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第1讲平面的基本性质、空间两条直线的位置关系1.平面α、β的公共点多于两个,则
①α⊥β;
②α、β至少有三个公共点;
③α、β至少有一条公共直线;
④α、β至多有一条公共直线.以上四个判断中不成立的个数是________.解析由条件知,平面α与β重合或相交,重合时,公共直线多于一条,故
④错误;相交时不一定垂直,故
①错误.答案22.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件.解析若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立.答案充分不必要
3.如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条.解析依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行有棱AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D
1.故符合条件的有5条.答案54.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、H分别是边AB、AD的中点,点F、G分别是边BC、CD上的点,且==,则下列说法正确的是________.
①EF与GH平行;
②EF与GH异面;
③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上;
④EF与GH的交点M一定在直线AC上.解析连结EH,FG,依题意,可得EH∥BD,FG∥BD,故EH∥FG,所以E、F、G、H共面.因为EH=BD,FG=BD,故EH≠FG,所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上,所以点M是平面ACB与平面ACD的交点,又AC是这两个平面的交线,所以点M一定在直线AC上.答案
④5.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出三个命题
①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;
③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交.其中真命题的个数是________.解析因为a⊥b,b⊥c,所以a与c可以相交、平行、异面,故
①错.因为a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面、相交、平行,故
②错.由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面、相交、平行,故
③错.故真命题的个数为
0.答案
06.如图所示,正方体的棱长为1,B′C∩BC′=O,则AO与A′C′所成角的度数为________.解析连结AC.因为A′C′∥AC,所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC或其补角.因为OC⊥OB,AB⊥平面BB′C′C,所以OC⊥AB.又AB∩BO=B,所以OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,所以OC⊥OA.在Rt△AOC中,OC=,AC=,sin∠OAC==,所以∠OAC=30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.答案30°7.已知平面α∥β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为________.解析如图1,因为AC∩BD=P,图1所以经过直线AC与BD可确定平面PCD.因为α∥β,α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD,所以AB∥CD.所以=,即=,所以BD=.如图2,同理可证AB∥CD.图2所以=,即=,所以BD=
24.综上所述,BD=或
24.答案或248.过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作________条.解析如图,连结对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.联想正方体的其他对角线,如连结BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因为BB1∥AA1,BC∥AD,所以对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,故这样的直线l可以作4条.答案49.对于四面体ABCD,下列命题中
①相对棱AB与CD所在直线异面;
②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在的直线异面.其中正确的是________填序号.解析对于
①,由四面体的概念可知,AB与CD所在的直线为异面直线,故
①正确;对于
②,由顶点A作四面体的高,当四面体ABCD的对棱互相垂直时,其垂足是△BCD的三条高线的交点,故
②错误;对于
③,当DA=DB,CA=CB时,这两条高线共面,故
③错误.答案
①
10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.以上四个命题中,正确命题的序号是________.解析将展开图还原为正方体,如图所示,则AB⊥EF,故
①正确;AB∥CM,故
②错误;EF与MN显然异面,故
③正确;MN与CD异面,故
④错误.答案
①③
11.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.1求证直线EF与BD是异面直线;2若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.解1证明假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.2取CD的中点G,连结EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.又因为AC⊥BD,则FG⊥EG.在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.12.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=
2.求1三棱锥PABC的体积;2异面直线BC与AD所成角的余弦值.解1S△ABC=×2×2=2,三棱锥PABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.2如图,取PB的中点E,连结DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE或其补角是异面直线BC与AD所成的角.在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cos∠ADE==.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.1.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题序号是________.
①P∈a,P∈α⇒a⊂α;
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b;解析当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,所以
①错;a∩β=P时,
②错;如图,因为a∥b,P∈b,所以P∉a,所以由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,所以β与α重合,所以b⊂α,故
③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故
④正确.答案
③④2.2019·徐州模拟在正四棱锥VABCD中,异面直线VA与BD所成角的大小为________.解析如图,设AC∩BD=O,连结VO,因为四棱锥VABCD是正四棱锥,所以VO⊥平面ABCD,故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,所以BD⊥平面VAC,所以BD⊥VA,即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案3.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是______.写出所有正确命题的编号
①当0CQ时,S为四边形;
②当CQ=时,S为等腰梯形;
③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;
④当CQ1时,S为六边形;
⑤当CQ=1时,S的面积为.解析过A作AM∥PQ交DD1或A1D1于M.当0CQ时,M在DD1上,连结MQ,则截面为AMQP,故
①正确.当CQ=时,M与D1重合,截面为AD1QP,显然为等腰梯形,
②正确.当CQ=时,M在A1D1上,且D1M=.过M作MR∥AP交C1D1于R,则△MD1R∽△PBA,从而D1R=,即C1R=,故
③正确.当CQ1时,截面为AMRQP,为五边形,即
④错误.当CQ=1时,M为A1D1的中点,截面AMC1P为菱形,而AC1=,PM=,故面积为××=,
⑤正确.答案
①②③⑤4.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是________.解析如图所示,AB=,CD=a,设点E为AB的中点,则ED⊥AB,EC⊥AB,则ED==,同理EC=.由构成三角形的条件知0aED+EC=,所以0a.答案0,
5.如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊AD,BE綊FA,G,H分别为FA,FD的中点.1求证四边形BCHG是平行四边形;2C,D,F,E四点是否共面?为什么?解1证明由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GHAD.又BCAD,故GHBC.所以四边形BCHG是平行四边形.2C,D,F,E四点共面.理由如下由BEFA,G是FA的中点知,BEGF,所以EFBG.由1知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、FH共面.又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.
6.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=
2.求1三角形PCD的面积;2异面直线BC与AE所成的角的大小.解1因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,又因为PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD.因为PD==2,CD=2,所以Rt△PCD的面积为×2×2=
2.2取PB的中点F,连结EF、AF,则EF∥BC,从而∠AEF或其补角是异面直线BC与AE所成的角.易得AE=2,在△AEF中,由EF=、AF=、AE=2知△AEF是等腰直角三角形,所以∠AEF=.因此,异面直线BC与AE所成的角的大小是.。