＝.思维升华　1已知函数y＝Asinωx＋φA0，ω0的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．跟踪演练2　12018·东北三省四市模拟将函数fx＝sin的图象向右平移a个单位长度得到函数gx＝cos的图象，则a的值可以为　　A.B.C.D.答案　C解析　将函数fx＝sin的图象向右平移a个单位长度得到函数y＝sin，而gx＝cos＝sin，故－2a＋＝2kπ＋＋，k∈Z，即a＝kπ－，k∈Z，所以当k＝1时，a＝.22018·北京朝阳区模拟函数fx＝Asinωx＋φ的部分图象如图所示，则ω＝________；函数fx在区间上的零点为________．答案　2　解析　从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，－，从而求得函数的最小正周期为T＝2＝π，根据T＝可求得ω＝

2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为fx＝2sin，令2x－＝kπk∈Z，解得x＝＋k∈Z，结合所给的区间，整理得出x＝.热点三　三角函数的性质1．三角函数的单调区间y＝sinx的单调递增区间是k∈Z，单调递减区间是k∈Z；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ]k∈Z，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π]k∈Z；y＝tanx的单调递增区间是k∈Z．2．y＝Asinωx＋φ，当φ＝kπk∈Z时为奇函数；当φ＝kπ＋k∈Z时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋k∈Z求得．y＝Acosωx＋φ，当φ＝kπ＋k∈Z时为奇函数；当φ＝kπk∈Z时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπk∈Z求得．y＝Atanωx＋φ，当φ＝kπk∈Z时为奇函数．例3　设函数fx＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋ω0的图象上相邻最高点与最低点的距离为.1求ω的值；2若函数y＝fx＋φ是奇函数，求函数gx＝cos2x－φ在[02π]上的单调递减区间．解　1fx＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－＋＝sin2ωx－cos2ωx＝sin，设T为fx的最小正周期，由fx的图象上相邻最高点与最低点的距离为，得2＋[2fxmax]2＝π2＋4，∵fxmax＝1，∴2＋4＝π2＋4，整理得T＝2π.又ω0，T＝＝2π，∴ω＝.2由1可知fx＝sin，∴fx＋φ＝sin.∵y＝fx＋φ是奇函数，∴sin＝0，又0φ，∴φ＝，∴gx＝cos2x－φ＝cos.令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴函数gx的单调递减区间是，k∈Z.又∵x∈[02π]，∴当k＝0时，函数gx的单调递减区间是；当k＝1时，函数gx的单调递减区间是.∴函数gx在[02π]上的单调递减区间是，.思维升华　函数y＝Asinωx＋φ的性质及应用类题目的求解思路第一步先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asinωx＋φ＋B的形式；第二步把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asinωx＋φ＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3　已知函数fx＝4cosωxsinω0的最小正周期是π.1求函数fx在区间0，π上的单调递增区间；2求fx在上的最大值和最小值．解　1fx＝4cosωxsin＝4cosωx＝2sinωxcosωx－2cos2ωx＋1－1＝sin2ωx－cos2ωx－1＝2sin－1，因为最小正周期是＝π，所以ω＝1，从而fx＝2sin－

1.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπk∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπk∈Z，所以函数fx在0，π上的单调递增区间为和.2当x∈时，2x－∈，2sin∈，所以fx在上的最大值和最小值分别为1，－

1.真题体验1．2018·全国Ⅰ改编已知函数fx＝2cos2x－sin2x＋2，则fx的最小正周期为________，最大值为________．答案　π　4解析　∵fx＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－＋2＝cos2x＋，∴fx的最小正周期为π，最大值为

4.2．2018·全国Ⅱ改编若fx＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是________．答案　解析　∵fx＝cosx－sinx＝－sin，∴当x－∈，即x∈时，y＝sin单调递增，fx＝－sin单调递减，∴是fx在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a]⊆，∴a≤，即amax＝.3．2018·天津改编将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数________．填序号

①在区间上单调递增；

②在区间上单调递减；

③在区间上单调递增；

④在区间上单调递减．答案　

①解析　函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin2x，则函数y＝sin2x的一个单调增区间为，一个单调减区间为.由此可判断

