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第一讲 三角函数的图象与性质考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1.三角函数的定义若角α的终边过点Px,y,则sinα=,cosα=,tanα=其中r=.2.诱导公式1sin2kπ+α=sinαk∈Z,cos2kπ+α=cosαk∈Z,tan2kπ+α=tanαk∈Z.2sinπ+α=-sinα,cosπ+α=-cosα,tanπ+α==tanα.3sin-α=-sinα,cos-α=cosα,tan-α=-tanα.4sinπ-α=sinα,cosπ-α=-cosα,tanπ-α=-tanα.5sin=cosα,cos=sinα,sin=cosα,cos=-sinα.3.基本关系sin2x+cos2x=1,tanx=.[对点训练]1.2018·山东寿光一模若角α的终边过点A21,则sin= A.-B.-C.D.[解析] 根据三角函数的定义可知cosα==,则sin=-cosα=-,故选A.[答案] A2.已知sin=,则cos= A.-B.C.D.-[解析] cos=cos=sin=sin=-sin=-sin=-.[答案] A3.已知Psin40°,-cos140°为锐角α终边上的点,则α= A.40°B.50°C.70°D.80°[解析] ∵Psin40°,-cos140°为角α终边上的点,因而tanα====tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.[答案] B4.2018·福建泉州质检已知θ为第四象限角,sinθ+3cosθ=1,则tanθ=________.[解析] 由sinθ+3cosθ2=1=sin2θ+cos2θ,得6sinθcosθ=-8cos2θ,又因为θ为第四象限角,所以cosθ≠0,所以6sinθ=-8cosθ,所以tanθ=-.[答案] -[快速审题] 1看到终边上点的坐标,想到三角函数的定义.2看到三角函数求值,想到诱导公式及切弦互化.诱导公式及三角函数关系式的应用策略1已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.2对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的式子,结合诱导公式将角进行转化.考点二 三角函数的图象与解析式1.“五点法”作函数y=Asinωx+φ的图象设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.2.两种图象变换[解析] 1∵fx=cos=sin=sin,∴只需将函数gx=sin的图象向左平移个单位长度即可得到fx的图象.故选C.2由=π-π=,得T=π,又知T=,∴ω=2,∴fx=2sin2x+φ.又知f=-2,∴2sin=-2,即sin=-
1.∴π+φ=2kπ+πk∈Z.∴φ=2kπ-k∈Z,又∵-φ0,∴φ=-.[答案] 1C 2-解决三角函数图象问题的策略1已知函数y=Asinωx+φA0,ω0的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.2在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换,变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.[对点训练]1.[原创题]将函数fx=sinωx+φ图象上每一点的横坐标先伸长为原来的2倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度得到y=sinx的图象,则函数fx的单调递增区间为 A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z[解析] 解法一将函数fx=sinωx+φ图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变,则函数变为y=sin,再向左平移个单位长度得到的函数为y=sin=sin=sinx,又ω0,所以又-≤φ,所以ω=2,φ=-,所以fx=sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故选C.解法二将y=sinx的图象向右平移个单位长度得到的函数为y=sin,将函数y=sin的图象上每一点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变,则函数变为y=sin=fx,由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故选C.[答案] C2.2018·湖北七市州3月联考函数fx=Asinωx+φ的部分图象如图所示,若x1,x2∈,x1≠x2且fx1=fx2,则fx1+x2= A.1B.C.D.