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文本内容:
2.
3.1 双曲线及其标准方程学习目标
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.知识点一 双曲线的定义思考 若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线上的点应满足怎样的几何条件?答案 如图,曲线上的点满足条件|MF1|-|MF2|=常数;如果改变一下笔尖位置,使|MF2|-|MF1|=常数,可得到另一条曲线.梳理 1平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数小于|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距;2关于“小于|F1F2|”
①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的两条射线包括端点;
②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹不存在.3若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的一支.4若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.知识点二 双曲线的标准方程思考 双曲线中a,b,c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同?答案 双曲线标准方程中,b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中ca,cb,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中ab0,ac,c与b大小不确定.梳理 1双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程-=1a0,b0-=1a0,b0图形焦点坐标F1-c0,F2c0F10,-c,F20,ca,b,c的关系式a2+b2=c22焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.1平面内到两定点的距离的差等于常数小于两定点间距离的点的轨迹是双曲线.×2平面内到点F104,F20,-4的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.×3平面内到点F104,F20,-4的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.×类型一 双曲线定义的应用例1 1若双曲线E-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 A.11B.9C.5D.3考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 B解析 由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=6,即|3-|PF2||=6,解得|PF2|=9负值舍去,故选B.2设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于 A.4B.8C.24D.48考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 C解析 由题意,得解得又由|F1F2|=10,可得△PF1F2是直角三角形,则=×|PF1|×|PF2|=
24.反思与感悟 焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2+By2=1AB<0.跟踪训练1 在△ABC中,已知|AB|=4,A-2,0,B2,0,且内角A,B,C满足sinB-sinA=sinC,求顶点C的轨迹方程.考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用解 由sinB-sinA=sinC及正弦定理,可得b-a=,从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|,由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支.∵a=,c=2,∴b2=c2-a2=6,∴顶点C的轨迹方程为-=1x>.类型二 求双曲线的标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.1焦距为26,且经过点M012;2双曲线上两点P1,P2的坐标分别为3,-4,.考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 1∵双曲线经过点M012,∴M012为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=
12.又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=
25.∴双曲线的标准方程为-=
1.2设双曲线的方程为mx2+ny2=1mn<0,则解得∴双曲线的标准方程为-=
1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤1定型确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.2设方程根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,
①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1AB0.
②与双曲线-=1a0,b0共焦点的双曲线的标准方程可设为-=1-b2ka2.3计算利用题中条件列出方程组,求出相关值.4结论写出双曲线的标准方程.跟踪训练2 1求以椭圆+=1的短轴的两个端点为焦点,且过点A4,-5的双曲线的标准方程;2已知双曲线过P,Q两点,求双曲线的标准方程.考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 1由题意,知双曲线的两焦点为F10,-3,F203.设双曲线方程为-=1a>0,b>0,将点A4,-5代入双曲线方程,得-=
1.又a2+b2=9,解得a2=5,b2=4,所以双曲线的标准方程为-=
1.2若焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1a>0,b>0,所以解得舍去.若焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1a>0,b>0,将P,Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为-=
1.综上,双曲线的标准方程为-=
1.类型三 双曲线定义及标准方程的应用例3 在相距2000m的两个哨所A,B,听到远处传来的炮弹爆炸声.已知当时的声速是330m/s,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s,试判断爆炸点在什么样的曲线上,并求出曲线的方程.考点 双曲线的标准方程的求法题点 定义法求双曲线的标准方程解 设爆炸点为P,由已知可得|PA|-|PB|=330×4=1320>
0.因为|AB|=2000>1320,所以点P在以A,B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上,建立如图所示的平面直角坐标系,使A,B两点在x轴上,以线段AB的中点为坐标原点.由2a=13202c=2000,得a=660,c=1000,b2=c2-a2=
564400.因此,点P所在曲线的方程是-=1x≥660.反思与感悟 可以结合双曲线的性质,建立平面直角坐标系,然后结合双曲线的定义,建立关系式,然后化简,求出相应的方程.跟踪训练3 已知椭圆+=1与双曲线-=1有交点P,且有公共的焦点,且∠F1PF2=2α,求证tanα=.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数证明 如图所示,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,则在△PF1F2中,对于双曲线有|r2-r1|=2m,∴cos2α====-+1,∴1-cos2α=,∴sinα=.则在△PF1F2中,对于椭圆有r1+r2=2a,cos2α====-1,∴1+cos2α=,∴cosα=,∴tanα=.1.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是 A.-1m3B.m-1C.m3D.m-1考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 B解析 依题意应有m+10,即m-
1.2.已知F1-83,F223,动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是 A.双曲线B.双曲线的一支C.直线D.一条射线考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 D解析 F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.3.2018届浙江东阳中学期中△ABC的顶点为A-50,B50,△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是 A.-=1B.-=1C.-=1x3D.-=1x4答案 C解析 由条件可得,圆与x轴的切点为T30,由相切的性质得|CA|-|CB|=|TA|-|TB|=8-2=610=|AB|,因此点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支.由2a=62c=10,得a=3,b=4,所求的双曲线方程为-=
1.考虑到点C不在直线AB上,故选C.4.经过点P-32和Q-6,-7,且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是___________.考点 双曲线标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线标准方程答案 -=1解析 设双曲线的方程为mx2+ny2=1mn<0,则解得故双曲线的标准方程为-=
1.5.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为________.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 1解析 由题意知解得a=
1.1.双曲线定义的理解1定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左、右焦点,若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.2双曲线定义的双向运用
①若||MF1|-|MF2||=2a02a|F1F2|,则动点M的轨迹为双曲线;
②若动点M在双曲线上,则||MF1|-|MF2||=2a.2.求双曲线标准方程的步骤1定位是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式.2定量是指确定a2,b2的数值,常由条件列方程组求解.特别提醒若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,为简单起见,常标明条件mn
0.
