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文本内容:
2.
2.1 椭圆及其标准方程学习目标
1.理解椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程.知识点一 椭圆的定义思考 给你两个图钉,一根无弹性的细绳,一张纸板,一支铅笔,如何画出一个椭圆?答案 在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画出椭圆.梳理 1平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数大于|F1F2|的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2椭圆的定义用集合语言叙述为P={M||MF1|+|MF2|=2a2a|F1F2|}.32a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表条件结论2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a=|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a|F1F2|动点不存在,因此轨迹不存在知识点二 椭圆的标准方程思考 在椭圆的标准方程中abc一定成立吗?答案 不一定,只需ab,ac即可,b,c的大小关系不确定.梳理 1椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上+=1ab0F1-c0,F2c02c焦点在y轴上+=1ab0F10,-c,F20,c2c2椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程+=1ab0+=1ab0焦点坐标F1-c0,F2c0F10,-c,F20,ca,b,c的关系b2=a2-c23根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些,即“谁大在谁上”.如方程为+=1的椭圆,焦点在y轴上,而且可求出焦点坐标F10,-1,F201,焦距|F1F2|=
2.1已知F1-40,F240,平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.×2已知F1-40,F240,平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.×3平面内到点F1-40,F240两点的距离之和等于点M53到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆.√4平面内到点F1-40,F240距离相等的点的轨迹是椭圆.×类型一 椭圆定义的应用例1 点P-30是圆C x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹.考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用解 方程x2+y2-6x-55=0化成标准形式为x-32+y2=64,圆心为30,半径r=
8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点,所以|MC|+|MP|=r=8,根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值86=|CP|,所以动点M的轨迹是椭圆.引申探究若将本例中圆C的方程改为x2+y2-6x=0且点P-30为其外一定点,动圆M与已知圆C相外切且过P点,求动圆圆心M的轨迹方程.解 设Mx,y,由题意可知,圆C x-32+y2=9,圆心C30,半径r=
3.由|MC|=|MP|+r,故|MC|-|MP|=r=3,即-=3,整理得-=1x0.反思与感悟 椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.跟踪训练1 1下列命题是真命题的是________.将所有真命题的序号都填上
①已知定点F1-10,F210,则满足|PF1|+|PF2|=的点P的轨迹为椭圆;
②已知定点F1-20,F220,则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段;
③到定点F1-30,F230的距离相等的点的轨迹为椭圆.考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案
②解析
①2,故点P的轨迹不存在;
②因为2a=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2;
③到定点F1-3,0,F230的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线y轴.2已知一动圆M与圆C1x+32+y2=1外切,与圆C2x-32+y2=81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程.考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用解 由题意可知C1-30,r1=1,C230,r2=9,设Mx,y,半径为R,则|MC1|=1+R,|MC2|=9-R,故|MC1|+|MC2|=10,由椭圆定义知,点M的轨迹是一个以C1,C2为焦点的椭圆,且a=5,c=3,故b2=a2-c2=
16.故所求动圆圆心M的轨迹方程为+=
1.类型二 椭圆的标准方程例2 求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点P,Q的椭圆的标准方程.考点 椭圆定义及标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用解 方法一
①当椭圆焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为+=1ab0.依题意,有解得由ab0,知不合题意,故舍去;
②当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为+=1ab0.依题意,有解得所以所求椭圆的标准方程为+=
1.方法二 设椭圆的方程为mx2+ny2=1m0,n0,m≠n.则解得所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,故椭圆的标准方程为+=
1.引申探究求与椭圆+=1有相同焦点,且过点3,的椭圆方程.解 由题意可设其方程为+=1λ-9,又椭圆过点3,,将此点代入椭圆方程,得λ=11λ=-21舍去,故所求的椭圆方程为+=
1.反思与感悟 1若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2=1m≠n,m0,n0.2与椭圆+=1ab0有公共焦点的椭圆方程为+=1ab0,b2-λ,与椭圆+=1ab0有公共焦点的椭圆方程为+=1ab0,b2-λ.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.1椭圆的两个焦点坐标分别为F1-40,F240,椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10;2椭圆过点32,51;3椭圆的焦点在x轴上,且经过点20和点01.考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 1设其标准方程为+=1ab0.由题意可知2a=10,c=4,故b2=a2-c2=9,故所求椭圆的标准方程为+=
1.2设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1A0,B0,A≠B,则解得故所求椭圆的标准方程为+=
1.3设椭圆的标准方程为+=1ab0.由解得故所求椭圆的标准方程为+y2=
1.类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例3 已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于
18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.由|BC|=8可知点B-40,C40.由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=108=|BC|,因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,但点A不在x轴上.由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=
9.所以点A的轨迹方程为+=1y≠0.反思与感悟 求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法1定义法若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹如椭圆、圆等的定义,则可用定义直接求解.2直接法将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.3相关点法根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.跟踪训练3 如图,设定点A62,P是椭圆+=1上的动点,求线段AP的中点M的轨迹方程.考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 设Mx,y,Px1,y1.∵M为线段AP的中点,∴又∵+=1,∴点M的轨迹方程为+=.1.椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为 A.5B.6C.7D.8考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,|PF1|=2,结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=
8.2.已知椭圆的焦点为-10和10,点P20在椭圆上,则椭圆的方程为 A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+x2=1考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 A解析 c=1,a=×+=2,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆的方程为+=
1.3.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积=________.考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 4解析 由椭圆方程,得a=3,b=2,c=.∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2是直角三角形,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×2×4=
4.4.在椭圆+y2=1中,有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1,再次被椭圆反射后又回到F2,则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________.考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 4解析 把粒子运动轨迹表示出来,可知整个路程为4a,即
4.5.若△ABC的三边长a,b,c成等差数列,且b=6,求顶点B的轨迹方程.考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 以直线AC为x轴,AC的中点为原点,建立平面直角坐标系,设A-30,C30,Bx,y,则|BC|+|AB|=a+c=2b=2|AC|=12,∴B点的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且a′=6,c′=3,b′2=
27.故所求的轨迹方程为+=1y≠0.1.平面内到两定点F1,F2的距离之和为常数,即|MF1|+|MF2|=2a,当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹是一条线段F1F2;当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.2.所谓椭圆的标准方程,指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为坐标原点;在+=1与+=1这两个标准方程中,都有ab0的要求,如方程+=1m0,n0,m≠n就不能确定焦点在哪个轴上;分清两种形式的标准方程,可与直线截距式+=1类比,如+=1中,由于ab,所以在x轴上的“截距”更大,因而焦点在x轴上即看x2,y2分母的大小.3.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法一是通过待定系数法求解,二是通过椭圆的定义进行求解.
