（江苏专版）2020版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第三节函数的奇偶性及周期性学案（理）（含解析）

第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f－x＝fx，那么函数fx就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f－x＝－fx，那么函数fx就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性1周期函数对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx＋T＝fx，那么就称函数fx为周期函数，称T为这个函数的周期．2最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期．[小题体验]1．已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，fx＝x2＋，则f－1＝________.答案－22．若函数fx是周期为5的奇函数，且满足f1＝1，f2＝2，则f8－f14＝________.答案－13．若函数fx＝a－1x2＋a＋1x＋a2－1是奇函数，则实数a的值是________．解析由于函数fx的定义域为R，又函数fx是奇函数，故f0＝0，解得a＝1或a＝－1舍去，经检验a＝1时符合题意．答案11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数fx的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f－x＝－fx或f－x＝fx，而不能说存在x0使f－x0＝－fx0或f－x0＝fx0．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知fx＝ax2＋bx是定义在[a－12a]上的偶函数，那么a＋b＝________.解析因为fx＝ax2＋bx是定义在[a－12a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f－x＝fx，所以b＝0，所以a＋b＝.答案2．函数fx＝的奇偶性为________．解析因为x≠0，故fx的定义域关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，所以f－x＝log2x＝fx．当x＜0时，－x＞0，所以f－x＝log2－x＝fx．故f－x＝fx，所以fx为偶函数．答案偶函数　[题组练透]判断下列函数的奇偶性1fx＝＋；2fx＝＋；3fx＝3x－3－x；4fx＝；5易错题fx＝解1因为由得x＝±1，所以fx的定义域为{－11}．又f1＋f－1＝0，f1－f－1＝0，即fx＝±f－x．所以fx既是奇函数又是偶函数．2因为函数fx＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，所以函数fx既不是奇函数，也不是偶函数．3因为fx的定义域为R，所以f－x＝3－x－3x＝－3x－3－x＝－fx，所以fx为奇函数．4因为由得－2≤x≤2且x≠

0.所以fx的定义域为[－20∪02]，所以fx＝＝＝，所以f－x＝－fx，所以fx是奇函数．5易知函数的定义域为－∞，0∪0，＋∞，关于原点对称，又当x＞0时，fx＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f－x＝x2－x＝fx；当x＜0时，fx＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f－x＝x2＋x＝fx，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法1定义法2图象法3性质法

①设fx，gx的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒]　1“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．2判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f－x与fx的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．　[典例引领]设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx＋2＝－fx，当x∈

[02]时，fx＝2x－x

2.1求证fx是周期函数；2计算f0＋f1＋f2＋…＋f2018．解1证明因为fx＋2＝－fx，所以fx＋4＝－fx＋2＝fx．所以fx是周期为4的周期函数．2因为f0＝0，f1＝1，f2＝0，f3＝－f1＝－

1.又fx是周期为4的周期函数，所以f0＋f1＋f2＋f3＝f4＋f5＋f6＋f7＝…＝f2012＋f2013＋f2014＋f2015＝

0.所以f0＋f1＋f2＋…＋f2018＝f2016＋f2017＋f2018＝f0＋f1＋f2＝

1.[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法1定义法．2图象法．2．周期性3个常用结论1若fx＋a＝－fx，则T＝2a.2若fx＋a＝，则T＝2a.3若fx＋a＝－，则T＝2aa＞0．[即时应用]1．2018·镇江调研已知fx是定义在R上周期为4的函数，且f－x＋fx＝0，当0＜x＜2时，fx＝2x－1，则f－21＋f16＝________.解析由f－x＋fx＝0，知fx是定义在R上的奇函数，∴f0＝

0.又fx＋4＝fx，且当0＜x＜2时，fx＝2x－1，∴f－21＋f16＝f－1＋f0＝－f1＝－21－1＝－

1.答案－12．已知fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，fx＝x3－x，则函数y＝fx的图象在区间

[06]上与x轴的交点个数为________．解析因为当0≤x＜2时，fx＝x3－x，又fx是R上最小正周期为2的周期函数，且f0＝0，所以f6＝f4＝f2＝f0＝

