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文本内容:
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2.1 曲线与方程学习目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.
2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.
3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.
4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法.知识点一 曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中,如果某曲线C看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹上的点与一个二元方程fx,y=0的实数解建立了如下的关系1曲线上点的坐标都是这个方程的解;2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.知识点二 坐标法思想及求曲线方程的步骤思考 曲线C上的点的坐标都是方程fx,y=0的解,能否说fx,y=0是曲线C的方程?试举例说明.答案 不能.还要验证以方程fx,y=0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心,以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2+y2=4”,曲线上的点都满足方程,但曲线的方程不是x2+y2=
4.梳理 1曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念,是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程fx,y=0的解集之间是一一对应的关系,曲线的性质可以反映在它的方程上,方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件
①说明曲线上的所有点都适合这个方程;条件
②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.2曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系,通过曲线上的点与实数对x,y建立了一一对应关系,使方程成为曲线的代数表示,通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.3求曲线的方程的步骤如果曲线l上的点的坐标满足方程Fx,y=0,则1曲线l的方程是Fx,y=
0.×2方程Fx,y=0的曲线是l.×3坐标不满足方程Fx,y=0的点不在曲线l上.√4坐标满足方程Fx,y=0的点在曲线l上.×类型一 曲线的方程与方程的曲线解读例1 1设方程fx,y=0的解集非空,若命题“坐标满足方程fx,y=0的点都在曲线C上”是假命题,则下列命题为真命题的是 A.坐标满足fx,y=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标不满足fx,y=0C.坐标满足fx,y=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足fx,y=02“以方程fx,y=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是fx,y=0”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 1D 2B解析 1命题“坐标满足方程fx,y=0的点都在曲线C上”为假命题,则命题“坐标满足方程fx,y=0的点不都在曲线C上”是真命题.故选D.2由曲线C的方程是fx,y=0,得以方程fx,y=0的解为坐标的点都是曲线C上的点,但反过来不成立,故选B.反思与感悟 1曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性.2以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系1过点A20平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系;2与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系;3第
二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 1过点A20平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2的解,但以方程|x|=2的解为坐标的点不都在过点A20且平行于y轴的直线上.因此,|x|=2不是过点A20平行于y轴的直线的方程.2与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5,但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于
5.因此,与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=
5.3第
二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x+y=0;反之,以方程x+y=0的解为坐标的点都在第
二、四象限两坐标轴夹角的平分线上.因此,第
二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=
0.类型二 曲线与方程的应用例2 已知方程x2+y-12=
