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第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积1.正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的全面积为________.解析S底=6××42=24,S侧=6×4×6=144,所以S全=S侧+2S底=144+48=483+.答案483+2.将一个边长分别为4π,8π的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面积是________.解析当以长度为4π的边为底面圆时,底面圆的半径为2,两个底面的面积是8π;当以长度为8π的边为底面圆时,底面圆的半径为4,两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积32π
2.故所求的表面积是32π2+8π或32π2+32π.答案32π2+8π或32π2+32π3.一个球与一个正方体的各个面均相切,正方体的棱长为a,则球的表面积为________.解析由题意知,球的半径R=.所以S球=4πR2=πa
2.答案πa24.以下命题
①以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
③一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为________.解析命题
①错,因这条腰必须是垂直于两底的腰.命题
②对.命题
③错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行.答案15.2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷二在一次模具制作大赛中,小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥,而小强制作了一个球,经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积,则圆锥和球的体积的比值等于________.解析设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,则圆锥的母线长为2r,高为r.由题意可知πr×2r=4πR2,即r=R.所以==×=×3=.答案6.2019·苏锡常镇四市调研如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=3,PA=4,点E为棱CD上一点,则三棱锥EPAB的体积为________.解析因为VEPAB=VPABE=S△ABE×PA=×AB×AD×PA=××2×3×4=
4.答案47.2019·江苏省高考名校联考四如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,上、下底面为平行四边形,E为棱CD的中点,设四棱锥EADD1A1的体积为V1,四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为V2,则V1∶V2=________.解析由题意,将侧面ADD1A1作为四棱柱的底面,设顶点C到平面ADD1A1的距离为2h,因为E为棱CD的中点,所以E到平面ADD1A1的距离为h,所以V1∶V2=VEADD1A1∶VBCC1B1ADD1A1=S四边形ADD1A1h∶S四边形ADD1A12h=1∶
6.答案1∶68.2019·南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形如图1中阴影部分所示,折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH如图2,则正四棱锥SEFGH的体积为________.解析设正四棱锥SEFGH的高为h,体积为V,点S到HG的距离为h′,则2h′+=4,得h′=,所以h==2,所以V=×2×2=.答案9.2019·江苏省名校高三入学摸底卷《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,若某阳马的底面积为7,最长的侧棱长为5,则该阳马的体积的最大值为________.解析设该阳马的底面边长分别为a,b,高为h,最长的侧棱长为l,则ab=7,由于l2=a2+b2+h2且l=5,所以h2=l2-a2+b2≤52-2ab=50-2×7=36当且仅当a=b=时取等号,即有hmax=6,所以该阳马的体积的最大值为abhmax=×7×6=
14.答案1410.2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷八中国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除”.刘徽注“羡除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”现有一个羡除如图所示,四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是________.解析如图,过点A作AP⊥CD,AM⊥EF,过点B作BQ⊥CD,BN⊥EF,垂足分别为P,M,Q,N,连结PM,QN,将一侧的几何体补到另一侧,组成一个直三棱柱,底面积为×10×3=
15.棱柱的高为8,体积V=15×8=
120.答案12011.一个正三棱台的两底面的边长分别为8cm、18cm,侧棱长是13cm,求它的全面积.解上底面周长为c′=3×8=24cm,下底面周长c=3×18=54cm,斜高h′==12cm,所以S正棱台侧=c′+ch′=×24+54×12=468cm2,S上底面=×82=16cm2,S下底面=×182=81cm2,所以正三棱台的全面积为S=468+16+81=468+97cm
2.12.如图所示,已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点,求四棱锥C1B1EDF的体积.解法一连结A1C1,B1D1交于点O1,连结B1D,EF,过O1作O1H⊥B1D于H.因为EF∥A1C1,且A1C1⊄平面B1EDF,所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.因为平面B1D1D⊥平面B1EDF,平面B1D1D∩平面B1EDF=B1D,所以O1H⊥平面B1EDF,即O1H为棱锥的高.因为△B1O1H∽△B1DD1,所以O1H==a.所以VC1B1EDF=S四边形B1EDF·O1H=··EF·B1D·O1H=··a·a·a=a
3.法二连结EF,B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1+h2=B1D1=a.由题意得,VC1B1EDF=VB1C1EF+VDC1EF=S△C1EF·h1+h2=a
3.1.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则过圆锥的高的中点的平面截圆锥所得的圆台的体积为________.解析如图,在正三角形SAB中,AB=2,SO=,OB=1,O1O=,圆台的体积为V=πhr2+rr′+r′2=π×=.答案2.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为________.解析如图,设球的半径为R,因为∠AOB=90°,所以S△AOB=R
2.因为VOABC=VCAOB,而△AOB面积为定值,所以当点C到平面AOB的距离最大时,VOABC最大,所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时,体积VOABC最大为×R2×R=36,所以R=6,所以球O的表面积为4πR2=4π×62=144π.答案144π3.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于2,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则三棱柱的侧面积为________.解析如图所示,设点D为BC的中点,则A1D⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,所以A1D⊥BC,因为△ABC为等边三角形,所以AD⊥BC,又AD∩A1D=D,AD⊂平面A1AD,A1D⊂平面A1AD,所以BC⊥平面A1AD,因为A1A⊂平面A1AD,所以BC⊥A1A.又因为A1A∥B1B,所以BC⊥B1B.又因为三棱柱的侧棱与底面边长都等于2,所以四边形BB1C1C是正方形,其面积为
4.作DE⊥AB于E,连结A1E,则AB⊥A1E,又因为AD==,DE==,所以AE==,所以A1E=eq\rAA-AE2=,所以S四边形ABB1A1=S四边形AA1C1C=,所以S三棱柱侧=2+
4.答案2+
44.2019·苏州市高三调研测试鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为________.容器壁的厚度忽略不计,结果保留π解析由题意知,可将问题转化为求长、宽、高分别是1,2,5的长方体的外接球的表面积,易知该球的直径2R==,则该球的表面积为4πR2=30π.答案30π5.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.1求该四面体的体积的最大值;2当四面体的体积最大时,求其表面积.解1如图,在四面体ABCD中,设AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取AD的中点为P,BC的中点为E,连结BP、EP、CP,得到AD⊥平面BPC,所以VABCD=VABPC+VDBPC=·S△BPC·AP+S△BPC·PD=·S△BPC·AD=··a··x=≤·=a
3.所以该四面体的体积的最大值为a
3.2由1知,△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形,△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰长为a,底边长为a,所以S表=2×a2+2××a×=a2+a×=a2+=a
2.6.把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起如图,做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?解由题图可知,箱底边长为x,则箱高为h=×0xa,箱子的容积为Vx=x2×sin60°×h=ax2-x30xa.由V′x=ax-x2=0,解得x1=0舍,x2=a,且当x∈时,V′x0;当x∈时,V′x0,所以函数Vx在x=a处取得极大值,这个极大值就是函数Vx的最大值V=a×-×=a
3.所以当箱子底边长为a时,箱子容积最大,最大值为a
3.。