0.又f1＝0，所以f3＝f5＝

0.故函数y＝fx的图象在区间

[06]上与x轴的交点个数为

7.答案7　[锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有1奇偶性的应用；2单调性与奇偶性结合；3周期性与奇偶性结合；4单调性、奇偶性与周期性结合．　　　　[题点全练]角度一奇偶性的应用1．2018·连云港模拟函数y＝fx是R上的奇函数，当x＜0时，fx＝2x，则当x＞0时，fx＝________.解析x＞0时，－x＜0，因为x＜0时，fx＝2x，所以当x＞0时，f－x＝2－x.因为fx是R上的奇函数，所以当x＞0时，fx＝－f－x＝－2－x.答案－2－x角度二单调性与奇偶性结合2．已知函数fx＝是奇函数，且函数fx在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析当x＜0时，－x＞0，fx＝－f－x＝－[－－x2＋2×－x]＝x2＋2x，x＜0，所以m＝2，所以fx的单调递增区间为[－1，1]，因此[－1，a－2]⊆[－11]⇒－1＜a－2≤1⇒1＜a≤

3.答案13]角度三周期性与奇偶性结合3．2019·江阴期中已知fx是定义在R上的偶函数，并满足fx＋2＝－，当1≤x≤2时fx＝x－2，则f

6.5＝________.解析∵fx＋2＝－，∴fx＋4＝f[x＋2＋2]＝－＝fx，即函数fx的周期为

4.∵fx是定义在R上的偶函数，∴f－x＝fx，∴f

6.5＝f－

1.5＝f

1.5＝－

0.

5.答案－

0.5角度四单调性、奇偶性与周期性结合4．已知函数y＝fx是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，fx－1＝fx＋1成立，当x∈01且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题

①f1＝0；

②fx在区间[－22]上有5个零点；

③点20180是函数y＝fx图象的一个对称中心；

④直线x＝2018是函数y＝fx图象的一条对称轴．则正确命题的序号为________．解析在fx－1＝fx＋1中，令x＝0，得f－1＝f1，又f－1＝－f1，∴2f1＝0，∴f1＝0，故

①正确；由fx－1＝fx＋1，得fx＝fx＋2，∴fx是周期为2的周期函数，∴f2＝f0＝0，又当x∈01且x1≠x2时，有＜0，∴函数fx在区间01上单调递减，可作出函数fx的大致图象如图所示．由图知

②③正确，

④不正确，故正确命题的序号为

①②③.答案

①②③[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．2周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]1．2018·启东中学月考已知函数fx在定义域[2－a3]上是偶函数，在

[03]上单调递减，且f＞f－m2＋2m－2，则实数m的取值范围是________．解析因为函数fx在定义域[2－a3]上是偶函数，所以2－a＋3＝0，所以a＝5，所以f＞f－m2＋2m－2，即f－m2－1＞f－m2＋2m－2．由题意知偶函数fx在[－30]上单调递增，而－m2－1＜0，－m2＋2m－2＝－m－12－1＜0，所以由f－m2－1＞f－m2＋2m－2，得解得1－≤m＜.答案2．设fx是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－20∪02]上，fx＝则f2018＝________.解析设0＜x≤2，则－2≤－x＜0，f－x＝－ax＋b.fx是定义在R上周期为4的奇函数，所以f－x＝－fx＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝

1.而f－2＝f－2＋4＝f2，所以－2a＋1＝2a－1，解得a＝，所以f2018＝f2＝2×－1＝

0.答案0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．2019·南通中学高三测试已知函数fx是定义域为R的奇函数，且f－1＝2，那么f0＋f1＝________.解析因为函数fx是R上的奇函数，所以f－x＝－fx，f1＝－f－1＝－2，f0＝0，所以f0＋f1＝－

2.答案－22．2018·南京三模已知fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx＝2x－2，则不等式fx－1≤2的解集是________．解析偶函数fx在[0，＋∞上单调递增，且f2＝