10.1判断点P1,-2,Q,3是否在上述方程表示的曲线上;2若点M在上述方程表示的曲线上,求m的值.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 1∵12+-2-12=10,2+3-12=6≠10,∴点P1,-2在方程x2+y-12=10表示的曲线上,点Q,3不在方程x2+y-12=10表示的曲线上.2∵点M在方程x2+y-12=10表示的曲线上,∴2+-m-12=10,解得m=2或m=-.引申探究本例中曲线方程不变,若点Na2在圆外,求实数a的取值范围.解 结合点与圆的位置关系,得a2+2-12>10,即a2>9,解得a<-3或a>3,故所求实数a的取值范围为-∞,-3∪3,+∞.反思与感悟 判断曲线与方程关系的问题时,可以利用曲线与方程的定义,也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练2 若曲线y2-xy+2x+k=0过点a,-aa∈R,求k的取值范围.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 ∵曲线y2-xy+2x+k=0过点a,-a,∴a2+a2+2a+k=0,∴k=-2a2-2a=-22+,∴k≤,∴k的取值范围是.类型三 求曲线的方程命题角度1 直接法求曲线的方程例3 一个动点P到直线x=8的距离是它到点A20的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设Px,y,则|8-x|=2|PA|,则|8-x|=2,化简,得3x2+4y2=48,故动点P的轨迹方程为3x2+4y2=
48.引申探究若本例中的直线改为“y=8”,求动点P的轨迹方程.解 设Px,y,则P到直线y=8的距离d=|y-8|,又|PA|=,故|y-8|=2,化简,得4x2+3y2-16x+16y-48=
0.故动点P的轨迹方程为4x2+3y2-16x+16y-48=
0.反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法1关键
①建立恰当的平面直角坐标系;
②找出所求动点满足的几何条件.2方法求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求解时可简化为三大步骤建系、设点;根据动点满足的几何条件列方程;对所求的方程化简、说明.特别提醒直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练3 已知两点M-10,N10,且点P使·,·,·成公差小于零的等差数列,求点P的轨迹方程.考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设点Px,y,由M-10,N10,得=-=-1-x,-y,=-=1-x,-y,=-=20.∴·=2x+1,·=x2+y2-1,·=21-x.于是,·,·,·成公差小于零的等差数列等价于即∴点P的轨迹方程为x2+y2=3x0.命题角度2 相关点法求曲线的方程例4 动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B30连线的中点为P,求P点的轨迹方程.考点 求曲线方程的方法题点 相关点法求曲线方程解 设Px,y,Mx0,y0,因为P为MB的中点,所以即又因为M在曲线x2+y2=1上,所以x+y=1,所以2x-32+4y2=
1.所以点P的轨迹方程为2x-32+4y2=
1.反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤1设动点Px,y,相关动点Mx0,y0.2利用条件求出两动点坐标之间的关系3代入相关动点的轨迹方程.4化简、整理,得所求轨迹方程.跟踪训练4 已知圆C x2+y-32=
9.过原点作圆C的弦OP,求OP的中点Q的轨迹方程.考点 求曲线方程的方法题点 相关点法求曲线方程解 设Px1,y1,Qx,y,由题意,得即又因为点P在圆C上,所以x+y1-32=9,所以4x2+42=9,即x2+2=x≠
0.1.若命题“曲线C上点的坐标都是方程fx,y=0的解”是真命题,则下列命题为真命题的是 A.方程fx,y=0所表示的曲线是曲线CB.方程fx,y=0所表示的曲线不一定是曲线CC.fx,y=0是曲线C的方程D.以方程fx,y=0的解为坐标的点都在曲线C上考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 B解析 “曲线C上点的坐标都是方程fx,y=0的解”,但以方程fx,y=0的解为坐标的点不一定在曲线C上,故A,C,D都为假命题,B为真命题.2.已知直线l x+y-3=0及曲线C x-32+y-22=2,则点M21 A.在直线l上,但不在曲线C上B.在直线l上,也在曲线C上C.不在直线l上,也不在曲线C上D.不在直线l上,但在曲线C上考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 B解析 将M21代入直线l和曲线C的方程,由于2+1-3=0,2-32+1-22=2,所以点M既在直线l上又在曲线C上,故选B.3.等腰三角形底边的两个顶点分别是B21,C0,-3,则另一个顶点A的轨迹方程是 A.x-2y+1=0x≠0B.y=2x-1C.x+2y+1=0y≠1D.x+2y+1=0x≠1考点 求曲线的方程的方法题点 直接法求曲线方程答案 D解析 设Ax,y,依题意,知|AB|=|AC|,所以=,化简得x+2y+1=
0.又因为A,B,C三点不能共线,所以x≠1,故选D.4.到直线4x+3y-5=0的距离为1的点的轨迹方程为________________.考点 求曲线的方程的方法题点 几何法求曲线方程答案 4x+3y-10=0和4x+3y=0解析 设该点坐标为x,y,则=1,即|4x+3y-5|=5,∴所求轨迹方程为4x+3y-10=0和4x+3y=
0.5.M为直线l2x-y+3=0上的一动点,A42为一定点,又点P在直线AM上运动,且=3,求动点P的轨迹方程.考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程解 设点M,P的坐标分别为Mx0,y0,Px,y,由题设及向量共线条件可得所以因为点Mx0,y0在直线2x-y+3=0上,所以2×-+3=0,即8x-4y+3=0,从而点P的轨迹方程为8x-4y+3=
0.1.判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是不是方程的解,是否适合方程.若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合,就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或范围问题.
