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文本内容:
1.
2.1 任意角的三角函数一学习目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P,作PM⊥x轴于M,设Px,y,|OP|=r.思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么?答案 sinα=,cosα=,tanα=.思考2 对确定的锐角α,sinα,cosα,tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变?答案 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点Px,y在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.思考3 在思考1中,当取|OP|=1时,sinα,cosα,tanα的值怎样表示?答案 sinα=y,cosα=x,tanα=.梳理 1单位圆在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.2定义在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y,那么
①y叫做α的正弦,记作sin_α,即sinα=y;
②x叫做α的余弦,记作cos_α,即cosα=x;
③叫做α的正切,记作tan_α,即tanα=x≠0.对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗?答案 由三角函数定义可知,在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y,则sinα=y,cosα=x,tanα=x≠0.当α为第一象限角时,y0x0,故sinα0,cosα0,tanα0,同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号,如图所示.梳理 记忆口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°,390°,-330°时,它们的终边有什么特点?它们的三角函数值呢?答案 它们的终边重合.由三角函数的定义知,它们的三角函数值相等.梳理 诱导公式一sinα+k·2π=sinα,cosα+k·2π=cosα,tanα+k·2π=tanα,其中k∈Z.1.sinα,cosα,tanα的大小与点Px,y在角α的终边上的位置有关. × 提示 三角函数的大小由角α终边位置确定,而与点Px,y在终边上的位置无关.2.终边相同的角的同名三角函数值相等. √ 提示 由三角函数的定义可知,终边相同的角的三角函数值相等.类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值例1 已知θ终边上一点Px3x≠0,且cosθ=x,求sinθ,tanθ.考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 由题意知r=|OP|=,由三角函数定义得cosθ==.又∵cosθ=x,∴=x.∵x≠0,∴x=±
1.当x=1时,P13,此时sinθ==,tanθ==
3.当x=-1时,P-13,此时sinθ==,tanθ==-
3.反思与感悟 1已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点Px,y,设P到原点的距离为rr0,则sinα=,cosα=.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.2当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P-3a4aa≠0,求2sinα+cosα的值.考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 r==5|a|.
①若a0,则r=5a,角α在第二象限,sinα===,cosα===-,∴2sinα+cosα=-=
1.
②若a0,则r=-5a,角α在第四象限,sinα==-,cosα==,∴2sinα+cosα=-+=-
1.综上所述,2sinα+cosα=±
1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sinα+的值.考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 由题意知,cosα≠
0.设角α的终边上任一点为Pk,-3kk≠0,则x=k,y=-3k,r==|k|.1当k0时,r=k,α是第四象限角,sinα===-,===,∴10sinα+=10×+3=-3+3=
0.2当k0时,r=-k,α是第二象限角,sinα===,===-,∴10sinα+=10×+3×-=3-3=
0.综上所述,10sinα+=
0.反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标为a,b,则对应角的三角函数值分别为sinα=,cosα=,tanα=.跟踪训练2 在平面直角坐标系中,角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα-3cosα+tanα的值.考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 当角α的终边在射线y=-xx0上时,取终边上一点P4,-3,所以点P到坐标原点的距离r=|OP|=5,所以sinα===-,cosα==,tanα==-.所以sinα-3cosα+tanα=---=-.当角α的终边在射线y=-xx0上时,取终边上一点P′-43,所以点P′到坐标原点的距离r=|OP′|=5,所以sinα==,cosα==-,tanα===-.所以sinα-3cosα+tanα=-3×-=+-=.综上,sinα-3cosα+tanα的值为-或.类型二 三角函数值符号的判断例3 判断下列各式的符号1sin145°cos-210°;2sin3·cos4·tan
5.考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号解 1∵145°是第二象限角,∴sin145°>
0.∵-210°=-360°+150°,∴-210°是第二象限角,∴cos-210°<0,∴sin145°cos-210°<
0.2∵<3<π<4<<5<2π,∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,∴sin3·cos4·tan5>
0.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦.跟踪训练3 已知点Ptanα,cosα在第三象限,则α是第________象限角.考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 二解析 由题意知tanα0,cosα0,∴α是第二象限角.类型三 诱导公式一的应用例4 求下列各式的值1sin-1395°cos1110°+cos-1020°sin750°;2sin+cos·tan4π.考点 诱导公式一题点 诱导公式一解 1原式=sin-4×360°+45°cos3×360°+30°+cos-3×360°+60°sin2×360°+30°=sin45°cos30°+cos60°sin30°=×+×=+=.2原式=sin+cos·tan4π+0=sin+cos×0=.反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数,也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”.跟踪训练4 求下列各式的值1cos+tan;2sin810°+tan765°-cos360°.考点 诱导公式一题点 诱导公式一解 1原式=cos+tan=cos+tan=+1=.2原式=sin90°+2×360°+tan45°+2×360°-cos360°=sin90°+tan45°-1=1+1-1=
1.1.2018·牌头中学月考已知角α的终边过点-21,则cosα的值为 A.B.C.-D.-考点 任意角的三角函数题点 任意角三角函数的定义答案 D2.sin的值是 A.-B.C.-D.考点 诱导公式一题点 诱导公式一答案 B解析 sin=sin=sin=.3.2017·宁波期末若角α的终边经过点P-1,-1,则 A.tanα=1B.sinα=-1C.cosα=D.sinα=考点 任意角的三角函数题点 任意角三角函数的定义答案 A解析 由点P的坐标计算得r==,则sinα==-,cosα==-,tanα==
1.4.若α是第二象限角,则点Psinα,cosα在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 D解析 ∵α为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0,∴点P在第四象限,故选D.5.已知角α的终边上有一点P24k7k,k≠0,求sinα,cosα,tanα的值.考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解
①当k0时,令x=24k,y=7k,则有r==25k,∴sinα==,cosα==,tanα==.
