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第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________．解析S底＝6××42＝24，S侧＝6×4×6＝144，所以S全＝S侧＋2S底＝144＋48＝483＋．答案483＋2．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π
2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案32π2＋8π或32π2＋32π3．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．解析由题意知，球的半径R＝.所以S球＝4πR2＝πa
2.答案πa24．以下命题
①以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为________．解析命题
①错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题
②对．命题
③错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案15．2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷二在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于________．解析设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，则圆锥的母线长为2r，高为r.由题意可知πr×2r＝4πR2，即r＝R.所以＝＝×＝×3＝.答案6．2019·苏锡常镇四市调研如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，点E为棱CD上一点，则三棱锥EPAB的体积为________．解析因为VEPAB＝VPABE＝S△ABE×PA＝×AB×AD×PA＝××2×3×4＝
4.答案47．2019·江苏省高考名校联考四如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，上、下底面为平行四边形，E为棱CD的中点，设四棱锥EADD1A1的体积为V1，四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为V2，则V1∶V2＝________．解析由题意，将侧面ADD1A1作为四棱柱的底面，设顶点C到平面ADD1A1的距离为2h，因为E为棱CD的中点，所以E到平面ADD1A1的距离为h，所以V1∶V2＝VEADD1A1∶VBCC1B1ADD1A1＝S四边形ADD1A1h∶S四边形ADD1A12h＝1∶
6.答案1∶68．2019·南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形如图1中阴影部分所示，折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH如图2，则正四棱锥SEFGH的体积为________．解析设正四棱锥SEFGH的高为h，体积为V，点S到HG的距离为h′，则2h′＋＝4，得h′＝，所以h＝＝2，所以V＝×2×2＝.答案9．2019·江苏省名校高三入学摸底卷《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若某阳马的底面积为7，最长的侧棱长为5，则该阳马的体积的最大值为________．解析设该阳马的底面边长分别为a，b，高为h，最长的侧棱长为l，则ab＝7，由于l2＝a2＋b2＋h2且l＝5，所以h2＝l2－a2＋b2≤52－2ab＝50－2×7＝36当且仅当a＝b＝时取等号，即有hmax＝6，所以该阳马的体积的最大值为abhmax＝×7×6＝
14.答案1410．2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷八中国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除”．刘徽注“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是________．解析如图，过点A作AP⊥CD，AM⊥EF，过点B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，连结PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为×10×3＝
15.棱柱的高为8，体积V＝15×8＝
120.答案12011．一个正三棱台的两底面的边长分别为8cm、18cm，侧棱长是13cm，求它的全面积．解上底面周长为c′＝3×8＝24cm，下底面周长c＝3×18＝54cm，斜高h′＝＝12cm，所以S正棱台侧＝c′＋ch′＝×24＋54×12＝468cm2，S上底面＝×82＝16cm2，S下底面＝×182＝81cm2，所以正三棱台的全面积为S＝468＋16＋81＝468＋97cm
2.12．如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积．解法一连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，EF，过O1作O1H⊥B1D于H.因为EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．因为平面B1D1D⊥平面B1EDF，平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，所以O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高．因为△B1O1H∽△B1DD1，所以O1H＝＝a.所以VC1B1EDF＝S四边形B1EDF·O1H＝··EF·B1D·O1H＝··a·a·a＝a
3.法二连结EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝a.由题意得，VC1B1EDF＝VB1C1EF＋VDC1EF＝S△C1EF·h1＋h2＝a
3.1．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则过圆锥的高的中点的平面截圆锥所得的圆台的体积为________．解析如图，在正三角形SAB中，AB＝2，SO＝，OB＝1，O1O＝，圆台的体积为V＝πhr2＋rr′＋r′2＝π×＝.答案2．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．解析如图，设球的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△AOB＝R
2.因为VOABC＝VCAOB，而△AOB面积为定值，所以当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为×R2×R＝36，所以R＝6，所以球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.答案144π3．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面积为________．解析如图所示，设点D为BC的中点，则A1D⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以A1D⊥BC，因为△ABC为等边三角形，所以AD⊥BC，又AD∩A1D＝D，AD⊂平面A1AD，A1D⊂平面A1AD，所以BC⊥平面A1AD，因为A1A⊂平面A1AD，所以BC⊥A1A.又因为A1A∥B1B，所以BC⊥B1B.又因为三棱柱的侧棱与底面边长都等于2，所以四边形BB1C1C是正方形，其面积为
4.作DE⊥AB于E，连结A1E，则AB⊥A1E，又因为AD＝＝，DE＝＝，所以AE＝＝，所以A1E＝eq\rAA－AE2＝，所以S四边形ABB1A1＝S四边形AA1C1C＝，所以S三棱柱侧＝2＋
4.答案2＋
44.2019·苏州市高三调研测试鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．容器壁的厚度忽略不计，结果保留π解析由题意知，可将问题转化为求长、宽、高分别是1，2，5的长方体的外接球的表面积，易知该球的直径2R＝＝，则该球的表面积为4πR2＝30π.答案30π5．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.1求该四面体的体积的最大值；2当四面体的体积最大时，求其表面积．解1如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP，得到AD⊥平面BPC，所以VABCD＝VABPC＋VDBPC＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝··a··x＝≤·＝a
3.所以该四面体的体积的最大值为a
3.2由1知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，所以S表＝2×a2＋2××a×＝a2＋a×＝a2＋＝a
2.6．把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起如图，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解由题图可知，箱底边长为x，则箱高为h＝×0xa，箱子的容积为Vx＝x2×sin60°×h＝ax2－x30xa．由V′x＝ax－x2＝0，解得x1＝0舍，x2＝a，且当x∈时，V′x0；当x∈时，V′x0，所以函数Vx在x＝a处取得极大值，这个极大值就是函数Vx的最大值V＝a×－×＝a
3.所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a
3.。
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