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2.1 曲线与方程学习目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.
2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.
3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.
4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．知识点一 曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中，如果某曲线C看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹上的点与一个二元方程fx，y＝0的实数解建立了如下的关系1曲线上点的坐标都是这个方程的解；2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．知识点二 坐标法思想及求曲线方程的步骤思考 曲线C上的点的坐标都是方程fx，y＝0的解，能否说fx，y＝0是曲线C的方程？试举例说明．答案 不能．还要验证以方程fx，y＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝
4.梳理 1曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程fx，y＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件
①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件
②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．2曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对x，y建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．3求曲线的方程的步骤如果曲线l上的点的坐标满足方程Fx，y＝0，则1曲线l的方程是Fx，y＝
0.×2方程Fx，y＝0的曲线是l.×3坐标不满足方程Fx，y＝0的点不在曲线l上．√4坐标满足方程Fx，y＝0的点在曲线l上．×类型一 曲线的方程与方程的曲线解读例1 1设方程fx，y＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程fx，y＝0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是 A．坐标满足fx，y＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标不满足fx，y＝0C．坐标满足fx，y＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足fx，y＝02“以方程fx，y＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是fx，y＝0”的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 1D 2B解析 1命题“坐标满足方程fx，y＝0的点都在曲线C上”为假命题，则命题“坐标满足方程fx，y＝0的点不都在曲线C上”是真命题．故选D.2由曲线C的方程是fx，y＝0，得以方程fx，y＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.反思与感悟 1曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性．2以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系1过点A20平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；2与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；3第
二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 1过点A20平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在过点A20且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A20平行于y轴的直线的方程．2与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于
5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝
5.3第
二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第
二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第
二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝
0.类型二 曲线与方程的应用例2 已知方程x2＋y－12＝
10.1判断点P1，－2，Q，3是否在上述方程表示的曲线上；2若点M在上述方程表示的曲线上，求m的值．考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 1∵12＋－2－12＝10，2＋3－12＝6≠10，∴点P1，－2在方程x2＋y－12＝10表示的曲线上，点Q，3不在方程x2＋y－12＝10表示的曲线上．2∵点M在方程x2＋y－12＝10表示的曲线上，∴2＋－m－12＝10，解得m＝2或m＝－.引申探究本例中曲线方程不变，若点Na2在圆外，求实数a的取值范围．解 结合点与圆的位置关系，得a2＋2－12＞10，即a2＞9，解得a＜－3或a＞3，故所求实数a的取值范围为－∞，－3∪3，＋∞．反思与感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练2 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点a，－aa∈R，求k的取值范围．考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点a，－a，∴a2＋a2＋2a＋k＝0，∴k＝－2a2－2a＝－22＋，∴k≤，∴k的取值范围是.类型三 求曲线的方程命题角度1 直接法求曲线的方程例3 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A20的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设Px，y，则|8－x|＝2|PA|，则|8－x|＝2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝
48.引申探究若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程．解 设Px，y，则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，又|PA|＝，故|y－8|＝2，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝
0.故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝
0.反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法1关键
①建立恰当的平面直角坐标系；
②找出所求动点满足的几何条件．2方法求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．特别提醒直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练3 已知两点M－10，N10，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设点Px，y，由M－10，N10，得＝－＝－1－x，－y，＝－＝1－x，－y，＝－＝20．∴·＝2x＋1，·＝x2＋y2－1，·＝21－x．于是，·，·，·成公差小于零的等差数列等价于即∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3x0．命题角度2 相关点法求曲线的方程例4 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B30连线的中点为P，求P点的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 相关点法求曲线方程解 设Px，y，Mx0，y0，因为P为MB的中点，所以即又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1，所以2x－32＋4y2＝
1.所以点P的轨迹方程为2x－32＋4y2＝
1.反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤1设动点Px，y，相关动点Mx0，y0．2利用条件求出两动点坐标之间的关系3代入相关动点的轨迹方程．4化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练4 已知圆C x2＋y－32＝
9.过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 相关点法求曲线方程解 设Px1，y1，Qx，y，由题意，得即又因为点P在圆C上，所以x＋y1－32＝9，所以4x2＋42＝9，即x2＋2＝x≠
