还剩15页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
1.
2.2 同角三角函数的基本关系学习目标
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.
2.理解同角三角函数的基本关系式.
3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点 同角三角函数的基本关系式思考1 计算下列式子的值1sin230°+cos230°;2sin245°+cos245°;3sin290°+cos290°.由此你能得出什么结论?尝试证明它.答案 3个式子的值均为
1.由此可猜想对于任意角α,有sin2α+cos2α=1,下面用三角函数的定义证明设角α的终边与单位圆的交点为Px,y,则由三角函数的定义,得sinα=y,cosα=x.∴sin2α+cos2α=x2+y2=|OP|2=
1.思考2 由三角函数的定义知,tanα与sinα和cosα间具有怎样的等量关系?答案 ∵tanα=x≠0,∴tanα=α≠+kπ,k∈Z.梳理 1同角三角函数的基本关系式
①平方关系sin2α+cos2α=
1.
②商数关系tanα=.2同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α+cos2α=1的变形公式sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α.
②tanα=的变形公式sinα=cosαtanα;cosα=.1.sin2α+cos2β=
1. × 提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立,即sin2α+cos2α=
1.2.sin2+cos2=
1. √ 提示 在sin2α+cos2α=1中,令α=可得sin2+cos2=
1.3.对任意的角α,都有tanα=成立. × 提示 当α=+kπ,k∈Z时就不成立.类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限,求角α的其余三角函数值例1 1若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值为 A.B.-C.D.-考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的商数关系答案 D解析 ∵sinα=-,且α为第四象限角,∴cosα=,∴tanα==-,故选D.22017·绍兴柯桥区期末已知-α0,sinα+cosα=,则tanα的值为 A.-B.-C.D.考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的商数关系答案 B解析 ∵sinα+cosα=,等号两边同时平方得1+2sinαcosα=,即sinαcosα=-,∴sinα,cosα是方程x2-x-=0的两根,又∵-α0,∴sinα=-,cosα=,∴tanα==-.反思与感悟 1同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系,其常用的用途是“知一求二”,即在sinα,cosα,tanα三个值之间,知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限,从而判断三角函数值的正负.2已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题,我们可利用平方关系或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及sinα±cosα2=1±2sinαcosα的等价转化,分析解决问题的突破口.跟踪训练1 已知tanα=,且α是第三象限角,求sinα,cosα的值.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由tanα==,得sinα=cosα.
①又sin2α+cos2α=1,
②由
①②得cos2α+cos2α=1,即cos2α=.又α是第三象限角,∴cosα=-,sinα=cosα=-.命题角度2 已知角α的某一三角函数值,未给出α所在象限,求角α的其余三角函数值例2 已知cosα=-,求sinα,tanα的值.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 ∵cosα=-0,且cosα≠-1,∴α是第二或第三象限角.1当α是第二象限角时,则sinα===,tanα===-.2当α是第三象限角时,则sinα=-=-,tanα=.反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时,若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解.跟踪训练2 已知cosα=,求sinα,tanα的值.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 ∵cosα=0且cosα≠1,∴α是第一或第四象限角.1当α是第一象限角时,则sinα===,tanα===.2当α是第四象限角时,则sinα=-=-,tanα=-.类型二 齐次式求值问题例3 已知tanα=2,求下列代数式的值.1;2sin2α+sinαcosα+cos2α.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 1原式==.2原式====.反思与感悟 1关于sinα,cosα的齐次式,可以通过分子、分母同除以cosα或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值.2假如代数式中不含分母,可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换,由1=sin2α+cos2α代换后,再同除以cos2α,构造出关于tanα的代数式.跟踪训练3 已知=2,计算下列各式的值.1;2sin2α-2sinαcosα+
1.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由=2,化简,得sinα=3cosα,所以tanα=
3.1原式===.2原式=+1=+1=+1=.类型三 三角函数式的化简与证明例4 1化简sin2αtanα++2sinαcosα.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式=sin2α·+cos2α·+2sinαcosα===.2求证=.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式证明证明 ∵右边======左边,∴原等式成立.反思与感悟 1三角函数式的化简技巧
①化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.
②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
③对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.2证明三角恒等式的过程,实质上是化异为同的过程,证明恒等式常用以下方法
①证明一边等于另一边,一般是由繁到简.
②证明左、右两边等于同一个式子左、右归一.
③比较法即证左边-右边=0或=1右边≠0.