[解析] 由题图知A=1,函数fx的最小正周期T=2=π,所以=π,即ω=2,所以fx=sin2x+φ,又因为点在图象的上升段上,所以-+φ=2kπk∈Z,所以φ=2kπ+k∈Z,又|φ|,所以φ=,故fx=sin,可知在上,函数fx的图象关于x=对称,因为x1,x2∈,fx1=fx2,所以x1+x2=,所以fx1+x2=f=sin=.故选D.[答案] D考点三 三角函数的性质1.三角函数的单调区间y=sinx的单调递增区间是k∈Z,单调递减区间是k∈Z;y=cosx的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ]k∈Z,单调递减区间是[2kπ,2kπ+π]k∈Z;y=tanx的递增区间是k∈Z.2.三角函数的奇偶性与对称性y=Asinωx+φ,当φ=kπk∈Z时为奇函数;当φ=kπ+k∈Z时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+k∈Z求得.y=Acosωx+φ,当φ=kπ+k∈Z时为奇函数;当φ=kπk∈Z时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπk∈Z求得.y=Atanωx+φ,当φ=kπk∈Z时为奇函数.角度1研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性[解析] ∵fx的最小正周期为π,∴=π,ω=2,∴fx的图象向右平移个单位后得到gx=sin=sin的图象,又gx的图象关于原点对称,∴-+φ=kπ,k∈Z,φ=+kπ,k∈Z,又|φ|,∴,∴k=-1,φ=-,∴fx=sin,当x=时,2x-=-,∴A、C错误,当x=时,2x-=,∴B正确,D错误.[答案] B[探究追问] 在本例中条件不变,若将“图象关于原点对称”改为“图象关于y轴对称”,则fx的图象对称性是怎样的?[解析] gx的图象关于y轴对称,则-+φ=+kπ,k∈Z,可求φ=,∴fx=sin,2x+=kπ,k∈Z,可得x=-,k∈Z,令k=1,则x=,故选D.[答案] D角度2求三角函数的单调区间及最值[解] 1fx=2cosωx·sinωx+sin2ωx-cos2ωx=sin2ωx-cos2ωx=2sin.由fx图象的一个对称中心,到最近的对称轴的距离为,知·=,即ω=
1.所以fx=2sin,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z.解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以fx的单调递增区间为k∈Z.2因为0≤x≤,所以-≤2x-≤,所以-≤sin≤1,所以-1≤fx≤
2.即函数fx的值域为[-12].三角函数性质问题的解题策略1讨论三角函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与对称性,都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个角的一种三角函数.2求函数y=Asinωx+φA0,ω0的单调区间,是将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数增区间或减区间,求出的区间即为y=Asinωx+φ的增区间或减区间,但是当A0,ω0时,需先利用诱导公式变形为y=-Asin-ωx-φ,则y=-Asin-ωx-φ的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间.3求函数y=Asinωx+φA0,ω0在某一区间的最值时,将ωx+φ视为整体,借助正弦函数的图象和性质求解.[对点训练]1.[角度1]2018·内蒙古赤峰二中三模已知函数fx=2sin-1,则下列结论中错误的是 A.fx的最小正周期为πB.fx的图象关于直线x=对称C.fx在区间上是增函数D.函数fx的图象可由gx=2sin2x-1的图象向右平移个单位长度得到[解析] 对于函数fx=2sin-1,由于它的最小正周期为π,故A项正确;当x=时,fx=2sin-1=1,函数取得最大值,故fx的图象关于直线x=对称,故B项正确;当x在区间上时,2x-∈,故fx在区间上是增函数,故C项正确;由于把gx=2sin2x-1的图象向右平移个单位长度得到y=2sin2-1=2sin-1的图象,故D项错误.故选D.[答案] D2.[角度2]2018·河南濮阳一模先将函数fx=sinx的图象上的各点向左平移个单位,再将各点的横坐标变为原来的其中ω∈N*,得到函数gx的图象,若gx在区间上单调递增,则ω的最大值为________.[解析] 由题意易知gx=sin在区间上单调递增,所以有k∈Z,即12k-4≤ω≤8k+,k∈Z.由12k-4≤8k+可得k≤,当k=1时,ω∈,所以正整数ω的最大值为
