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压轴小题组合练A
1.设函数f′x是定义在0,π上的函数fx的导函数,有f′xcosx-fxsinx0,若a=f ,b=0,c=-f ,则a,b,c的大小关系是____________.用“”连接答案 abc解析 令gx=cosx·fx,所以g′x=f′xcosx-fxsinx0在0,π上恒成立,即gx在0,π上单调递增,则ggg,即f 0-f ,即abc.
2.已知函数fx=a>0,且a≠1在R上单调递减,且关于x的方程|fx|=2-x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是________.答案 ∪解析 由题设可得解得≤a≤.结合图象图略可知方程在-∞,0和0,+∞上分别只有一个实数根.当3a>2,即a>时,则x2+4a-3x+3a=2-x只有一个解,则Δ=4a-22-43a-2=0,解得a=或a=1舍去,经检验a=,符合题意;当1≤3a≤2,即≤a≤时,符合题设条件.综上,所求实数a的取值范围是≤a≤或a=.
3.设函数fx=若关于x的方程fx-logax+1=0a>0,且a≠1在区间
[05]内恰有5个不同的根,则实数a的取值范围是________.答案 ,+∞解析 要使方程fx-logax+1=0a>0且a≠1在区间
[05]内恰有5个不同的根,只需函数y=fx与y=logax+1的图象在区间
[05]内恰有5个不同的交点,显然a1,在同一坐标系内作出它们的图象如图要使它们在区间
[05]内恰有5个不同的交点,只需得a>.
4.已知数列{an}的前n项和Sn=3nλ-n-6n∈N*,若数列{an}为递减数列,则λ的取值范围是________.答案 -∞,2解析 ∵Sn=3nλ-n-6,
①∴Sn-1=3n-1λ-n+1-6,n≥2,
②由
①-
②,得an=3n-12λ-2n-1n≥2,n∈N*.∵数列{an}为递减数列,∴an>an+1,∴3n-12λ-2n-1>3n2λ-2n-3,化为λ<n+2n≥2,∴λ<
4.又a1>a2,∴λ<
2.综上,λ<
2.
5.已知函数fx=ax+x2-xlna,对任意的x1,x2∈
[01],不等式|fx1-fx2|≤a-2恒成立,则a的取值范围为________.答案 [e2,+∞解析 由题意可得|fx1-fx2|max=fxmax-fxmin≤a-2,且a2,由于f′x=axlna+2x-lna=lna+2x,所以当x0时,f′x0,函数fx在
[01]上单调递增,则fxmax=f1=a+1-lna,fxmin=f0=1,所以fxmax-fxmin=a-lna,故a-2≥a-lna,即lna≥2,所以a≥e2,即a的取值范围为.
6.在△ABC中,点P满足=2,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若=m,=nm0,n0,则m+2n的最小值为________.答案 3解析 ∵=+=+=+=+,∵M,P,N三点共线,∴+=1,∵m0,n0,∴m+2n=m+2n·=+++≥+2=3,当且仅当=,即m=n=1时等号成立.
7.已知函数fx=x2+exx0与gx=x2+lnx+a的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是________.答案 -∞,e解析 由已知得,方程fx=g-x在x0时有解,即ex-ln-x+a=0在-∞,0上有解,令mx=ex-ln-x+a,则mx=ex-ln-x+a在其定义域上是增函数,且x→-∞时,mx0,当a≤0,x→a时,mx0,故ex-ln-x+a=0在-∞,a上有解,符合要求.当a0时,则ex-ln-x+a=0在-∞,0上有解可化为e0-lna0,即lna1,故0ae,综上所述,a∈-∞,e.
8.若曲线y=lnx+ax2a为常数不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是________.答案 [0,+∞解析 由题意得y′=+2ax≥0在0,+∞上恒成立,∴a≥-在0,+∞上恒成立.令fx=-,x∈0,+∞,则fx在0,+∞上单调递增,又fx=-0,∴a≥
0.