一、选择题1.双曲线2x2-y2=8的焦距是 A.2B.2C.4D.4考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 C解析 因为双曲线方程可化为-=1,所以c2=4+8=12,得c=2,所以2c=
4.2.已知双曲线-=1a>0,b>0,F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为 A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2m考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 C解析 不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.3.若k∈R,则“k5”是“方程-=1表示双曲线”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 A解析 当k5时,方程表示双曲线;反之,当方程表示双曲线时,k5或k
2.故选A.4.已知双曲线-=1的一个焦点是02,则实数m的值是 A.1B.-1C.-D.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 B解析 由焦点坐标,知焦点在y轴上,∴m0,∴双曲线的标准方程为-=1,∴-m-3m=4,∴m=-
1.5.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1-,0,点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为02,则此双曲线的方程是 A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 B解析 由已知条件,得焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1a0,b0,则a2+b2=
5.
①∵线段PF1的中点的坐标为02,∴点P的坐标为,4,将其代入双曲线的方程,得-=
1.
②由
①②解得a2=1,b2=4,∴双曲线的方程为x2-=
1.6.已知F1,F2为双曲线C x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于 A.B.C.D.考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 C解析 由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|=2|PF2|,∴|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2c=2=
4.∴cos∠F1PF2====.7.已知双曲线C x2-=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M02,则△PFM的周长的最小值为 A.2+4B.4+2C.3D.2+3考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 A解析 依题意可知,c=2,a=1,所以|MF|=2,|PM|+|PF|=|PM|+|PF1|+2a,F1为左焦点,当M,P,F1三点共线时,|PM|+|PF1|最小,最小值为|MF1|,|MF1|=2,故周长的最小值为2+2+2=2+
4.
二、填空题8.已知F1,F2是双曲线-=1的左、右焦点,PQ是过焦点F1的弦,且PQ的倾斜角为60°,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值为________.考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 16解析 在双曲线-=1中,2a=8,由双曲线定义,得|PF2|-|PF1|=8,|QF2|-|QF1|=8,所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=|PF2|-|PF1|+|QF2|-|QF1|=
16.9.若曲线C mx2+2-my2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为________.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 2,+∞解析 由曲线C mx2+2-my2=1是焦点在x轴上的双曲线,可得-=1,即有m>0,且m-2>0,解得m>
2.10.已知双曲线的两个焦点F1-,0,F2,0,P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为________________.考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 -y2=1解析 由题意可设双曲线-=1a>0,b>0.由·=0,得PF1⊥PF
2.根据勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=2c2,即|PF1|2+|PF2|2=
20.根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2,得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=
1.11.过双曲线-=1的一个焦点作x轴的垂线,则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________.考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 ,解析 因为双曲线方程为-=1,所以c==
13.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则F1-130,F2130.设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A-13,yy>0,则=-1=,所以y=,即|AF1|=.又|AF2|-|AF1|=2a=24,所以|AF2|=24+=.即所求距离分别为,.
三、解答题12.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.考点 双曲线标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 已知双曲线-=1,由c2=a2+b2,得c2=16+9=25,∴c=
5.设所求双曲线的标准方程为-=1a>0,b>0.依题意知b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为-=
1.∵点P在所求双曲线上,∴-=1,化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=.当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,不合题意,舍去,∴a2=1,b2=24,∴所求双曲线的标准方程为x2-=
1.13.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F
2.1若点M在双曲线上,且·=0,求M点到x轴的距离;2若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点3,2,求双曲线C的方程.考点 双曲线标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 1如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,·=0,则MF1⊥MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,
①又m2+n2=2c2=80,
②由
①②得m·n=8,∴mn=4=|F1F2|·h,∴h=.2设所求双曲线C的方程为-=1-4λ16,由于双曲线C过点3,2,∴-=1,解得λ=4或λ=-14舍去,∴所求双曲线C的方程为-=
1.
四、探究与拓展14.若双曲线-y2=1n>1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为 A.1B.C.2D.4考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 A解析 设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2,已知|PF1|+|PF2|=2,解得|PF1|=+,|PF2|=-,|PF1|·|PF2|=
2.又|F1F2|=2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,于是=|PF1|·|PF2|=×2=
1.故选A.15.已知△OFQ的面积为2,且·=m,其中O为坐标原点.1设<m<4,求与的夹角θ的正切值的取值范围;2设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.考点 双曲线标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 1因为所以tanθ=.又<m<4,所以1<tanθ<4,即tanθ的取值范围为14.2设双曲线的标准方程为-=1a>0,b>0,Qx1,y1,则=x1-c,y1,所以S△OFQ=||·|y1|=2,则y1=±.又·=m,即c0·x1-c,y1=c2,解得x1=c,所以||==≥=2,当且仅当c=4时,取等号,||最小,这时Q的坐标为,或,-.因为所以于是所求双曲线的标准方程为-=
1.。