还剩4页未读,继续阅读
文本内容:
1.1 导数1.理解函数在某点的平均变化率的概念,并会求此平均变化率.2.理解运动物体在某时刻的瞬时变化率瞬时速度.3.理解导数的几何意义,并会求曲线在某点处的切线方程.1.函数的平均变化率一般地,已知函数y=fx,x0,x1是其定义域内不同的两点,记Δx=x1-x0,Δy=y1-y0=fx1-fx0=fx0+Δx-fx0,则当Δx≠0时,商________________称作函数y=fx在区间[x0,x0+Δx]或[x0+Δx,x0]的平均变化率.Δx,Δy的值可正、可负,但Δx的值不能为0,Δy的值可以为
0.若函数fx为常数函数,则Δy=
0.【做一做1-1】已知函数y=fx=x2+1,则在x=2,Δx=
0.1时,Δy的值为 .A.
0.40B.
0.41C.
0.43D.
0.44【做一做1-2】在x=1附近,取Δx=
0.3,在四个函数
①y=x;
②y=x2;
③y=x3;
④y=中,平均变化率最大的是 .A.
④B.
③C.
②D.
①2.瞬时变化率与导数1设函数y=fx在x0及其附近有定义,当自变量在x=x0附近改变量为Δx时,函数值相应地改变Δy=fx0+Δx-fx0.如果当Δx趋近于0时,平均变化率=趋近于一个常数l,那么常数l称为函数fx在点x0的__________.2“当Δx趋近于0时,趋近于常数l”可以用符号“→”记作“当Δx→0时,→l”,或记作“=l”,符号“→”读作“趋近于”.函数y=fx在点x0的瞬时变化率,通常称为fx在点x0处的______,并记作f′x0.这时又称fx在点x0处是可导的.于是上述变化过程,可以记作“当Δx→0时,→________”或“=________”.3如果fx在开区间a,b内每一点x都是可导的,则称fx在区间a,b______.这样,对开区间a,b内每个值x,都对应一个确定的导数f′x.于是,在区间a,b内,f′x构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=fx的______,记为f′x或y′或yx′.导函数通常简称为______.1Δx是自变量x在x0处的改变量,Δx≠0,而Δy是函数值的改变量,可以是零.2对于导函数的定义的几种形式表示如下y′=;y′=;y′=;y′=.【做一做2-1】若质点按规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为 .A.6B.18C.54D.81【做一做2-2】已知函数fx在x=x0处可导,则 .A.与Δx,x0都有关B.仅与x0有关而与Δx无关C.仅与Δx有关而与x0无关D.与x0,Δx均无关3.导数的几何意义设函数y=fx的图象如图所示.AB是过点Ax0,fx0与点Bx0+Δx,fx0+Δx的一条割线.由此割线的斜率是,可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线在点A的切线.于是,当Δx→0时,割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即=切线AD的斜率.由导数意义可知,曲线y=fx在点x0,fx0的切线的斜率等于________.【做一做3-1】曲线y=-3x2+2在点02处的切线的斜率为 .A.-6B.6C.0D.不存在【做一做3-2】下面说法正确的是 .A.若f′x0不存在,则曲线y=fx在点x0,fx0处没有切线B.若曲线y=fx在点x0,fx0处有切线,则f′x0必存在C.若f′x0不存在,则曲线y=fx在点x0,fx0处的切线斜率不存在D.若曲线y=fx在点x0,fx0处没有切线,则f′x0有可能存在1.“函数fx在点x=x0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系?剖析1函数在点x=x0处的导数f′x0是一个数值,不是变量.2导函数也简称导数,所以3函数y=fx在点x=x0处的导数f′x0就是导函数f′x在点x=x0处的函数值.所以求函数在一点处的导数,一般是先求出函数的导函数,再计算导函数在这点的函数值.2.曲线的切线与曲线只有一个公共点吗?剖析回答是否定的.这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线,而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线,其理由如下在初中我们学习过圆的切线直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.圆是一种特殊的曲线,能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义直线和曲线有唯一公共点时,该直线叫做曲线在该点的切线,显然这种推广是不妥当的.观察图中的曲线C,直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M,但我们不能说直线l1与曲线C相切;而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点,我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线.因此,对于一般的曲线,必须重新寻求曲线切线的定义.一般地,过曲线y=fx上一点Px0,y0作曲线的割线PQ,当点Q沿着曲线无限趋近于点P时,若割线PQ趋近于某一确定的位置,则称这一确定位置的直线为曲线y=fx在点P处的切线.在这里,要注意,曲线y=fx在点P处的切线1与点P的位置有关;2要依据割线PQ是否存在极限位置来判定与求解.如有极限,则在此点处有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线.题型一求瞬时速度【例题1】已知物体的运动方程如下求此物体在t=1和t=3时的瞬时速度.位移的单位m,时间的单位s分析先求平均变化率,即平均速度,再取极限注意定义域的限制.反思质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度.题型二导数定义的应用【例题2】过曲线y=fx=x3上两点P11和Q1+Δx1+Δy作曲线的割线,求出当Δx=