9.[答案] 91.2018·天津卷将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数 A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减[解析] 将y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin=sin2x,令2kπ-≤2x≤2kπ+k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+k∈Z.所以y=sin2x的递增区间为k∈Z,当k=1时,y=sin2x在上单调递增,故选A.[答案] A2.2018·全国卷Ⅱ若fx=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是 A.B.C.D.π[解析] fx=cosx-sinx=cos,由题意得a0,故-a+,因为fx=cos在[-a,a]是减函数,所以解得0a≤,所以a的最大值是,故选A.[答案] A3.2017·全国卷Ⅲ设函数fx=cos,则下列结论错误的是 A.fx的一个周期为-2πB.y=fx的图象关于直线x=对称C.fx+π的一个零点为x=D.fx在单调递减[解析] fx的最小正周期为2π,易知A正确;f=cos=cos3π=-1,为fx的最小值,故B正确;∵fx+π=cos=-cos,∴f=-cos=-cos=0,故C正确;由于f=cos=cosπ=-1,为fx的最小值,故fx在上不单调,故D错误.[答案] D4.2017·山东卷设函数fx=sin+sin,其中0ω
3.已知f=
0.1求ω;2将函数y=fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变,再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=gx的图象,求gx在上的最小值.[解] 1因为fx=sin+sin,所以fx=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx==sin.由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0ω3,所以ω=
2.2由1得fx=sin,所以gx=sin=sin.因为x∈,所以x-∈,当x-=-,即x=-时,gx取得最小值-.高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查,难度为中等偏下,大多出现在6~12或第14~15题位置上,命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,并常与三角恒等变换交汇命题.热点课题7 函数y=Asinωx+φ的图象和性质的综合应用[感悟体验]1.2018·西安三模若将函数fx=2sin的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 A.B.C.D.-[解析] 将函数fx=2sin的图象向右平移φ个单位长度后得到函数y=2sin的图象.因为所得图象关于y轴对称,所以-2φ=+kπk∈Z,所以φ=--k∈Z.当k=-1时,φ=.故选A.[答案] A2.2018·湖南湘中高三联考已知函数fx=sin2x+φ,其中φ为实数,若fx≤对x∈R恒成立,且ffπ,则fx的单调递增区间是 A.k∈ZB.k∈ZC.k∈ZD.k∈Z[解析] 因为fx≤对x∈R恒成立,即==1,所以φ=kπ+k∈Z.因为ffπ,所以sinπ+φsin2π+φ,即sinφ0,所以φ=-π+2kπk∈Z,所以fx=sin,所以由三角函数的单调性知2x-∈k∈Z,得x∈k∈Z,故选C.[答案] C专题跟踪训练
十四一、选择题1.若sin=-,且α∈,则sinπ-2α= A.B.C.-D.-[解析] 由sin=cosα=-,且α∈,得sinα=,所以sinπ-2α=sin2α=2sinαcosα=-,故选D.[答案] D2.2018·福州质量检测若将函数y=3cos的图象向右平移个单位长度,则平移后图象的一个对称中心是 A.B.C.D.[解析] 将函数y=3cos的图象向右平移个单位长度,得y=3cos=3cos的图象,由2x+=kπ+k∈Z,得x=+k∈Z,当k=0时,x=,所以平移后图象的一个对称中心是,故选A.[答案] A3.2018·安徽江南十校联考已知tanα=-,则sinα·sinα-cosα= A.B.C.D.[解析] sinα·sinα-cosα=sin2α-sinα·cosα==,将tanα=-代入,得原式==,故选A.[答案] A4.2018·太原模拟试题已知函数fx=sinωx-cosωxω0在0,π上有且只有两个零点,则实数ω的取值范围为 A.B.C.D.[解析] fx=2sin,设t=ωx-,因为0xπ,所以-tωπ-,因为函数fx在0,π上有且仅有两个零点,所以πωπ-≤2π,解得ω≤,故选B.[答案] B5.2018·武汉综合测试如图是函数y=Asinωx+φ在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将函数y=sinxx∈R的图象上所有的点 A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变[解析] 由图象可知,A=1,最小正周期T=π,所以ω=
