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第2课时 直线的两点式方程[核心必知]1.预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材P95~P97,回答下列问题某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位于东大街北侧、北大街东P处,如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1km和4km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处,并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短.1在上述问题中,实际上解题关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点A、B能否确定?提示可以确定.2根据上图知建立平面坐标系后,A、B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量?提示在x轴、y轴上的截距.3那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗?提示可以.2.归纳总结,核心必记1直线的两点式方程
①定义如图所示,直线l经过点P1x1,y1,P2x2,y2其中x1≠x2,y1≠y2,则方程=,叫做直线l的两点式方程,简称两点式.
②说明与坐标轴垂直的直线没有两点式方程.2直线的截距式方程
①定义如图所示,直线l与两坐标轴的交点分别是P1a0,P20,b其中a≠0,b≠0,则方程为+=1,叫做直线l的截距式方程,简称截距式.
②说明一条直线与x轴的交点a0的横坐标a叫做直线在x轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距.3中点坐标公式若点P1,P2的坐标分别为x1,y1,x2,y2,且线段P1P2的中点M的坐标为x,y,则有此公式为线段P1P2的中点坐标公式.[问题思考]1方程=和方程y-y1x2-x1=x-x1y2-y1的适用范围相同吗?提示不同.前者为分式形式方程,形式对称,但不能表示垂直于坐标轴的直线.后者为整式形式方程,适用于过任何两点的直线方程.2方程-=1和+=-1都是直线的截距式方程吗?提示都不是截距式方程.截距式方程的特点有两个,一是中间必须用“+”号连接,二是等号右边为
1.[课前反思]通过以上预习,必须掌握的几个知识点.1直线的两点式方程是什么?怎样求? ;2直线的截距式方程是什么?怎样求? ;3中点坐标公式是什么? .观察下面坐标系中的直线,思考如下问题[思考1] 怎样利用点P1,P2的坐标写出直线l的方程?名师指津可利用两点坐标求出直线的斜率,再利用点斜式求出其方程.[思考2] 给定两点Ax1,y1,Bx2,y2是否就可以用两点式写出直线AB的方程?名师指津不一定.只有在x1≠x2,y1≠y2的前提下才能写出直线的两点式.当x1=x2时,直线方程为x=x1;当y1=y2时,直线方程为y=y
1.所以,直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,但如果将方程变形为x2-x1y-y1=y2-y1x-x1,它是两点式的变形,可以表示任何直线,包括与坐标轴垂直的直线.[思考3] 直线的两点式方程能用=x1≠x2,y1≠y2代替吗?名师指津方程=所表示的图形不含点x1,y1,故不能表示整条直线,故不能用其代替两点式方程.讲一讲1.已知A-32,B5,-4,C0,-2,在△ABC中,链接教材P96—例41求BC边的方程;2求BC边上的中线所在直线的方程.[尝试解答] 1∵BC边过两点B5,-4,C0,-2,∴由两点式得=,即2x+5y+10=
0.故BC边的方程为2x+5y+10=00≤x≤5.2设BC的中点为Mx0,y0,则x0==,y0==-
3.∴M,又BC边上的中线经过点A-32.∴由两点式得=,即10x+11y+8=
0.故BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=
0.求直线的两点式方程的策略以及注意点1当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.2由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.练一练1.已知△ABC三个顶点坐标A2,-1,B22,C41,求三角形三条边所在的直线方程.解∵A2,-1,B22,A、B两点横坐标相同,∴直线AB与x轴垂直,故其方程为x=
2.∵A2,-1,C41,由直线方程的两点式可得直线AC的方程为=,即x-y-3=
0.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为=,即x+2y-6=