0.1时割线的斜率.分析割线PQ的斜率即为函数fx在x=1到x=1+Δx之间的平均变化率.反思一般地,设曲线C是函数y=fx的图象,Px0,y0是曲线上的定点,点Qx0+Δx,y0+Δy是C上与点P邻近的点,有y0=fx0,y0+Δy=fx0+Δx,Δy=fx0+Δx-fx0,割线PQ的斜率为tanβ==,曲线C在点P处的斜率为tanα==.题型三求切线方程【例题3】已知曲线C y=x
3.1求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;2第1问中的切线与曲线C是否还有其他公共点?分析求切线方程可先求出切线的斜率,再应用点斜式写出切线方程;判断直线与曲线的交点个数,可联立方程组求其解的个数.反思1求曲线的切线的斜率的步骤
①求函数值的增量Δy=fx0+Δx-fx0;
②求割线的斜率tanβ=;
③求极限=;
④若极限存在,则切线的斜率.2由导数的几何意义得出求切线方程的步骤
①先求出函数y=fx在点x0处的导数f′x0;
②根据点斜式得切线方程为y-y0=f′x0x-x0.题型四易错辨析易错点在求曲线过某点的切线方程时,不注意判断该点是否在曲线上,而直接把点当成在曲线上求切线方程,导致方程求错,避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上,然后根据不同情况求解.【例题4】试求过点M11且与曲线y=x3+1相切的直线方程.错解===3xΔx+3x2+Δx2,=3x2,因此y′=3x2,所以切线在x=1处的斜率k=
3.故切线方程为y-1=3x-1,即3x-y-2=
0.1一质点运动的方程为s=5-3t2,则在时间[11+Δt]内的平均速度为 .A.3Δt+6B.-3Δt+6C.3Δt-6D.-3Δt-62设函数fx=ax3+2,若f′-1=3,则a= .A.-1B.C.1D.3设fx为可导函数且满足则过曲线y=fx上的点1,f1的切线的斜率为 .A.2B.-1C.1D.-24一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离sm与时间ts之间的函数关系为s=t2,则t=2s时,此木块在水平方向的瞬时速度为______m/s.5已知函数fx=x-,则它与x轴交点处的切线方程为____________________.答案基础知识·梳理【做一做1-1】B ∵x=2,Δx=
0.1,∴Δy=fx+Δx-fx=f
2.1-f2=
0.
41.【做一做1-2】B 根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为
12.
33.99,-.2.1瞬时变化率 2导数 f′x0 f′x03可导 导函数 导数【做一做2-1】B 瞬时速度v===3Δt+18=
18.【做一做2-2】B 由导数的定义,对给定的可导函数fx有=f′x0.显然,f′x0仅与x0有关而与Δx无关.3.f′x0【做一做3-1】C f′0==-3Δx=
0.【做一做3-2】C 函数fx在一点x=x0处的导数f′x0的几何意义是y=fx在这一点处切线的斜率,但f′x0不存在,并不能说明这一点处不存在切线,而是说明在这一点处的切线的斜率不存在,即若在这一点处的切线的斜率不存在,曲线在该点处也可能有切线.所以函数fx在某点可导,是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件.典型例题·领悟【例题1】解当t=1时,s=3t2+1,v=====6m/s.当t=3时,s=2+3t-32,v====3Δt=0m/s.∴物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为6m/s和0m/s.【例题2】解∵Δy=f1+Δx-f1=1+Δx3-1=3Δx+3Δx2+Δx
3.∴割线PQ的斜率==Δx2+3Δx+
3.当Δx=
0.1时,设割线PQ的斜率为k,则k==
0.12+3×
0.1+3=
3.
31.【例题3】解1将x=1代入曲线C的方程,得y=1,所以切点为P11.因为y′====[3x2+3xΔx+Δx2]=3x2,所以.所以过点P的切线方程为y-1=3x-1,即3x-y-2=
0.2由可得x-12x+2=0,解得x1=x2=1,x3=-
2.从而求得公共点为P11或P-2,-8,说明切线与曲线C有除切点外的公共点.【例题4】错因分析错解中将点M11当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再根据不同情况求解.正解由错解可知y′=3x2,因为点M11不在曲线y=x2+1上,所以设过点M11的切线与y=x3+1相切于点Px0,x+1,依据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k=3x
①,过点M11的切线的斜率k=
②,由
①=
②得,3x=,解之得x0=0或x0=,所以k=0或k=,因此曲线y=x3+1过点M11的切线方程有两条,分别为y-1=x-1和y=1,即27x-4y-23=0和y=
1.随堂练习·巩固1.D ==-3Δt-
6.2.C ∵f′-1==[aΔx2-3aΔx+3a]=3a=3,∴a=
1.3.B ===f′1=-
1.4. t=2s时瞬时速度为=4+Δt=.5.2x-y+2=0和2x-y-2=0 令x-=0,得x=±1,∴曲线与x轴的交点坐标为±10,又f′x=1+,∴f′±1=2,∴所求切线方程为y=2x±1,即2x-y±2=
0.。