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第一课时 三角函数的定义与公式一预习课本P11~15,思考并完成以下问题1任意角的三角函数的定义是什么?2三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关?3如何求三角函数的定义域?4如何判断三角函数值在各象限内的符号?5诱导公式一是什么?1.任意角的三角函数的定义前提如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y定义正弦y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y余弦x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x正切叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x≠0三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数[点睛] 三角函数也是函数,都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标坐标的比值为函数值的函数;三角函数值只与角α的大小有关,即由角α的终边位置决定.2.三角函数值的符号如图所示正弦一二象限正,三四象限负;余弦一四象限正,二三象限负;正切一三象限正,二四象限负.简记口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等.[点睛] 诱导公式一的实质是终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等.1.判断下列命题是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”1若α=β+720°,则cosα=cosβ. 2若sinα=sinβ,则α=β. 3已知α是三角形的内角,则必有sinα
0. 答案1√ 2× 3√2.若sinα0,tanα0,则α在 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C3.已知角α的终边与单位圆的交点P,则sinα+cosα= A.B.-C.D.-答案B4.sin=________,cos=________.答案 -三角函数的定义及应用[典例] 设a0,角α的终边与单位圆的交点为P-3a4a,那么sinα+2cosα的值等于 A. B.-C.D.-[解析] ∵点P在单位圆上,则|OP|=
1.即=1,解得a=±.∵a0,∴a=-.∴P点的坐标为.∴sinα=-,cosα=.∴sinα+2cosα=-+2×=.[答案] A利用三角函数的定义求值的策略1已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种法一先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.法二在α的终边上任选一点Px,y,P到原点的距离为rr0.则sinα=,cosα=.已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便.2当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.[活学活用]1.如果α的终边过点P2sin30°,-2cos30°,那么sinα的值等于 A.B.-C.-D.-解析选C 由题意知P1,-,所以r==2,所以sinα=-.2.已知角α的终边过点P12,a,且tanα=,求sinα+cosα的值.解根据三角函数的定义,tanα==,∴a=5,∴P125.这时r=13,∴sinα=,cosα=,从而sinα+cosα=.三角函数值符号的运用[典例] 1若角θ同时满足sinθ0且tanθ0,则角θ的终边一定位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2设α是第三象限角,且=-cos,则所在象限是 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析] 1由sinθ0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合.由tanθ0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.2∵α是第三象限角,∴2kπ+πα2kπ+,k∈Z.∴kπ+kπ+.∴在第
二、四象限.又∵=-cos,∴cos
0.∴在第二象限.[答案] 1D 2B对于已知角α,判断α的相应三角函数值的符号问题,常依据三角函数的定义,或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.[活学活用]1.设△ABC的三个内角为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是 A.tanA与cosBB.cosB与sinCC.sinC与tanAD.tan与sinC解析选D ∵0<A<π,∴0<<,∴tan>0;又∵0<C<π,∴sinC>
0.2.若角α是第二象限角,则点Psinα,cosα在第________象限.解析∵α为第二象限角,∴sinα>0,cosα<