②当k0时,令x=24k,y=7k,则有r=-25k,∴sinα==-,cosα==-,tanα==.1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角α的三角函数值的符号只与角α的终边所在象限有关,由角α的终边所在象限确定,则三角函数值的符号一定确定,规律是“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等,但两个角的某一个函数值相等,不一定有角的终边相同,更不一定有两角相等.
一、选择题1.2017·长沙检测sin-315°的值是 A.-B.-C.D.考点 诱导公式一题点 诱导公式一答案 C解析 sin-315°=sin-360°+45°=sin45°=.2.2017·山西太原外国语学校月考如果角α的终边过点P2sin30°,-2cos30°,则sinα等于 A.B.-C.-D.-考点 任意角的三角函数题点 任意角三角函数的定义答案 C解析 由题意得P1,-,它与原点的距离r==2,∴sinα=-.3.已知sinθ0,且tanθ0,则θ为 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 D4.已知α是第二象限角,Px,为其终边上一点,且cosα=x,则x的值为 A.B.±C.-D.-考点 任意角的三角函数题点 任意角三角函数的定义答案 D解析 ∵cosα===x,∴x=0或2x2+5=16,∴x=0或x2=3,∴x=0∵α是第二象限角,∴舍去或x=舍去或x=-.故选D.5.2017·嘉兴模拟sin2·cos3·tan4的值 A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 A解析 ∵sin20,cos30,tan40,∴sin2·cos3·tan
40.6.2017·湖州期末点P从点10出发,沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标是 A.B.C.D.考点 任意角的三角函数题点 任意角三角函数的定义答案 C解析 根据题意可得xQ=cos=-,yQ=sin=-.则Q点的坐标是.7.如果点Psinθ+cosθ,sinθcosθ位于第二象限,那么角θ的终边在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 C解析 由题意知sinθ+cosθ<0,且sinθcosθ>0,∴∴θ为第三象限角.
二、填空题8.tan405°-sin450°+cos750°=________.考点 诱导公式一题点 诱导公式一答案 解析 tan405°-sin450°+cos750°=tan360°+45°-sin360°+90°+cos720°+30°=tan45°-sin90°+cos30°=1-1+=.9.2017·绍兴柯桥区期末已知α的顶点在原点,始边在x轴上,终边与单位圆相交于点M,则cosα=________.考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值答案 -10.2017·山东烟台一中期末已知角α的终边经过点3a-9,a+2,且sinα0,cosα≤0,则实数a的取值范围是________.考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 -23]解析 ∵点3a-9,a+2在角α的终边上,sinα0,cosα≤0,∴解得-2a≤
3.11.已知角θ的终边上有一点Px,-1x≠0,且tanθ=-x,则sinθ+cosθ=________.考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值答案 0或-解析 ∵θ的终边过点Px,-1x≠0,∴tanθ=-.又tanθ=-x,∴x2=1,即x=±
1.当x=1时,sinθ=-,cosθ=,因此sinθ+cosθ=0;当x=-1时,sinθ=-,cosθ=-,因此sinθ+cosθ=-.故sinθ+cosθ的值为0或-.12.已知角α的终边在直线y=x上,则sinα,cosα,tanα的值分别为________.考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值答案 ,,或-,-,解析 因为角α的终边在直线y=x上,所以可设Pa,aa≠0为角α终边上任意一点,则r==2|a|a≠0.若a0,则α为第一象限角,r=2a,所以sinα==,cosα==,tanα==.若a0,则α为第三象限角,r=-2a,所以sinα==-,cosα=-=-,tanα==.13.sinπ+cosπ+cos-5π+tan=________.考点 诱导公式一题点 诱导公式一答案 -1解析 原式=sinπ+cos+cosπ+1=-1+0-1+1=-
1.14.函数y=+-的值域是________________.考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 {-402}解析 由sinx≠0,cosx≠0知,x的终边不能落在坐标轴上,当x为第一象限角时,sinx0,cosx0,sinxcosx0,y=0;当x为第二象限角时,sinx0,cosx0,sinxcosx0,y=2;当x为第三象限角时,sinx0,cosx0,sinxcosx0,y=-4;当x为第四象限角时,sinx0,cosx0,sinxcosx0,y=
2.故函数y=+-的值域为{-402}.
三、解答题15.已知=-,且lgcosα有意义.1试判断角α所在的象限;2若角α的终边与单位圆相交于点M,求m的值及sinα的值.考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 1∵=-,∴sinα<
0.
①∵lgcosα有意义,∴cosα>
0.
②由
①②得角α的终边在第四象限.2∵点M在单位圆上,∴2+m2=1,解得m=±.又α是第四象限角,∴m<0,∴m=-.由三角函数定义知,sinα=-.。