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1.6 三角函数模型的简单应用学习目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．知识点 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案 三角函数模型．梳理 1利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤第一步阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步收集、整理数据，建立数学模型．根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．第三步利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．第四步将所得结论转译成实际问题的答案．2三角函数模型的建立程序如图所示类型一 三角函数模型在物理中的应用例1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S单位cm与时间t单位s的函数关系是S＝6sin.1画出它的图象；2回答以下问题
①小球开始摆动即t＝0，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用解 1周期T＝＝1s．列表t012πt＋π2π2π＋6sin360－603描点画图2
①小球开始摆动即t＝0，离开平衡位置为3cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm.
③小球来回摆动一次需要1s即周期．反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．跟踪训练1 如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是 A．该质点的振动周期为
0.7sB．该质点的振幅为－5cmC．该质点在
0.1s和
0.5s时的振动速度最大D．该质点在
0.3s和
0.7s时的加速度为零考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 D解析 由图象及简谐运动的有关知识知T＝
0.8s，A＝5cm，当t＝
0.1s及t＝
0.5s时，v＝0，故排除选项A，B，C.类型二 三角函数模型在生活中的应用例2 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面
40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题1求出你与地面的距离y米与时间t分钟的函数关系式；2当你第4次距离地面
60.5米时，用了多长时间？考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用解 1由已知可设y＝
40.5－40cosωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝，所以y＝
40.5－40costt≥0．2设转第1圈时，第t0分钟时距离地面
60.5米．由
60.5＝
40.5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8，所以t＝8分钟时，第2次距地面
60.5米，故第4次距离地面
60.5米时，用了12＋8＝20分钟．反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行1认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；2建立三角函数模型，将实际问题数学化；3利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；4根据实际问题的意义，得出实际问题的解；5将所得结论返回、转译成实际问题的答案．跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在距离地面2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处点P与摩天轮中心高度相同时开始计时．1求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；2在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用解 1设在ts时，摩天轮上某人在高hm处．这时此人所转过的角为t＝t，故在ts时，此人相对于地面的高度为h＝10sint＋12t≥0．2由10sint＋12≥17，得sint≥，则25≤t≤
125.故此人有100s相对于地面的高度不小于17m.1．弹簧振子的振幅为2cm，在6s内振子通过的路程是32cm，由此可知该振子振动的 A．频率为
1.5HzB．周期为
1.5sC．周期为6sD．频率为6Hz考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 B解析 振幅为2cm，振子在一个周期内通过的路程为8cm，易知在6s内振动了4个周期，所以T＝
1.5s.2．电流强度IA随时间ts变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为 A．5AB．
2.5AC．2AD．－5A考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 B解析 当t＝时，I＝5sin＝5sin＝5cos＝＝
2.5A．3．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移scm与时间ts的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm.考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 解析 ∵T＝＝1，∴＝2π，∴l＝.4．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度hm在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为____________________．考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用答案 h＝－6sint，t∈
[024]解析 根据题图设h＝Asinωt＋φ，则A＝6，T＝12，＝12，∴ω＝.点60为“五点”作图法中的第一点，∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h＝6sin＝－6sint，t∈
[024]．5．某实验室一天的温度单位℃随时间t单位h的变化近似满足函数关系ft＝10－2sin，t∈[024．1求实验室这一天的最大温差；2若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用解 1因为ft＝10－2sin，又0≤t24，所以≤t＋，－1≤sin≤
1.当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－
1.于是ft在[024上的最大值为12，最小值为
8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.2依题意，当ft11时实验室需要降温．由1得ft＝10－2sin，故有10－2sin11，即sin－.又0≤t24，因此t＋，即10t
18.故在10时至18时实验室需要降温．解三角函数应用问题的基本步骤
一、选择题
1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆一次所需的时间为 A.sB.sC．50sD．100s考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 A2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深单位m的最大值为 A．5B．6C．8D．10考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用答案 C解析 由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝
5.∴ymax＝k＋3＝
8.3．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间ts时离开平衡位置的位移scm满足函数关系式s＝2sin.给出下列三种说法
①小球开始时在平衡位置上方cm处；
②小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处；
③经过2πs小球重复振动一次．其中正确的说法是 A．
①②B．
②③C．
①③D．
①②③考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 D解析 当t＝0时，s＝2sin＝，故
①正确；smin＝－2，故
②正确；函数的最小正周期T＝2π，故
③正确．4．如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asinωx＋φ＋b的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为 A．16℃B．15℃C．14℃D．13℃考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用答案 D解析 由题意得A＝×30－10＝10，b＝×30＋10＝20，∵2×14－6＝16，∴＝16，∴ω＝，∴y＝10sin＋20，将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，即sin＝－1，由于φπ，可得φ＝，∴y＝10sin＋20，x∈
[614]．当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，即该天8h的温度大约为13℃，故选D.