0.∴Psinα,cosα位于第四象限.答案四诱导公式一的应用[典例] 计算下列各式的值1sin-1395°cos1110°+cos-1020°sin750°;2sin+cos·tan4π.[解] 1原式=sin-4×360°+45°cos3×360°+30°+cos-3×360°+60°sin2×360°+30°=sin45°cos30°+cos60°sin30°=×+×=+=.2原式=sin+cos·tan4π+0=sin+cos×0=.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用]求下列各式的值1sin+tan;2sin810°+cos360°-tan1125°.解1sin+tan=sin+tan=sin+tan=+
1.2sin810°+cos360°-tan1125°=sin2×360°+90°+cos360°+0°-tan3×360°+45°=sin90°+cos0°-tan45°=1+1-1=
1.层级一 学业水平达标1.若α=,则α的终边与单位圆的交点P的坐标是 A. B.C.D.解析选B 设Px,y,∵角α=在第二象限,∴x=-,y==,∴P.2.若角α的终边上一点的坐标为1,-1,则cosα为 A.1B.-1C.D.-解析选C ∵角α的终边上一点的坐标为1,-1,它与原点的距离r==,∴cosα===.3.若三角形的两内角α,β满足sinαcosβ0,则此三角形必为 A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都可能解析选B ∵sinαcosβ0,α,β∈0,π,∴sinα0,cosβ0,∴β为钝角.4.代数式sin120°cos210°的值为 A.-B.C.-D.解析选A 利用三角函数定义易得sin120°=,cos210°=-,∴sin120°cos210°=×=-,故选A.5.若角α的终边在直线y=-2x上,则sinα等于 A.±B.±C.±D.±解析选C 在α的终边上任取一点-12,则r==,所以sinα===.或者取P1,-2,则r==,所以sinα==-=-.6.tan=________.解析tan=tan=tan=.答案7.已知角α的终边过点P5,a,且tanα=-,则sinα+cosα=________.解析∵tanα==-,∴a=-
12.∴r==
13.∴sinα=-,cosα=.∴sinα+cosα=-.答案-8.若角α的终边落在直线x+y=0上,则+=________.解析当α在第二象限时,+=-+=0;当α在第四象限时,+=-=
0.综上,+=
0.答案09.求下列三角函数值1cos-1050°;2tan;3sin.解1∵-1050°=-3×360°+30°,∴cos-1050°=cos-3×360°+30°=cos30°=.2∵=3×2π+,∴tan=tan=tan=.3∵-=-4×2π+,∴sin=sin=sin=.10.已知点M是圆x2+y2=1上的点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-,求cosα和tanα的值.解设点M的坐标为x1,y1.由题意,可知sinα=-,即y1=-.∵点M在圆x2+y2=1上,∴x+y=1,即x+2=1,解得x1=或x2=-.∴cosα=或cosα=-,∴tanα=-1或tanα=
1.层级二 应试能力达标1.已知角α的终边经过点3a-9,a+2,且cosα≤0,sinα0,则实数a的取值范围是 A.-23] B.-23C.[-23D.[-23]解析选A 由cosα≤0,sinα0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上,所以有即-2a≤
3.2.给出下列函数值
①sin-1000°;
②cos;
③tan2,其中符号为负的个数为 A.0B.1C.2D.3解析选B ∵-1000°=-3×360°+80°,∴-1000°是第一象限角,则sin-1000°0;∵-是第四象限角,∴cos0;∵2rad=2×57°18′=114°36′是第二象限角,∴tan
20.故选B.3.若tanx0,且sinx-cosx0,则角x的终边在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析选D ∵tanx0,∴角x的终边在第
二、四象限,又sinx-cosx0,∴角x的终边在第四象限.4.已知角α的终边经过点Pm,-6,且cosα=-,则m= A.8B.-8C.4D.-4解析选B 由题意r=|OP|==,故cosα==-,解得m=-
8.5.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P4,y是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=________.解析|OP|=.根据任意角三角函数的定义得,=-,解得y=±
8.又∵sinθ=-<0及P4,y是角θ终边上一点,可知θ为第四象限角,∴y=-
8.答案-86.tan405°-sin450°+cos750°=________.解析原式=tan360°+45°-sin360°+90°+cos2×360°+30°=tan45°-sin90°+cos30°=1-1+=.答案7.判断下列各式的符号1sin340°cos265°;2sin4tan.解1∵340°是第四象限角,265°是第三象限角,∴sin340°0,cos265°0,∴sin340°cos265°
0.2∵π4,∴4是第三象限角,∵-=-6π+,∴-是第一象限角.∴sin40,tan0,∴sin4tan
0.8.已知=-,且lgcosα有意义.1试判断角α所在的象限.2若角α的终边上一点是M,且|OM|=1O为坐标原点,求m的值及sinα的值.解1由=-,所以sinα0,由lgcosα有意义,可知cosα0,所以α是第四象限角.2因为|OM|=1,所以2+m2=1,得m=±.又α为第四象限角,故m0,从而m=-,sinα====-.。