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专题强化练十空间几何体的三视图、表面积及体积
一、选择题1.如图,在正方形ABCDA1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是 A.
①② B.
①④ C.
②③ D.
②④解析图
①是△PAC在底面上的投影,
④是△PAC在前后侧面上的投影.因此正投影可能是
①④,选项B正确.答案B2.2018·烟台二模某几何体的三视图如2题图所示,其中俯视图右侧曲线为半圆弧,则几何体的表面积为 A.3π+4-2B.3π+2-2C.+2-2D.+2+2解析由三视图,该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱形成.依题设知,几何体的底面面积S底=π×12-2=π-
2.所以该几何体表面积为S=22×+2π×1×2+S底=4+2π+π-2=3π+4-
2.答案A3.2018·北京卷某四棱锥的三视图如3题图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 A.1B.2C.3D.4解析在正方体中作出该几何体的直观图,记为四棱锥PABCD,如图,由图可知在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为
3.答案C4.中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示,则该“堑堵”的侧视图的面积为 A.18B.18C.18D.解析在俯视图Rt△ABC中,作AH⊥BC交于H.由三视图的意义,则BH=6,HC=3,根据射影定理,AH2=BH·HC,所以AH=
3.易知该“堑堵”的侧左视图是矩形,长为6,宽为AH=3,故侧视图的面积S=6×3=
18.答案C5.2018·北京西城质检已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥OABC的体积的最大值为36,则球O的表面积为 A.36πB.64πC.144πD.256π解析因为△AOB的面积为定值,所以当OC垂直于平面AOB时,三棱锥OABC的体积取得最大值.由×R2×R=36,得R=
6.从而球O的表面积S=4πR2=144π.答案C6.2018·全国卷Ⅲ设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为 A.12B.18C.24D.54解析设等边△ABC的边长为x,则x2sin60°=9,得x=
6.设△ABC外接圆的半径为r,则2r=,得r=
2.所以球心到△ABC所在平面的距离d==2,则点D到平面ABC的最大距离d1=d+4=
6.故V三棱锥DABC的最大值为·S△ABC×6=×9×6=
18.答案B
二、填空题7.2018·浙江卷改编某几何体的三视图如图所示单位cm,则该几何体的体积单位cm3是________.解析由三视图知,该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱,所以其体积V=×1+2×2×2=
6.答案
68.2018·济南市模拟某几何体的三视图如图所示,其中主视图的轮廓是底边为2,高为1的等腰三角形,俯视图的轮廓为菱形,左视图是个半圆.则该几何体的体积为________.解析由三视图知,几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体.其中r=1,高h=.故几何体的体积V=π×12×=π.答案π9.已知长方体ABCDA1B1C1D1内接于球O,底面ABCD是边长为2的正方形,E为AA1的中点,OA⊥平面BDE,则球O的表面积为________.解析取BD的中点为O1,连接OO1,OE,O1E,O1A.则四边形OO1AE为矩形,因为OA⊥平面BDE,所以OA⊥EO1,即四边形OO1AE为正方形,则球O的半径R=OA=2,所以球O的表面积S=4π×22=16π.答案16π10.2018·郑州调研某几何体的三视图如图所示,三个视图中的曲线都是圆弧,则该几何体的体积为________.解析由三视图可知,该几何体是由半个圆柱与个球组成的组合体,其体积为×π×12×3+××13=.答案11.2018·烟台质检已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为的正三角形,PA,PB,PC两两垂直,则球O的表面积是________.解析设球O的半径为R,且2R=.因为△ABC是边长为2的正三角形,PA、PB、PC两两垂直.所以PA=PB=PC==1,则2R=,所以球的表面积S球=4πR2=3π.答案3π
三、解答题12.2018·佛山质检如图,四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB,AD∥BC,AB=AC,AD=BC=1,PD=3,∠BAD=120°,M为PC的中点.1证明DM∥平面PAB;2求四面体MABD的体积.1证明取PB中点N,连接MN、AN.因为M为PC的中点,所以MN∥BC且MN=BC,又AD∥BC,且AD=BC,得MN綊AD,所以ADMN为平行四边形,所以DM∥AN.又AN⊂平面PAB,DM⊄平面PAB,所以DM∥平面PAB.2解取AB中点O,连接PO,PO⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABCD,则PO⊥平面ABCD,取BC中点H,连结AH,因为AB=AC,所以AH⊥BC,又因为AD∥BC,∠BAD=120°,所以∠ABC=60°,Rt△ABH中,BH=BC=1,AB=2,所以AO=1,又AD=1,△AOD中,由余弦定理知,OD=,Rt△POD中,PO==,所以VMABD=·S△ABD·PO=.。