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第七节对数与对数函数1.对数概念如果ax=Na>0,且a≠1,那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化ax=N⇔x=logaNloga1=0,logaa=1,alogaN=运算法则logaM·N=logaM+logaNa>0,且a≠1,M>0,N>0loga=logaM-logaNlogaMn=nlogaMn∈R换底公式换底公式logab=a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>
02.对数函数的图象与性质y=logaxa>10<a<1图象性质定义域为0,+∞值域为R过定点10,即x=时,y=当x>1时,y>0;当0<x<1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;在区间0,+∞上是函数在区间0,+∞上是函数3.反函数指数函数y=axa>0且a≠1与对数函数y=logaxa>0且a≠1互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.[小题体验]1.已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga-x的图象可能是______填序号.答案
②2.函数fx=logax+2-2a>0,且a≠1的图象必过定点________.答案-1,-23.函数fx=log52x+1的单调增区间是________.答案4.12log3-log3-31+log32=________;24-lg2+lg5=________.答案1-5 211.在运算性质logaMα=αlogaM中,要特别注意条件,在没有M>0的条件下应为logaMα=αloga|M|α∈N*,且α为偶数.2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点1务必先研究函数的定义域;2注意对数底数的取值范围.[小题纠偏]1.函数y=的定义域为______.答案2.函数fx=logx+12x-1的单调递增区间是______.答案3.已知函数y=loga2-axa>0,且a≠1在
[01]上为减函数,则a的取值范围为________.解析因为a>0,所以gx=2-ax为减函数,即任取x1,x2∈
[01],且x1<x2,有gx1>gx2,又logagx1>logagx2,所以a>
1.而又因为gx=2-ax在
[01]恒大于0,所以2-a>0,所以a<2,综上,1<a<
2.答案12 [题组练透]1.计算14log23=________.2log225·log34·log59=________.解析14log23=22log23=2log29=92原式=··=··=
8.答案19 282.计算÷100=______.解析原式=lg2-2-lg52×100=lg×10=lg10-2×10=-2×10=-
20.答案-
203.lg-lg+lg=________.解析lg-lg+lg=5lg2-2lg7-··3lg2+lg5+2lg7=lg2+lg5=.答案[谨记通法]对数运算的一般思路1将真数化为底数的指数幂的形式进行化简;2将同底对数的和、差、倍合并;3利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. [典例引领]1.2018·苏北三市三模如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logaxa>1的图象上,则实数a的值为________.解析设Cx0,logax0,则2logaxB=logax0,即x=x0,解得xB=,故xC-xB=x0-=2,解得x0=4,即B22loga2,A23loga2,由AB=2,可得3loga2-2loga2=2,解得a=.答案2.若不等式logax>x-12恰有三个整数解,则a的取值范围为________.解析由不等式logax>x-12恰有三个整数解,得a>
1.在同一直角坐标系中画出y=logaxa>1与y=x-12的图象,可知不等式的整数解集为{234},则应满足解得≤a<.答案[,[由题悟法]研究对数型函数图象的思路1研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况.2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.[即时应用]2018·常州一中模拟设fx=|lgx|,a,b为实数,且0<a<b.1若a,b满足fa=fb,求证ab=1;2在1的条件下,求证由关系式fb=2f所得到的关于b的方程gb=0,存在b0∈34,使gb0=
0.证明1结合函数图象,由fa=fb可判断a∈01,b∈1,+∞,从而-lga=lgb,即lgab=
0.故ab=
1.2因为0<a<b,所以>=
1.由已知可得b=2,即4b=a2+b2+2ab,得+b2+2-4b=0,gb=+b2+2-4b,因为g3<0,g4>0,根据零点存在性定理可知,函数gb在34内一定存在零点,即存在b0∈34,使gb0=