一、选择题1.方程|x|+|y|=|xy|+1表示的曲线是 A.一条直线B.一个正方形C.一个圆D.四条直线考点 曲线和方程的概念题点 由方程研究曲线的对称性答案 D解析 由|x|+|y|=|xy|+1,得|x|-1|y|-1=0,即x=±1或y=±1,因此该方程表示四条直线.2.已知0≤α2π,点Pcosα,sinα在曲线x-22+y2=3上,则α的值为 A.B.πC.或D.或考点 曲线和方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 C解析 由cosα-22+sin2α=3,得cosα=.又因为0≤α2π,所以α=或α=π.3.方程|x|-|y|=0表示的图形是下图中的 考点 曲线和方程的概念题点 由方程研究曲线的对称性答案 C解析 由|x|-|y|=0知,y=±x,即表示
一、三象限角平分线或
二、四象限角平分线.4.已知两定点A-20,B10,若动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的面积为 A.9πB.8πC.4πD.π考点 曲线与方程的意义题点 曲线与方程的综合应用答案 C解析 设Px,y,∵|PA|=2|PB|,∴x+22+y2=4x-12+4y2,∴x-22+y2=4,∴点P的轨迹为以20为圆心,以2为半径的圆,∴所围成的面积S=π·22=4π.5.在平面直角坐标系中,动点Px,y到两条坐标轴的距离之和等于它到点11的距离,记点P的轨迹为曲线W,则有下列命题
①曲线W关于原点对称;
②曲线W关于x轴对称;
③曲线W关于y轴对称;
④曲线W关于直线y=x对称.其中真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4考点 曲线与方程的意义题点 曲线与方程的综合应用答案 A6.过三点A13,B42,C1,-7的圆交y轴于M,N两点,则|MN|等于 A.2B.8C.4D.10考点 求曲线方程的方法题点 几何法求曲线方程答案 C解析 由已知,得=3,-1,=-3,-9,则·=3×-3+-1×-9=0,所以⊥,即AB⊥BC,故过三点A,B,C的圆以AC为直径,得其方程为x-12+y+22=25,令x=0得y+22=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,故选C.7.已知两点A,0,B-,0,点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且·=22,则动点P的轨迹方程为 A.x2+y2=2B.y2-x2=2C.x2-2y2=1D.2x2-y2=1考点 求曲线方程的方法题点 定义法求曲线方程答案 B解析 设动点P的坐标为x,y,则点Q的坐标为0,y,=-x0,=-x,-y,=--x,-y,·=x2-2+y
2.由·=22,得x2-2+y2=2x2,所以所求动点P的轨迹方程为y2-x2=
2.
二、填空题8.方程x-12+=0表示的是____________.考点 讨论方程的曲线类型题点 其他类型的曲线与方程答案 点12解析 由x-12+=0,知x-12=0且=0,即x=1且y=2,所以x-12+=0表示的是点12.9.已知点F10,直线l x=-1,P为平面上的一动点,过点P作l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程是________.考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程答案 y2=4xx≥0解析 设点Px,y,则Q-1,y.由·=·,得x+10·2,-y=x-1,y·-2,y,所以2x+1=-2x-1+y2,化简得y2=4xx≥0.10.若点A11,B2,m都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=________.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 -1解析 ∵A11,B2,m都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,∴∴11.点A1,-2在曲线x2-2xy+ay+5=0上,则a=________.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 5解析 由题意可知点1,-2是方程x2-2xy+ay+5=0的一组解,即1+4-2a+5=0,解得a=
5.
三、解答题12.已知A-30,B,C两点分别在y轴和x轴上运动,点P为BC延长线上一点,并且满足⊥,=,试求动点P的轨迹方程.考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设Px,y,B0,y′,Cx′,0,则=x′,-y′,=x,y-y′,由=,得x′,-y′=x,y-y′,即x′=,y′=-y,∴B0,-y,又A-30,∴=3,-y,=x2y,由⊥,得·=0,∴3x-2y2=0,即动点P的轨迹方程为y2=x.13.过点P24作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程解 如图所示,设点Aa0,B0,b,Mx,y.因为M为线段AB的中点,所以a=2x,b=2y,即A2x0,B02y.因为l1⊥l2,所以kAP·kPB=-
1.而kAP=x≠1,kPB=,所以·=-1x≠1,整理,得x+2y-5=0x≠1.因为当x=1时,A,B的坐标分别为20,04,所以线段AB的中点坐标是12,它满足方程x+2y-5=
0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=
0.
四、探究与拓展14.方程+=1表示的图形是 A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形除去四个顶点考点 讨论方程的曲线类型题点 其他类型的曲线与方程答案 D解析 由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x≠0,y≠
0.当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段去掉两端点,因此原方程表示的图形是一个正方形除去四个顶点,故选D.15.已知直角坐标平面上点Q20和圆O x2+y2=1,M为直角坐标平面内一动点,过点M作圆O的切线,切点为N,若|MN|与|MQ|的比值等于常数λλ>0,求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 连接ON,OM,易知ON⊥MN,设Mx,y.∵圆O的半径是1,∴|MN|2=|OM|2-|ON|2=|OM|2-
1.由题意,=λ,∴|MN|=λ|MQ|,即=λ,整理得λ2-1x2+y2-4λ2x+1+4λ2=
0.∵λ>0,∴当λ=1时,方程化为x=,该方程表示一条直线;当λ≠1时,方程化为2+y2=,该方程表示以为圆心,以为半径的圆.。