9.已知[x表示大于x的最小整数,例如[3=4,[-
1.3=-1,下列命题中正确的是________.填序号
①函数fx=[x-x的值域是01];
②若{an}是等差数列,则{[an}也是等差数列;
③若{an}是等比数列,则{[an}也是等比数列;
④若x∈12014,则方程[x-x=有2013个根.答案
①④解析 当x∈Z时,[x=x+1,fx=[x-x=x+1-x=1;当x∉Z时,令x=n+a,n∈Z,a∈01,则[x=n+1,fx=[x-x=1-a∈01,因此fx=[x-x的值域是01];
0.
911.1是等差数列,但[
0.9=1,[1=2,[
1.1=2不成等差数列;
0.512是等比数列,但[
0.5=1,[1=2,[2=3不成等比数列;由前分析可得当x∈Z时,fx=1;当x∉Z,x=n+a,n∈Z,a∈01时,fx=1-a=1-x-n=n+1-x,所以fx+1=fx,即fx=[x-x是周期为1的函数,由于x∈12时fx=2-x=,x=,即一个周期内有一个根,所以若x∈12014,则方程[x-x=有2013个根.综上可知,
①④正确.
10.已知等差数列{an}的首项为1,a1+a3+a5=15,{an}的前n项和为Sn,若S10,a10+1,k其中k∈R成等比数列,则实数k的值是________.答案 4解析 根据题意可得,a1=13a3=15,即a3=5,设等差数列{an}的公差为d,解得d=2,所以等差数列{an}的通项公式是an=2n-1,S10=10×1+×2=100,又S10,a10+1,k其中k∈R成等比数列,所以a10+12=k·S10,k==
4.
11.已知等差数列{an}的公差d>0,且a2,a5-1,a10成等比数列,若a1=5,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为________.答案 解析 由于a2,a5-1,a10成等比数列,所以a5-12=a2·a10,a1+4d-12=a1+d·a1+9d,解得d=3舍负,所以an=3n+2,Sn=,所以==≥,当且仅当n=2时“=”成立.
12.已知实数x,y满足3x-y≤lnx+2y-3+ln2x-3y+5,则x+y=________.答案 解析 设ft=lnt-t+1,令f′t=-1=0,得t=1,所以当0t1时,f′t0,当t1时,f′t0,因此ft≤f1=0,即lnt≤t-1,所以lnx+2y-3≤x+2y-3-1,ln2x-3y+5≤2x-3y+5-1,因此lnx+2y-3+ln2x-3y+5≤x+2y-3-1+2x-3y+5-1=3x-y,因为3x-y≤lnx+2y-3+ln2x-3y+5,所以x+2y-3=12x-3y+5=1,所以x=,y=,所以x+y=.
13.设Sn,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和,且=.设点A是直线BC外一点,点P是直线BC上一点,且=·+λ·,则实数λ的值为________.答案 -解析 不妨取Sn=3n2+2n,Tn=4n2+5n,当n=1时,a1=S1=5,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-1,验证得当n=1时上式成立.综上,an=6n-
1.同理可得bn=8n+1,即=.点P在直线BC上,设=k,=+=+k=+k-=1-k+k=+λ·,即1-k=,λ=k=-.
14.已知函数fx=若fx的所有零点之和为1,则实数a的取值范围为________.答案 2e,e2+1]解析 当x0时,易得fx的零点为x0=-1,当x≥0时,fx的零点可转化为直线y=a与函数gx=ex+e2-x在[0,+∞上的图象交点的横坐标,∵gx=g2-x,∴gx的图象关于直线x=1对称,又g′x=,当x1时,g′x0,gx单调递增,当0≤x1时,g′x0,gx单调递减,且g0=e2+1,g1=2e,由数形结合图略可知,当2ea≤e2+1时,直线y=a与函数gx=ex+e2-x在[0,+∞上的图象有两个交点,且交点的横坐标x1,x2满足=1,即x1+x2=
2.综上,x0+x1+x2=1,即fx有三个零点,且零点之和为1,满足题意,故实数a的取值范围为2e,e2+1].。