①正确．4．2018·北京设函数fx＝cosω0．若fx≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．答案　解析　∵fx≤f对任意的实数x都成立，∴当x＝时，fx取得最大值，即f＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z.∵ω0，∴当k＝0时，ω取得最小值.押题预测1．已知函数fx＝sinx∈R，ω0图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数gx＝cosωx的图象，只要将y＝fx的图象　　A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度押题依据　本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错．答案　A解析　由于函数fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T＝π，所以ω＝＝2，即fx＝sin，gx＝cos2x.把gx＝cos2x变形得gx＝sin＝sin，所以要得到函数gx的图象，只要将fx的图象向左平移个单位长度即可．故选A.2．如图，函数fx＝Asinωx＋φ与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P20，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为　　A.B.C．8D．16押题依据　由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查数形结合思想．答案　B解析　由题意设Qa0，R0，－aa0．则M，由两点间距离公式，得PM＝＝2，解得a1＝8，a2＝－4舍去，由此得＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，由P20得φ＝－，代入fx＝Asinωx＋φ，得fx＝Asin，从而f0＝Asin＝－8，得A＝.3．已知函数fx＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.1若x是某三角形的一个内角，且fx＝－，求角x的大小；2当x∈时，求fx的最小值及取得最小值时x的值．押题依据　三角函数解答题的第1问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程或对称中心等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第2问的常见形式是求解函数的值域或最值，特别是指定区间上的值域或最值，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．解　1∵fx＝cos4x－2sinxcosx－sin4x＝cos2x＋sin2xcos2x－sin2x－sin2x＝cos2x－sin2x＝＝cos，∴fx＝cos＝－，可得cos＝－.由题意可得x∈0，π，∴2x＋∈，可得2x＋＝或，∴x＝或.2∵x∈，∴2x＋∈，∴cos∈，∴fx＝cos∈[－，1]．∴fx的最小值为－，此时2x＋＝π，即x＝.A组　专题通关1．2018·佛山质检函数y＝sin＋cos的最小正周期和振幅分别是　　A．π，B．π，2C．2π，1D．2π，答案　B解析　∵y＝sin＋cos＝sin＋sin＝2sin，∴T＝＝π，振幅为

2.2．2018·郑州模拟已知函数fx＝cos－cos2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数fx的图象　　A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度答案　C解析　由题意可得，函数fx＝sin2x－cos2x＝2sin，设平移量为θ，得到函数gx＝2sin，又gx为奇函数，所以2θ－＝kπ，k∈Z，即θ＝＋，k∈Z.3．2018·河北省衡水金卷模拟已知函数fx＝－2cosωxω0的图象向左平移φ个单位长度，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为　　A.B.C.D.答案　C解析　由题意知，T＝2＝π，∴ω＝＝2，∴fx＝－2cos2x，∴gx＝fx＋φ＝－2cos2x＋2φ，又g＝－2cos＝2，故＋2φ＝π＋2kπk∈Z，∴φ＝＋kπk∈Z．又0φ，∴φ＝.4．2018·山东、湖北部分重点中学模拟已知函数fx＝2sinωx＋φ，fx1＝2，fx2＝0，若|x1－x2|的最小值为，且f＝1，则fx的单调递增区间为　　A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z答案　B解析　由fx1＝2，fx2＝0，且|x1－x2|的最小值为，可知＝，∴T＝2，∴ω＝π，又f＝1，则φ＝±＋2kπ，k∈Z，∵0φ，∴φ＝，∴fx＝2sin.令－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z.故fx的单调递增区间为，k∈Z.5．2017·全国Ⅲ设函数fx＝cos，则下列结论错误的是　　A．fx的一个周期为－2πB．y＝fx的图象关于直线x＝对称C．fx＋π的一个零点为x＝D．fx在上单调递减答案　D解析　A项，因为fx＝cos的周期为2kπk∈Z，所以fx的一个周期为－2π，A项正确；B项，因为fx＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－k∈Z，所以y＝fx的图象关于直线x＝对称，B项正确；C项，fx＋π＝cos.令x＋＝kπ＋k∈Z，得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，所以fx＋π的一个零点为x＝，C项正确；D项，因为fx＝cos的单调递减区间为k∈Z，单调递增区间为k∈Z，所以fx在上单调递减，在上单调递增，D项错误．6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P－，－1，则tanα＝________，cosα＋sin＝________.答案　　0解析　∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P－，－1，∴x＝－，y＝－1，∴tanα＝＝，cosα＋sin＝cosα－cosα＝