0. [锁定考向]高考对对数函数的性质及其应用的考查,多以填空题的形式考查,难度低、中、高档都有.常见的命题角度有1比较对数值的大小;2简单的对数不等式;3对数函数性质的综合问题. [题点全练]角度一比较对数值的大小1.已知a=log29-log2,b=1+log2,c=+log2,则a,b,c的大小关系为________用“>”表示.解析a=log29-log2=log23,b=1+log2=log22,c=+log2=log2,因为函数y=log2x是增函数,且2>3>,所以b>a>c.答案b>a>c角度二简单的对数不等式2.2018·启东联考已知一元二次不等式fx>0的解集为-∞,1∪2,+∞,则flgx<0的解集为________.解析因为一元二次不等式fx>0的解集为-∞,1∪2,+∞,所以一元二次不等式fx<0的解集为12,由flgx<0可得1<lgx<2,从而解得10<x<100,所以不等式的解集为10100.答案10100角度三对数函数性质的综合问题3.2019·盐城中学第一次检测已知函数fx=lg2+x+lg2-x.1求函数fx的定义域,并判断函数fx的奇偶性;2记函数gx=10fx+3x,求函数gx的值域;3若不等式fx>m有解,求实数m的取值范围.解1∵函数fx=lg2+x+lg2-x,∴解得-2<x<
2.∴函数fx的定义域为-22.∵f-x=lg2-x+lg2+x=fx,∴fx是偶函数.2∵fx=lg2+x+lg2-x=lg4-x2,∴gx=10fx+3x=-x2+3x+4=-2+-2<x<2,∴gxmax=g=,gxmin=g-2=-
6.∴函数gx的值域是.3∵不等式fx>m有解,∴m<fxmax,令t=4-x2,由于-2<x<2,∴0<t≤4,∴m<lg
4.∴实数m的取值范围为-∞,lg4.[通法在握]1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2.比较对数值大小的方法1若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.2若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.3若底数与真数都不同,则常借助10等中间量进行比较.[演练冲关]1.2019·苏州模拟已知函数fx=logax2+a|x|a>0,且a≠1,若f-3<f4,则不等式fx2-3x<f4的解集为________.解析易知函数fx的定义域为-∞,0∪0,+∞,∵f-x=logax2+a|x|=fx,∴fx在定义域上为偶函数,∴f-3=f3.∵f-3<f4,∴f3<f4,∴a>1,fx在0,+∞上单调递增.故不等式fx2-3x<f4满足解得-1<x<4,且x≠0,x≠
3.故不等式fx2-3x<f4的解集为-10∪03∪34.答案-10∪03∪342.已知函数fx=log4ax2+2x+3.1若f1=1,求fx的单调区间;2是否存在实数a,使fx的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解1因为f1=1,所以log4a+5=1,因此a+5=4,a=-1,这时fx=log4-x2+2x+3.由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,函数fx的定义域为-13.令gx=-x2+2x+3,则gx在-11上递增,在13上递减.又y=log4x在0,+∞上递增,所以fx的单调递增区间是-11,递减区间是13.2假设存在实数a,使fx的最小值为0,则hx=ax2+2x+3应有最小值1,因此应有解得a=.故存在实数a=,使fx的最小值为
0.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.2018·淮安调研函数fx=log23x-1的定义域为________.解析由3x-1>0,解得x>,所以函数fx的定义域为.答案2.函数fx=log3x2-2x+10的值域为________.解析令t=x2-2x+10=x-12+9≥9,故函数fx可化为y=log3t,t≥9,此函数是一个增函数,其最小值为log39=2,故fx的值域为[2,+∞.答案[2,+∞3.计算log23log34+log34=________.解析log23log34+=·+3=2+3log32=2+2=
4.答案44.2019·长沙调研已知函数y=logax+3-1a>0,a≠1的图象恒过定点A,若点A也在函数fx=3x+b的图象上,则flog32=________.解析∵函数y=logax+3-1a>0,a≠1的图象恒过定点A-2,-1,将x=-2,y=-1代入fx=3x+b,得3-2+b=-1,∴b=-,∴fx=3x-,则flog32=3log32-=2-=.答案5.若函数fx=a>0,且a≠1的值域是[4,+∞,则实数a的取值范围是________.解析当x≤2时,y=-x+6≥