0.1．若命题“曲线C上点的坐标都是方程fx，y＝0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是 A．方程fx，y＝0所表示的曲线是曲线CB．方程fx，y＝0所表示的曲线不一定是曲线CC．fx，y＝0是曲线C的方程D．以方程fx，y＝0的解为坐标的点都在曲线C上考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 B解析 “曲线C上点的坐标都是方程fx，y＝0的解”，但以方程fx，y＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题．2．已知直线l x＋y－3＝0及曲线C x－32＋y－22＝2，则点M21 A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 B解析 将M21代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，2－32＋1－22＝2，所以点M既在直线l上又在曲线C上，故选B.3．等腰三角形底边的两个顶点分别是B21，C0，－3，则另一个顶点A的轨迹方程是 A．x－2y＋1＝0x≠0B．y＝2x－1C．x＋2y＋1＝0y≠1D．x＋2y＋1＝0x≠1考点 求曲线的方程的方法题点 直接法求曲线方程答案 D解析 设Ax，y，依题意，知|AB|＝|AC|，所以＝，化简得x＋2y＋1＝
0.又因为A，B，C三点不能共线，所以x≠1，故选D.4．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________．考点 求曲线的方程的方法题点 几何法求曲线方程答案 4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0解析 设该点坐标为x，y，则＝1，即|4x＋3y－5|＝5，∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝
0.5．M为直线l2x－y＋3＝0上的一动点，A42为一定点，又点P在直线AM上运动，且＝3，求动点P的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程解 设点M，P的坐标分别为Mx0，y0，Px，y，由题设及向量共线条件可得所以因为点Mx0，y0在直线2x－y＋3＝0上，所以2×－＋3＝0，即8x－4y＋3＝0，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝
0.1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
一、选择题1．方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线是 A．一条直线B．一个正方形C．一个圆D．四条直线考点 曲线和方程的概念题点 由方程研究曲线的对称性答案 D解析 由|x|＋|y|＝|xy|＋1，得|x|－1|y|－1＝0，即x＝±1或y＝±1，因此该方程表示四条直线．2．已知0≤α2π，点Pcosα，sinα在曲线x－22＋y2＝3上，则α的值为 A.B.πC.或D.或考点 曲线和方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 C解析 由cosα－22＋sin2α＝3，得cosα＝.又因为0≤α2π，所以α＝或α＝π.3．方程|x|－|y|＝0表示的图形是下图中的 考点 曲线和方程的概念题点 由方程研究曲线的对称性答案 C解析 由|x|－|y|＝0知，y＝±x，即表示
一、三象限角平分线或
二、四象限角平分线．4．已知两定点A－20，B10，若动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的面积为 A．9πB．8πC．4πD．π考点 曲线与方程的意义题点 曲线与方程的综合应用答案 C解析 设Px，y，∵|PA|＝2|PB|，∴x＋22＋y2＝4x－12＋4y2，∴x－22＋y2＝4，∴点P的轨迹为以20为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S＝π·22＝4π.5．在平面直角坐标系中，动点Px，y到两条坐标轴的距离之和等于它到点11的距离，记点P的轨迹为曲线W，则有下列命题
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于x轴对称；
③曲线W关于y轴对称；
④曲线W关于直线y＝x对称．其中真命题的个数是 A．1B．2C．3D．4考点 曲线与方程的意义题点 曲线与方程的综合应用答案 A6．过三点A13，B42，C1，－7的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于 A．2B．8C．4D．10考点 求曲线方程的方法题点 几何法求曲线方程答案 C解析 由已知，得＝3，－1，＝－3，－9，则·＝3×－3＋－1×－9＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为x－12＋y＋22＝25，令x＝0得y＋22＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，故选C.7．已知两点A，0，B－，0，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为 A．x2＋y2＝2B．y2－x2＝2C．x2－2y2＝1D．2x2－y2＝1考点 求曲线方程的方法题点 定义法求曲线方程答案 B解析 设动点P的坐标为x，y，则点Q的坐标为0，y，＝－x0，＝－x，－y，＝－－x，－y，·＝x2－2＋y
2.由·＝22，得x2－2＋y2＝2x2，所以所求动点P的轨迹方程为y2－x2＝
2.
二、填空题8．方程x－12＋＝0表示的是____________．考点 讨论方程的曲线类型题点 其他类型的曲线与方程答案 点12解析 由x－12＋＝0，知x－12＝0且＝0，即x＝1且y＝2，所以x－12＋＝0表示的是点12．9．已知点F10，直线l x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程是________．考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程答案 y2＝4xx≥0解析 设点Px，y，则Q－1，y．由·＝·，得x＋10·2，－y＝x－1，y·－2，y，所以2x＋1＝－2x－1＋y2，化简得y2＝4xx≥0．10．若点A11，B2，m都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲线上，则m＝________.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 －1解析 ∵A11，B2，m都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲线上，∴∴11．点A1，－2在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 5解析 由题意可知点1，－2是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝
5.
三、解答题12．已知A－30，B，C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满足⊥，＝，试求动点P的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设Px，y，B0，y′，Cx′，0，则＝x′，－y′，＝x，y－y′，由＝，得x′，－y′＝x，y－y′，即x′＝，y′＝－y，∴B0，－y，又A－30，∴＝3，－y，＝x2y，由⊥，得·＝0，∴3x－2y2＝0，即动点P的轨迹方程为y2＝x.13．过点P24作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程解 如图所示，设点Aa0，B0，b，Mx，y．因为M为线段AB的中点，所以a＝2x，b＝2y，即A2x0，B02y．因为l1⊥l2，所以kAP·kPB＝－
1.而kAP＝x≠1，kPB＝，所以·＝－1x≠1，整理，得x＋2y－5＝0x≠1．因为当x＝1时，A，B的坐标分别为20，04，所以线段AB的中点坐标是12，它满足方程x＋2y－5＝
0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝
0.
四、探究与拓展14．方程＋＝1表示的图形是 A．一条直线B．两条平行线段C．一个正方形D．一个正方形除去四个顶点考点 讨论方程的曲线类型题点 其他类型的曲线与方程答案 D解析 由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x≠0，y≠
0.当x＞0，y＞0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段去掉两端点，因此原方程表示的图形是一个正方形除去四个顶点，故选D.15．已知直角坐标平面上点Q20和圆O x2＋y2＝1，M为直角坐标平面内一动点，过点M作圆O的切线，切点为N，若|MN|与|MQ|的比值等于常数λλ＞0，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 连接ON，OM，易知ON⊥MN，设Mx，y．∵圆O的半径是1，∴|MN|2＝|OM|2－|ON|2＝|OM|2－
1.由题意，＝λ，∴|MN|＝λ|MQ|，即＝λ，整理得λ2－1x2＋y2－4λ2x＋1＋4λ2＝
0.∵λ＞0，∴当λ＝1时，方程化为x＝，该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为2＋y2＝，该方程表示以为圆心，以为半径的圆．。
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