0.观察下面坐标系中的直线,思考如下问题[思考1] 由上述条件能否求出直线的方程?名师指津结合条件可知直线过点a0,0,b,利用两点式可求出直线的方程.[思考2] 怎样理解直线的截距式方程?名师指津1由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距.2由截距式方程可知,截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线,因此,截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线.3过原点的直线可以表示为y=kx;与x轴垂直的直线可以表示为x=x0;与y轴垂直的直线可以表示为y=y
0.讲一讲2.求过点4,-3且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.[尝试解答] 法一设直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b.1当a≠0,b≠0时,设l的方程为+=
1.∵点4,-3在直线上,∴+=1,若a=b,则a=b=1,直线方程为x+y=
1.若a=-b,则a=7,b=-7,此时直线的方程为x-y=
7.2当a=b=0时,直线过原点,且过点4,-3,∴直线的方程为3x+4y=
0.综上知,所求直线方程为x+y-1=0或x-y-7=0或3x+4y=
0.法二设直线l的方程为y+3=kx-4,令x=0,得y=-4k-3;令y=0,得x=.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,∴|-4k-3|=,解得k=1或k=-1或k=-.∴所求的直线方程为x-y-7=0或x+y-1=0或3x+4y=
0.截距式方程应用的注意事项1如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式直线方程,用待定系数法确定其系数即可.2选用截距式直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.3要注意截距式直线方程的逆向应用.练一练2.求过点A52且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程.解由题意知,当直线l在坐标轴上的截距均为零时,直线l的方程为y=x;当直线l在坐标轴上的截距不为零时,设l的方程为+=1,将点52代入方程得+=1,解得a=,所以直线l的方程为x+2y-9=
0.综上知,所求直线l的方程为y=x,或x+2y-9=
0.讲一讲3.直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2,两截距之差为3,求直线l的方程.[思路点拨] 利用直线方程的截距式列出关于截距的方程组,解方程组即可.[尝试解答] 由题设知,直线l不过原点,且在x轴、y轴上的截距都大于0,设直线l的方程为+=1a>0,b>0,则由已知可得
①当a≥b时,
①可化为解得或舍去;当a<b时,
①可化为解得或舍去.所以,直线l的方程为+y=1或x+=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=
0.利用截距求面积1截距式方程是两点式的一种特殊情况两个点是直线与坐标轴的交点,用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便.2从题意看,本题只告诉了截距之间的关系,因此解题时,设出了直线的截距式,由于不知截距的大小,因此,需要进行分类讨论.练一练3.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,若直线过定点A-34,求直线l的方程.解由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程是y=kx+3+4,它在x轴,y轴上的截距分别是--33k+4,则|3k+4|=3,显然k0时不成立.解得k1=-,k2=-.所以直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=
0.——————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1.本节课的重点是了解直线方程的两点式的推导过程,会利用两点式求直线的方程,掌握直线方程的截距式,并会应用.难点是直线方程两点式的推导.2.本节课要重点掌握的规律方法1求直线的两点式方程的策略,见讲
1.2直线的截距式方程应用的注意点,见讲
2.3应用直线截距式方程求面积问题,见讲
3.3.本节课的易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况,如讲
2.课下能力提升十八[学业水平达标练]题组1 直线的两点式方程1.过点A32,B43的直线方程是 A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0解析选D 由直线的两点式方程,得=,化简得x-y-1=
0.2.已知△ABC三顶点A12,B36,C52,M为AB中点,N为AC中点,则中位线MN所在直线方程为 A.2x+y-8=0B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0D.2x-y-12=0解析选A 点M的坐标为24,点N的坐标为32,由两点式方程得=,即2x+y-8=
