（广东专版）2019高考数学二轮复习第二部分专题四立体几何专题强化练十空间几何体的三视图、表面积及体积理

专题强化练十空间几何体的三视图、表面积及体积

一、选择题1．如图，在正方形ABCD­A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是　　A．

①②　　　B．

①④　　　C．

②③　　　D．

②④解析图

①是△PAC在底面上的投影，

④是△PAC在前后侧面上的投影．因此正投影可能是

①④，选项B正确．答案B2．2018·烟台二模某几何体的三视图如2题图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为　　A．3π＋4－2B．3π＋2－2C.＋2－2D.＋2＋2解析由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱形成．依题设知，几何体的底面面积S底＝π×12－2＝π－

2.所以该几何体表面积为S＝22×＋2π×1×2＋S底＝4＋2π＋π－2＝3π＋4－

2.答案A3．2018·北京卷某四棱锥的三视图如3题图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为　　A．1B．2C．3D．4解析在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P­ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

3.答案C4．中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为　　A．18B．18C．18D.解析在俯视图Rt△ABC中，作AH⊥BC交于H.由三视图的意义，则BH＝6，HC＝3，根据射影定理，AH2＝BH·HC，所以AH＝

3.易知该“堑堵”的侧左视图是矩形，长为6，宽为AH＝3，故侧视图的面积S＝6×3＝

18.答案C5．2018·北京西城质检已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为　　A．36πB．64πC．144πD．256π解析因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O­ABC的体积取得最大值．由×R2×R＝36，得R＝

6.从而球O的表面积S＝4πR2＝144π.答案C6．2018·全国卷Ⅲ设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为　　A．12B．18C．24D．54解析设等边△ABC的边长为x，则x2sin60°＝9，得x＝

6.设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝，得r＝

2.所以球心到△ABC所在平面的距离d＝＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝

6.故V三棱锥D­ABC的最大值为·S△ABC×6＝×9×6＝

18.答案B

二、填空题7．2018·浙江卷改编某几何体的三视图如图所示单位cm，则该几何体的体积单位cm3是________．解析由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以其体积V＝×1＋2×2×2＝

6.答案

68.2018·济南市模拟某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为2，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆．则该几何体的体积为________．解析由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体．其中r＝1，高h＝.故几何体的体积V＝π×12×＝π.答案π9．已知长方体ABCD­A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为________．解析取BD的中点为O1，连接OO1，OE，O1E，O1A.则四边形OO1AE为矩形，因为OA⊥平面BDE，所以OA⊥EO1，即四边形OO1AE为正方形，则球O的半径R＝OA＝2，所以球O的表面积S＝4π×22＝16π.答案16π10．2018·郑州调研某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为________．解析由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与个球组成的组合体，其体积为×π×12×3＋××13＝.答案11．2018·烟台质检已知三棱锥P­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为的正三角形，PA，PB，PC两两垂直，则球O的表面积是________．解析设球O的半径为R，且2R＝.因为△ABC是边长为2的正三角形，PA、PB、PC两两垂直．所以PA＝PB＝PC＝＝1，则2R＝，所以球的表面积S球＝4πR2＝3π.答案3π

三、解答题12．2018·佛山质检如图，四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，AD∥BC，AB＝AC，AD＝BC＝1，PD＝3，∠BAD＝120°，M为PC的中点．1证明DM∥平面PAB；2求四面体M­ABD的体积．1证明取PB中点N，连接MN、AN.因为M为PC的中点，所以MN∥BC且MN＝BC，又AD∥BC，且AD＝BC，得MN綊AD，所以ADMN为平行四边形，所以DM∥AN.又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，所以DM∥平面PAB.2解取AB中点O，连接PO，PO⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD，取BC中点H，连结AH，因为AB＝AC，所以AH⊥BC，又因为AD∥BC，∠BAD＝120°，所以∠ABC＝60°，Rt△ABH中，BH＝BC＝1，AB＝2，所以AO＝1，又AD＝1，△AOD中，由余弦定理知，OD＝，Rt△POD中，PO＝＝，所以VM­ABD＝·S△ABD·PO＝.。