0.7．2018·河北省衡水金卷模拟已知tanα＝2，则＝________.答案　解析　∵tan2α＝＝－，∴＝＝＝＝.8．2017·全国Ⅱ函数fx＝sin2x＋cosx－的最大值是________．答案　1解析　fx＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋

1.∵x∈，∴cosx∈

[01]，∴当cosx＝时，fx取得最大值，最大值为

1.9．2018·潍坊模拟设函数fxx∈R满足fx－π＝fx－sinx，当－πx≤0时，fx＝0，则f＝________.答案　解析　∵fx－π＝fx－sinx，∴fx＝fx－π＋sinx，则fx＋π＝fx＋sinx＋π＝fx－sinx.∴fx＋π＝fx－π，即fx＋2π＝fx．∴函数fx的周期为2π，∴f＝f＝f＝f＋sin.∵当－πx≤0时，fx＝0，∴f＝0＋sin＝.10．已知向量m＝sinωx1，n＝cosωx，cos2ωx＋1，设函数fx＝m·n＋b.1若函数fx的图象关于直线x＝对称，且当ω∈

[03]时，求函数fx的单调递增区间；2在1的条件下，当x∈时，函数fx有且只有一个零点，求实数b的取值范围．解　m＝sinωx1，n＝cosωx，cos2ωx＋1，fx＝m·n＋b＝sinωxcosωx＋cos2ωx＋1＋b＝sin2ωx＋cos2ωx＋＋b＝sin＋＋b.1∵函数fx的图象关于直线x＝对称，∴2ω·＋＝kπ＋k∈Z，解得ω＝3k＋1k∈Z，∵ω∈

[03]，∴ω＝1，∴fx＝sin＋＋b，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋k∈Z，∴函数fx的单调递增区间为k∈Z．2由1知fx＝sin＋＋b，∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋∈，即x∈时，函数fx单调递增；当2x＋∈，即x∈时，函数fx单调递减．又f0＝f，∴当f0≥f或f＝0时，函数fx有且只有一个零点，即sin≤－b－sin或1＋＋b＝0，∴b的取值范围为∪.B组　能力提高

11.如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若BC＝1，则cos2－sincos－的值为　　A.B.C．－D．－答案　B解析　∵点B的坐标为，设∠AOB＝θ，∴sin2π－θ＝－，cos2π－θ＝，即sinθ＝，cosθ＝，∵∠AOC＝α，BC＝1，∴θ＋α＝，则α＝－θ，则cos2－sincos－＝cosα－sinα＝cos＝cos＝sinθ＝.12．2018·佛山质检已知函数fx＝sinω0的图象在区间12上不单调，则ω的取值范围为　　A.B.∪C.∪D.答案　B解析　因为当x∈12时，ωx－∈，又因为函数fx＝sinω0的图象在区间12上不单调，所以存在k∈Z，使得kπ＋∈，即得ω－kπ＋2ω－k∈Z，即＋ωkπ＋k∈Z，因为ω0，所以k≥0，当k＝0时，ω；当k＝1时，ω；当k＝2时，ω；…，因此ω的取值范围为∪∪∪…∪∪…＝∪.13．函数fx＝的图象与函数gx＝2sinx0≤x≤4的图象的所有交点为x1，y1，x2，y2，…，xn，yn，则fy1＋y2＋…＋yn＋gx1＋x2＋…＋xn＝________.答案　解析　如图，画出函数fx和gx的图象，可知有4个交点，并且关于点20对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以fy1＋y2＋y3＋y4＋gx1＋x2＋x3＋x4＝f0＋g8＝＋0＝.14．已知a0，函数fx＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤fx≤

1.1求常数a，b的值；2设gx＝f且lggx0，求gx的单调区间．解　1∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，∴－2asin∈[－2a，a]．∴fx∈[b3a＋b]，又∵－5≤fx≤1，∴b＝－53a＋b＝1，因此a＝2，b＝－

5.2由1得fx＝－4sin－1，∴gx＝f＝－4sin－1＝4sin－

1.又由lggx0，得gx1，∴4sin－11，∴sin，∴2kπ＋2x＋2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋2x＋≤2kπ＋，k∈Z，即kπx≤kπ＋，k∈Z时，gx单调递增；当2kπ＋2x＋2kπ＋，k∈Z，即kπ＋xkπ＋，k∈Z时，gx单调递减．∴gx的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.。