④证明与已知等式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.跟踪训练4 化简tanα,其中α是第二象限角.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 因为α是第二象限角,所以sinα0,cosα
0.故tanα=tanα=tanα==·=-
1.1.若sinα=,且α是第二象限角,则tanα的值为 A.-B.C.±D.±考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的商数关系答案 A解析 ∵α为第二象限角,sinα=,∴cosα=-,tanα=-.2.已知sinα-cosα=-,则sinαcosα等于 A.B.-C.-D.考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的平方关系答案 C解析 由题意得sinα-cosα2=,即sin2α+cos2α-2sinαcosα=,又sin2α+cos2α=1,∴1-2sinαcosα=,∴sinαcosα=-.故选C.3.化简的结果是 A.cosB.sinC.-cosD.-sin考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的平方关系答案 C解析 ==,∵π,∴cos0,∴=-cos,即=-cos,故选C.4.2018·牌头中学月考已知tanθ=2,则等于 A.-B.C.-D.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 B5.求证=.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式证明证明 方法一 比较法——作差∵-===0,∴=.方法二 比较法——作商∵=====
1.∴=.1.利用同角三角函数的基本关系式,可以由一个角的一个三角函数值,求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简,结果要求1项数尽量少;2次数尽量低;3分母、根式中尽量不含三角函数;4能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中,已知sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα中的一个,可以利用方程思想,求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当地选用公式,统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数,要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时,注意方法的灵活运用,常用技巧1“1”的代换;2减少三角函数的个数化切为弦、化弦为切等;3多项式运算技巧的应用如因式分解、整体思想等;4对条件或结论的重新整理、变形,以便于应用同角三角函数关系来求解.
一、选择题1.2017·绍兴期末设θ∈,若sinθ=,则cosθ等于 A.B.C.D.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D解析 ∵θ∈,sinθ=,则cosθ===.2.等于 A.sinB.cosC.-sinD.-cos考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的平方关系答案 A解析 ∵0,∴sin0,∴==sin.3.已知=2,则sinθcosθ的值是 A.B.±C.D.-考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 C解析 由题意得sinθ+cosθ=2sinθ-cosθ,∴sinθ+cosθ2=4sinθ-cosθ2,解得sinθcosθ=.4.函数y=+的值域是 A.{02}B.{-20}C.{-202}D.{-22}考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 C解析 y=+.当x为第一象限角时,y=2;当x为第三象限角时,y=-2;当x为第
二、四象限角时,y=
0.5.2017·四川成都树德中学期中已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sinθcosθ的值为 A.B.-C.D.-考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的平方关系答案 A解析 由sin4θ+cos4θ=,得sin2θ+cos2θ2-2sin2θcos2θ=,∴sin2θcos2θ=,∵θ是第三象限角,∴sinθ0,cosθ0,∴sinθcosθ=.6.若πα,则+的化简结果为 A.B.-C.D.-考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简答案 D解析 原式=+=+=,∵πα,∴原式=-.7.已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于 A.-B.C.-D.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D解析 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ==,又tanθ=2,故原式==.
二、填空题8.已知cosα=-,且tanα0,则=.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 -解析 由cosα0,tanα0知α是第三象限角,且sinα=-,故原式===sinα1+sinα=×=-.9.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tanα=.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 3或-解析 因为sinα+2cosα=,又sin2α+cos2α=1,联立解得或故tanα==-或
3.10.在△ABC中,sinA=,则角A=.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 解析 由题意知cosA0,即A为锐角.将sinA=两边平方得2sin2A=3cosA.∴2cos2A+3cosA-2=0,解得cosA=或cosA=-2舍去,∴A=.11.若tanα+=3,则sinαcosα=,tan2α+=.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 7解析 ∵tanα+=3,∴+=3,即=3,∴sinαcosα=,tan2α+=2-2tanα·=9-2=
7.12.已知sinα-cosα=-,则tanα+=.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 tanα+=+==.∵sinα-cosα=-,∴1-2sinαcosα=,∴sinαcosα=-,∴=-8,∴tanα+=-
8.
三、解答题13.已知=,求下列各式的值.1;21-4sinθcosθ+2cos2θ.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由已知=,∴=,解得tanθ=
2.1原式===
1.2原式=sin2θ-4sinθcosθ+3cos2θ===-.
四、探究与拓展14.若sinα+cosα=1,则sinnα+cosnαn∈Z的值为.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 1解析 ∵sinα+cosα=1,∴sinα+cosα2=1,又sin2α+cos2α=1,∴sinαcosα=0,∴sinα=0或cosα=
0.当sinα=0时,cosα=1,此时有sinnα+cosnα=1;当cosα=0时,sinα=1,也有sinnα+cosnα=1,∴sinnα+cosnα=
1.15.已知关于x的方程2x2-+1x+2m=0的两根为sinθ和cosθθ∈0,π,求1m的值;2+的值;3方程的两根及此时θ的值.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 1由根与系数的关系可知,sinθ+cosθ=,
①sinθ·cosθ=m.
②将
①式平方得1+2sinθ·cosθ=,所以sinθ·cosθ=,代入
②得m=.2+=+==sinθ+cosθ=.3由1得m=,所以原方程化为2x2-+1x+=0,解得x1=,x2=.所以或又因为θ∈0,π,所以θ=或.。