2.将点代入y=sin2x+φ可得φ=,所以y=sin,故只需将y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的即可.故选D.[答案] D6.2018·太原质检已知函数fx=sinωx+φ,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且函数f是偶函数,下列判断正确的是 A.函数fx的最小正周期为2πB.函数fx的图象关于点对称C.函数fx的图象关于直线x=-对称D.函数fx在上单调递增[解析] 由题意得函数fx=sinωx+φ的最小正周期为2×=π,所以=π,解得ω=
2.因为函数f是偶函数,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,因为|φ|,所以φ=,fx=sin.函数fx的最小正周期为π,A错误;因为f=sin=-1≠0,所以B错误;因为f=sin=-≠±1,所以C错误;由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即函数fx的单调递增区间为,k∈Z,令k=1得函数fx的一个单调递增区间为,因为⊆,所以D正确.综上所述,故选D.[答案] D
二、填空题7.2018·河北沧州模拟已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线2x-y=0上,则=________.[解析] 设点Pa2aa≠0为角θ终边上任意一点,根据三角函数的定义有tanθ==2,再根据诱导公式,得===
2.[答案] 28.2018·河北石家庄一模若函数fx=sin2x+θ+cos2x+θ0θπ的图象关于点对称,则函数fx在上的最小值为________.[解析] fx=sin2x+θ+cos2x+θ=2sin,则由题意,知f=2sin=0,又因为0θπ,所以π+θ+,所以π+θ+=2π,所以θ=,所以fx=-2sin2x,又因为函数fx在上是减函数,所以函数fx在上的最小值为f=-2sin=-.[答案] -9.已知函数fx=sinωx-cosωx+mω0,x∈R,m是常数图象上的一个最高点为,且与点距离最近的一个最低点是,则函数fx的解析式为__________________.[解析] fx=sinωx-cosωx+m=2sin+m,因为点和点分别是函数fx图象上的最高点和最低点,且它们是相邻的,所以==-=,且m=,所以ω=2,m=-
1.所以函数fx的解析式为fx=2sin-
1.[答案] fx=2sin-1
三、解答题10.2018·北京西城二模已知函数fx=tan.1求函数fx的定义域;2设β∈0,π,且fβ=2cos,求β的值.[解] 1由x+≠kπ+,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z.所以函数fx的定义域是.2依题意,得tan=2cos.所以=2sin.整理得sin·=0,所以sin=0或cos=.因为β∈0,π,所以β+∈.由sin=0,得β+=π,即β=;由cos=,即β+=,即β=.所以β=或β=.11.2018·云南曲靖一中模拟已知函数fx=2cosxsin+sin2x+sinxcosx.1求函数fx的最小正周期.2若fx-m=0在恰有一实数根,求m的取值范围.[解] 1函数fx=2cosxsin+sin2x+sinxcosx=2cosx+sin2x+sinxcosx=2cosx·+sin2x+sinxcosx=2sinxcosx-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x=2sin.故函数fx的最小正周期为=π.2在x∈时,fx=2sin的图象如下.∵f0=2sin=-,f=2sin=0,∴当方程fx-m=0在恰有一实数根时,m的取值范围为[-,0∪{2}.12.[原创题]已知函数fx=sin2π-x·sin-cos2x+.1求fx的最小正周期和图象的对称轴方程;2当x∈时,求fx的最小值和最大值.[解] 1由题意,得fx=-sinx-cosx-cos2x+=sinxcosx-cos2x+=sin2x-cos2x+1+=sin2x-cos2x+=sin+,所以fx的最小正周期T==π;令2x-=kπ+k∈Z,则x=+k∈Z,故所求图象的对称轴方程为x=+k∈Z.2当0≤x≤时,-≤2x-≤.由函数图象图略可知,-≤sin≤1,即0≤sin+≤.故fx的最小值为0,最大值为.。