0.3.直线l过点-1,-1和25,点1002,b在直线l上,则b的值为 A.2003B.2004C.2005D.2006解析选C 直线l的方程为=,即y=2x+1,令x=1002,则b=
2005.4.过两点-11和39的直线在x轴上的截距为 A.-B.-C.D.2解析选A 直线方程为=,化为截距式为+=1,则在x轴上的截距为-.题组2 直线的截距式方程5.2016·淄博高一检测过P
120、P203两点的直线方程是 A.+=0B.-=1C.+=1D.-=1解析选C 由截距式得,所求直线的方程为+=
1.6.直线-=1在两坐标轴上的截距之和为 A.1B.-1C.7D.-7解析选B 直线在x轴上截距为3,在y轴上截距为-4,因此截距之和为-
1.7.直线3x-2y=4的截距式方程是 A.-=1B.-=4C.-=1D.+=1解析选D 求直线方程的截距式,必须把方程化为+=1的形式,即右边为1,左边是和的形式.8.求过点P6,-2,且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程.解设直线方程的截距式为+=
1.则+=1,解得a=2或a=1,则直线方程是+=1或+=1,即2x+3y-6=0或x+2y-2=
0.题组3 直线方程的综合运用9.已知在△ABC中,A,B的坐标分别为-12,43,AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上.1求点C的坐标;2求直线MN的方程.解1设点Cm,n,AC中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,由中点坐标公式得解得∴C点的坐标为1,-3.2由1知点M、N的坐标分别为M、N,由直线方程的截距式,得直线MN的方程是+=1,即y=x-.10.三角形的顶点坐标为A0,-5,B-33,C20,求直线AB和直线AC的方程.解∵直线AB过点A0,-5,B-33两点,由两点式方程,得=.整理,得8x+3y+15=
0.∴直线AB的方程为8x+3y+15=
0.又∵直线AC过A0,-5,C20两点,由截距式得+=1,整理得5x-2y-10=0,∴直线AC的方程为5x-2y-10=
0.[能力提升综合练]1.在y轴上的截距是-3,且经过A2,-1,B61中点的直线方程为 A.+=1B.-=1C.+=1D.-=1解析选B A2,-1,B61的中点坐标为40,即可设直线的截距式方程为+=1,将点40代入方程得a=4,则该直线的方程为-=
1.2.已知直线ax+by+c=0的图象如图,则 A.若c>0,则a>0,b>0B.若c>0,则a0,b>0C.若c<0,则a0,b0D.若c0,则a0,b>0解析选D 由ax+by+c=0,得斜率k=-,直线在x、y轴上的截距分别为-、-.如题图,k0,即-<0,∴ab
0.∵->0,->0,∴ac<0,bc<
0.若c0,则a0,b0;若c0,则a<0,b<
0.3.2016·唐山高一检测下列命题中正确的是 A.经过点P0x0,y0的直线都可以用方程y-y0=kx-x0表示B.经过定点A0,b的直线都可以用方程y=kx+b表示C.经过任意两个不同点P1x1,y1,P2x2,y2的直线都可用方程x2-x1y-y1=y2-y1x-x1表示D.不经过原点的直线都可以用方程+=1表示解析选C A中当直线的斜率不存在时,其方程只能表示为x=x0;B中经过定点A0,b的直线x=0无法用y=kx+b表示;D中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程+=1表示.只有C正确,故选C.4.两直线-=1与-=1的图象可能是图中的 解析选B 由-=1,得到y=x-n;又由-=1,得到y=x-m.即k1与k2同号且互为倒数.5.过点03,且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.解析设直线方程为+=1,则解得a=2,b=3,则直线方程为+=
1.答案+=16.直线l过点P-12,分别与x,y轴交于A,B两点,若P为线段AB的中点,则直线l的方程为________.解析设Ax0,B0,y.由P-12为AB的中点,∴∴由截距式得l的方程为+=1,即2x-y+4=
0.答案2x-y+4=07.直线l过点-34,且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.解设直线l的方程为+=1,则a+b=
12.
①又直线l过点-34,∴+=
1.
②由
①②解得或故所求的直线方程为+=1或+=1,即x+3y-9=0或4x-y+16=
0.8.一条光线从点A32发出,经x轴反射后,通过点B-1,6,求入射光线和反射光线所在的直线方程.解如图所示,作A点关于x轴的对称点A′,显然,A′坐标为3,-2,连接A′B,则A′B所在直线即为反射光线.由两点式可得直线A′B的方程为=,即2x+y-4=
0.同理,点B关于x轴的对称点为B′-1,-6,由两点式可得直线AB′的方程为=,即2x-y-4=0,∴入射光线所在直线方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线方程为2x+y-4=
0.。