一、选择题1.平面内,F1,F2是两个定点,“动点M满足||+||为常数”是“M的轨迹是椭圆”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 当||+||>||时,M的轨迹才是椭圆.2.已知方程+=1表示椭圆,则k的取值范围为 A.k-3且k≠-B.-3k2且k≠-C.k2D.k-3答案 B解析 由题意,知需满足解得-3k2且k≠-.3.已知椭圆+=1的左焦点为F1,一动直线过椭圆右焦点F2且与椭圆交于点M,N,则△F1MN的周长为 A.16B.20C.32D.40考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 D解析 结合椭圆的定义,知a=10,且△F1MN的周长为4a=
40.4.已知△ABC的周长为20,且顶点B0,-4,C04,则顶点A的轨迹方程是 A.+=1x≠0B.+=1x≠0C.+=1x≠0D.+=1x≠0考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 B解析 由|AB|+|AC|=12>|BC|=8,得点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆x≠0.5.P是椭圆+=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为 A.30°B.60°C.120°D.150°考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 B解析 因为|PF1|+|PF2|=8,cos∠F1PF2===.又因为∠F1PF2∈[0,π,所以∠F1PF2=.6.已知椭圆+=1上有一点P,F1,F2是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有 A.3个B.4个C.6个D.8个考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 C解析 当∠PF1F2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P有2个;同理当∠PF2F1为直角时,这样的点P有2个;当P点为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2最大,且为直角,此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个.7.已知椭圆+=1ab0,M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是 A.圆B.椭圆C.线段D.直线考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 由题意,知|PO|=|MF2|,|PF1|=|MF1|,又|MF1|+|MF2|=2a,所以|PO|+|PF1|=a|F1O|=c,故由椭圆的定义,知P点的轨迹是椭圆.
二、填空题8.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为_______________.考点 椭圆的标准方程题点 由定义求标准方程答案 +x2=1解析 由已知2a=82c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=
1.又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为+x2=
1.9.已知中心在原点,长轴在x轴上,一焦点与短轴两端点连线互相垂直,焦点与长轴上较近顶点的距离为4-1,则此椭圆方程是____________.答案 +=1解析 由题意,得解得所以椭圆方程为+=
1.10.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点A,B在椭圆上,若=5,则点A的坐标是________.考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 0,±1解析 根据题意,设A点坐标为m,n,B点坐标为c,d.F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,其坐标分别为-,0,,0,可得=m+,n,=c-,d.∵=5,∴c=,d=.∵点A,B都在椭圆上,∴+n2=1,+2=
1.解得m=0,n=±1,故点A坐标为0,±1.11.若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为________.考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 2解析 由题意可知,O00,F10,设Pcosα,sinα,则|OP|2+|PF|2=2cos2α+sin2α+cosα-12+sin2α=2cos2α-2cosα+3=22+2,所以当cosα=时,|OP|2+|PF|2取得最小值
2.
三、解答题12.已知F1-c0,F2c0为椭圆+=1a>b>0的两个焦点,P在椭圆上,且△PF1F2的面积为b2,求cos∠F1PF2的值.考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用解 依题意可得整理得|PF1|·|PF2|=.∵△PF1F2的面积为b2,∴××sin∠F1PF2=b2,∴1+cos∠F1PF2=sin∠F1PF2,又∵sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1,∴cos∠F1PF2=cos∠F1PF2=-1舍去.13.已知椭圆+=1上一点M的纵坐标为
2.1求M的横坐标;2求过M且与+=1共焦点的椭圆的方程.考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 1把M的纵坐标代入+=1,得+=1,即x2=9,解得x=±3,即M的横坐标为3或-
3.2椭圆+=1的焦点在x轴上且c2=9-4=
5.设所求椭圆的方程为+=1a2>5,把M点坐标代入椭圆方程,得+=1,解得a2=15a2=3舍去.故所求椭圆的方程为+=
1.
四、探究与拓展14.已知椭圆+=1的两个焦点为F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是 A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 由椭圆定义,知|MF1|+|MF2|=2a=4,且已知|MF1|-|MF2|=1,所以|MF1|=,|MF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2,因此∠MF2F1=90°,即△MF1F2为直角三角形.15.如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B60,C-60,CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=
30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=|BD|+|CE|=20>
12.∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,∴G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,∴2c=|BC|=12,c=62a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故G点的轨迹方程为+=1x≠±10.设Gx′,y′,Ax,y,则有+=
1.由重心坐标公式知故A点轨迹方程为+=1,即+=1x≠±
30.。