2.所以fx－1≤2，即f|x－1|≤f2，即|x－1|≤2，所以－1≤x≤

3.答案[－13]3．函数fx＝x＋＋1，fa＝3，则f－a＝________.解析由题意得fa＋f－a＝a＋＋1＋－a＋＋1＝

2.所以f－a＝2－fa＝－

1.答案－14．函数fx在R上为奇函数，且x＞0时，fx＝＋1，则当x＜0时，fx＝________.解析因为fx为奇函数，x＞0时，fx＝＋1，所以当x＜0时，－x＞0，fx＝－f－x＝－＋1，即x＜0时，fx＝－＋1＝－－

1.答案－－15．2019·连云港高三测试已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，fx＝x，则f－2＋log35＝________.解析由fx是定义在R上的奇函数，得f－2＋log35＝－f2－log35，由于当x＞0时，fx＝x，故f－2＋log35＝－f＝－＝－.答案－6．2018·南通一调若函数fx＝a，b∈R为奇函数，则fa＋b＝________.解析法一因为函数fx为奇函数，所以即解得经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，所以fa＋b＝f1＝－

1.法二因为函数fx为奇函数，所以fx的图象关于原点对称，由题意知，当x≥0，二次函数的图象顶点坐标为，当x＜0，二次函数的图象顶点坐标为－1，－a，所以解得a＝－1，b＝2，经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，所以fa＋b＝f1＝－

1.答案－1二保高考，全练题型做到高考达标1．2018·抚顺期末设fx是定义在[－2b3＋b]上的偶函数，且在[－2b0]上为增函数，则fx－1≥f3的解集为________．解析∵fx是定义在[－2b3＋b]上的偶函数，∴－2b＋3＋b＝0，∴b＝3，∴fx是定义在[－66]上的偶函数，且在[－60]上为增函数，∴fx在

[06]上为减函数，∴由fx－1≥f3，得|x－1|≤3，解得－2≤x≤4，∴fx－1≥f3的解集为{x|－2≤x≤4}．答案{x|－2≤x≤4}2．2019·常州一中模拟设定义在R上的偶函数fx满足fx＋1＋fx＝1，且当x∈

[12]时，fx＝2－x，则f－

2018.5＝________.解析由fx＋1＋fx＝1在R上恒成立，得fx－1＋fx＝1，两式相减得fx＋1－fx－1＝0，即fx＋1＝fx－1恒成立，故函数fx的周期是2，∴f－

2018.5＝f－

0.5＝f

1.5，又当x∈

[12]时，fx＝2－x，∴f－

2018.5＝f

1.5＝2－

1.5＝

0.

5.答案

0.53．已知函数fx是定义在[－22]上的奇函数，且在区间

[02]上是单调减函数．若f2x＋1＋f1＜0，则x的取值范围是________．解析∵函数fx是定义在[－22]上的奇函数，且在区间

[02]上是单调减函数，∴函数fx在区间[－22]上是单调减函数．∵f2x＋1＋f1＜0，即f2x＋1＜－f1，∴f2x＋1＜f－1．则解得－1＜x≤.∴x的取值范围是.答案4．2018·泰州期末设fx是R上的奇函数，当x＞0时，fx＝2x＋ln，记an＝fn－5，则数列{an}的前8项和为________．解析数列{an}的前8项和为f－4＋f－3＋…＋f3＝f－4＋f－3＋f3＋f－2＋f2＋f－1＋f1＋f0＝f－4＝－f4＝－＝－