4.因为fx的值域为[4,+∞,所以当a>1时,3+logax>3+loga2≥4,所以loga2≥1,所以1<a≤2;当0<a<1时,3+logax<3+loga2,不合题意.故a∈12].答案12]6.2018·镇江期末已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x>0时,fx=1-log2x,则不等式fx<0的解集是________.解析当x<0时,fx=-f-x=log2-x-1,fx<0,即log2-x-1<0,解得-2<x<0;当x>0时,fx=1-log2x,fx<0,即1-log2x<0,解得x>2,综上,不等式fx<0的解集是-20∪2,+∞.答案-20∪2,+∞二保高考,全练题型做到高考达标1.2019·镇江中学调研函数y=log2x+log24-x的值域为________.解析由题意知,x>0且4-x>0,∴fx的定义域是04.∵函数fx=log2x+log24-x=log2[x4-x],∴0<x4-x≤2=4,当且仅当x=2时等号成立.∴log2[x4-x]≤2,∴函数y=log2x+log24-x的值域为-∞,2].答案-∞,2]2.2018·镇江中学学情调研已知函数fx=lg的定义域是,则实数a的值为________.解析因为函数fx=lg的定义域是,所以当x>时,1->0,即<1,所以a<2x,所以x>log2a.令log2a=,得a=2=,所以实数a的值为.答案3.若函数fx=lgx2-2ax+1+a在区间-∞,1]上递减,则a的取值范围为________.解析令函数gx=x2-2ax+1+a=x-a2+1+a-a2,对称轴为x=a,要使函数在-∞,1]上递减,则有即解得1≤a<2,即a∈[12.答案[124.2019·连云港模拟已知函数fx=lg,若fa=,则f-a=________.解析因为fx=lg的定义域为-1<x<1,所以f-x=lg=-lg=-fx,所以fx为奇函数,所以f-a=-fa=-.答案-5.函数fx=+lg的定义域为__________.解析由得故函数定义域为23∪34].答案23∪34]6.2018·苏州调研若函数fx=a>0,且a≠1的值域为[6,+∞,则实数a的取值范围是________.解析当x≤2时,fx∈[6,+∞,所以当x>2时,fx的取值集合A⊆[6,+∞.当0<a<1时,A=,不符合题意;当a>1时,A=loga2+5,+∞,若A⊆[6,+∞,则有loga2+5≥6,解得1<a≤
2.答案12]7.函数fx=log2·log2x的最小值为______.解析依题意得fx=log2x·2+2log2x=log2x2+log2x=2-≥-,当且仅当log2x=-,即x=时等号成立,因此函数fx的最小值为-.答案-8.设函数fx=若fa>f-a,则实数a的取值范围是________________.解析由fa>f-a得或即或解得a>1或-1<a<
0.答案-10∪1,+∞9.已知函数fx是定义在R上的偶函数,f0=0,当x>0时,fx=logx.1求函数fx的解析式;2解不等式fx2-1>-
2.解1当x<0时,-x>0,则f-x=log-x.因为函数fx是偶函数,所以f-x=fx.所以函数fx的解析式为fx=2因为f4=log4=-2,fx是偶函数,所以不等式fx2-1>-2可化为f|x2-1|>f4.又因为函数fx在0,+∞上是减函数,所以|x2-1|<4,解得-<x<,即不等式的解集为-,.10.2019·如东上学期第一次阶段检测已知函数fx=logax+1+loga3-xa>0且a≠1,且f1=
2.1求a的值及fx的定义域;2若不等式fx≤c恒成立,求实数c的取值范围.解1因为f1=2,所以2loga2=2,故a=2,所以fx=log21+x+log23-x,要使函数fx有意义,需有解得-1<x<3,所以fx的定义域为-13.2由1知,fx=log21+x+log23-x=log2[1+x3-x]=log2-x2+2x+3=log2[-x-12+4],故当x=1时,fx有最大值2,所以c的取值范围是[2,+∞.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.2019·南京五校联考已知函数fx=x2+ex-x<0与gx=x2+lnx+a,若函数fx图象上存在点P与函数gx图象上的点Q关于y轴对称,则a的取值范围是________.解析设点Px0,y0x0<0,则点P关于y轴的对称点Q-x0,y0在函数gx的图象上,所以消去y0,可得x+ex0-=-x02+ln-x0+a,所以ex0-=ln-x0+ax0<0.令mx=ex-x<0,nx=lna-xx<0,问题转化为函数mx与函数nx的图象在x<0时有交点.在平面直角坐标系中分别作出函数mx与函数nx的图象如图所示.当nx=lna-x的图象过点时,a=.由图可知,当a<时,函数mx与函数nx的图象在x<0时有交点.故a的取值范围为-∞,.答案-∞,2.2018·昆山测试已知函数fx=lgk∈R.1当k=0时,求函数fx的值域;2当k>0时,求函数fx的定义域;3若函数fx在区间[10,+∞上是单调增函数,求实数k的取值范围.解1当k=0时,fx=lg,定义域为-∞,1.因为函数y=x<1的值域为0,+∞,所以fx=lg的值域为R.2因为k>0,所以关于x的不等式>0⇔x-1kx-1>0⇔x-1>
0.*
①若0<k<1,则>1,不等式*的解为x<1或x>;
②若k=1,则不等式*即x-12>0,其解为x≠1;
③若k>1,则<1,不等式*的解为x<或x>
1.综上,当0<k≤1时,函数fx的定义域为-∞,1∪;当k>1时,函数fx的定义域为∪1,+∞.3令gx=,则fx=lggx.因为函数fx在[10,+∞上是单调增函数,且对数的底数10>1,所以当x∈[10,+∞时,gx>0,且函数gx在[10,+∞上是单调增函数.而gx===k+,若k-1≥0,则函数gx在[10,+∞上不是单调增函数;若k-1<0,则函数gx在[10,+∞上是单调增函数.所以k<
1.
①因为函数gx在[10,+∞上是单调增函数,所以要使当x∈[10,+∞时,gx>0,必须g10>0,即>0,解得k>.
②综合
①②知,实数k的取值范围是.。