16.答案－165．2018·徐州期中已知函数fx＝ex－e－x＋1e为自然对数的底数，若f2x－1＋f4－x2＞2，则实数x的取值范围为________．解析令gx＝fx－1＝ex－e－x，则gx为奇函数，且在R上单调递增．因为f2x－1＋f4－x2＞2，所以f2x－1－1＋f4－x2－1＞0，即g2x－1＋g4－x2＞0，所以g2x－1＞gx2－4，即2x－1＞x2－4，解得x∈－13．答案－136．2019·镇江中学测试已知奇函数fx在定义域R上是单调减函数，若实数a满足f2|2a－1|＋f－2＞0，则a的取值范围是________．解析由f2|2a－1|＋f－2＞0，可得f2|2a－1|＞－f－2．因为fx为奇函数，所以f2|2a－1|＞f2．因为fx在定义域R上是单调减函数，所以2|2a－1|＜2，即|2a－1|＜，解得－＜a＜.答案7．2019·苏州调研已知奇函数fx在－∞，0上单调递减，且f2＝0，则不等式＞0的解集为________．解析由＞0，可得或因为奇函数fx在－∞，0上单调递减，所以fx在0，＋∞上单调递减，且f2＝f－2＝0，所以当x＞1时，fx＞0的解集为12；当x＜1时，fx＜0的解集为－20．所以不等式＞0的解集为－20∪12．答案－20∪128．函数fx在R上满足f－x＝－fx，当x≥0时，fx＝－ex＋1＋mcosπ＋x，记a＝－πf－π，b＝－·f，c＝efe，则a，b，c的大小关系为________．解析∵函数fx为R上的奇函数，且当x≥0时，fx＝－ex＋1＋mcosπ＋x，∴f0＝－1＋1－m＝0，即m＝0，∴fx＝－ex＋1x≥0．令gx＝xfx，有g－x＝－xf－x＝xfx＝gx，∴函数gx为偶函数，当x≥0时，gx＝xfx＝x1－ex，g′x＝fx＋xf′x＝1－1＋xex＜0，∴函数gx在[0，＋∞上为减函数，∵a＝－πf－π＝g－π＝gπ，b＝－f＝g＝g，c＝efe＝ge，又e＜π＜，∴b＜a＜c.答案b＜a＜c9．已知函数fx＝是奇函数．1求实数m的值；2若函数fx在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解1设x＜0，则－x＞0，所以f－x＝－－x2＋2－x＝－x2－2x.又fx为奇函数，所以f－x＝－fx，于是x＜0时，fx＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝

2.2要使fx在[－1，a－2]上单调递增，结合fx的图象如图所示知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是13]．10．2018·大同期末已知函数fx＝logax＋1，gx＝loga1－x，其中a＞0，a≠

1.1求函数Fx＝fx－gx的定义域；2判断Fx＝fx－gx的奇偶性，并说明理由；3当a＞1时，求使Fx＞0成立的x的取值范围．解1∵Fx＝fx－gx＝logax＋1－loga1－x，∴解得－1＜x＜1，∴函数Fx的定义域为－11．2Fx为－11上的奇函数．理由如下由1知Fx的定义域为－11，关于原点对称，F－x＝loga－x＋1－loga1＋x＝－[logax＋1－loga1－x]＝－Fx，∴函数Fx为－11上的奇函数．3根据题意，Fx＝logax＋1－loga1－x，当a＞1时，由Fx＞0，得logax＋1＞loga1－x，即解得0＜x＜1，故x的取值范围为01．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．2019·南通模拟已知定义在R上的奇函数y＝fx满足f2＋x＝f2－x，当－2≤x＜0时，fx＝2x，若an＝fnn∈N*，则a2018＝________.解析∵f2＋x＝f2－x，以2＋x代替上式中的x，得f4＋x＝f－x，又函数y＝fx是定义在R上的奇函数，∴f－x＝－fx，∴f4＋x＝f－x＝－fx，再以4＋x代替上式中的x，得f8＋x＝－f4＋x＝fx，∴函数fx的周期为

8.∴a2018＝f2018＝f252×8＋2＝f2，而f2＝－f－2＝－，∴a2018＝－.答案－2．设函数fx是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．1证明y＝fx是周期函数，并指出其周期；2若f1＝2，求f2＋f3的值；3若gx＝x2＋ax＋3，且y＝|fx|·gx是偶函数，求实数a的值．解1由f＝－f，且f－x＝－fx，知f3＋x＝f＝－f＝－f－x＝fx，所以y＝fx是周期函数，且T＝3是其一个周期．2因为fx为定义在R上的奇函数，所以f0＝0，且f－1＝－f1＝－2，又T＝3是y＝fx的一个周期，所以f2＋f3＝f－1＋f0＝－2＋0＝－

2.3因为y＝|fx|·gx是偶函数，且|f－x|＝|－fx|＝|fx|，所以|fx|为偶函数．故gx＝x2＋ax＋3为偶函数，即g－x＝gx恒成立，于是－x2＋a－x＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝

0.。