5.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m即OM长，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为htm，则ht等于 A．30sin＋30B．30sin＋30C．30sin＋32D．30sin考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用答案 B解析 过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，如图，点A在圆O上逆时针运动的角速度是＝，所以t分钟转过的弧度数为t.设θ＝t，当θ时，∠BON＝θ－，h＝OA＋BN＝30＋30sin，当0θ时，上述关系式也适合．故h＝30＋30sin＝30sin＋
30.6．如图所示，有一广告气球，直径为6cm，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sinθ≈θ，试估算气球的高BC的值约为 A．70mB．86mC．102mD．118m考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用答案 B解析 AC＝＝≈×180≈172m，又∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝86m.7．2017·襄阳高一检测设y＝ft是某港口水的深度ym关于时间th的函数，其中0≤t≤
24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系t03691215182124y
1215.
112.
19.
111.
914.
911.
98.
912.1经长期观测，函数y＝fx的图象可以近似地看成函数y＝Asinωt＋φ＋k的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是 A．y＝12＋3sint，t∈
[024]B．y＝12＋3sin，t∈
[024]C．y＝12＋3sint，t∈
[024]D．y＝12＋3sin，t∈
[024]考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用答案 A解析 由已知数据，可得y＝ft的周期T＝12，所以ω＝＝.由已知可得振幅A＝3，k＝
12.又当t＝0时，y＝12，所以令×0＋φ＝0得φ＝0，故y＝12＋3sint，t∈
[024]．
二、填空题8．设某人的血压满足函数式pt＝115＋25sin160πt，其中pt为血压mmHg，t为时间min，则此人每分钟心跳的次数是________．考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用答案 80解析 T＝＝分，f＝＝80次/分．9．已知某种交流电电流IA随时间ts的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞，则这种交流电在
0.5s内往复运动的次数为________．考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 25解析 因为f＝＝＝＝50，所以
0.5s内往复运动的次数为
0.5×50＝
25.10．如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4cm，每经过πs小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是________．考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 y＝4sin解析 不妨设y＝Asinωx＋φ．由题意知A＝4，T＝π，所以ω＝＝
2.当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，故所求关系式可以为y＝4sin.
11.一个单摆的平面图如图．设小球偏离铅锤方向的角为αrad，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角．α作为时间ts的函数，近似满足关系式α＝Asin，其中ω
0.已知小球在初始位置即t＝0时，α＝，且每经过πs小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是____________________．考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 α＝sin，t∈[0，＋∞解析 ∵当t＝0时，α＝，∴＝Asin，∴A＝.又∵周期T＝π，∴＝π，解得ω＝
2.故所求的函数解析式是α＝sin，t∈[0，＋∞．
三、解答题
12.如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上点P从水中浮现时图中点P0开始计算时间．1将点P距离水面的高度zm表示为时间ts的函数；2点P第一次到达最高点大约需要多少时间？考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用解 1如图所示建立平面直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．OP每秒钟内所转过的角为＝，则OP在时间ts内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin＋
2.当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－.故所求的函数关系式为z＝4sin＋
2.2令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1，令t－＝，得t＝20，故点P第一次到达最高点大约需要20s.13．2017·广东汕头金山中学高一月考据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式fx＝Asinωx＋φ＋B，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．1求fx的解析式；2求此商品的价格超过8万元的月份．考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用解 1由题意可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝＝.又∴即fx＝2sin＋
7.*又fx过点39，代入*式得2sin＋7＝9，∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|，∴φ＝－，∴fx＝2sin＋71≤x≤12，x∈N*．2令fx＝2sin＋78，∴sin，∴＋2kπx－＋2kπ，k∈Z，可得＋8kx＋8k，k∈Z.又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝
234101112.即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．
四、探究与拓展14．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是 A．5B．6C．7D．8考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 C15．2017·福建龙岩一中高一月考某海滨浴场一天的海浪高度ym是时间t0≤t≤24h的函数，记作y＝ft，下表是某天各时的浪高数据t03691215182124y
1.
51.
00.
51.
01.
51.
00.
50.
991.51选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度ym与时间th的函数关系；2依据规定，当海浪高度不少于1m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据1的结论，判断一天内的8h至20h之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用解 1以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示依据散点图，可以选用函数y＝Asinωt＋φ＋h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度ym与时间th的函数关系．从表中数据和散点图，可知A＝＝，T＝12，所以＝12，得ω＝.又h＝＝1，于是y＝sin＋
1.由图，知×0＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|≤，所以φ＝，从而y＝sin＋1，即y＝cost＋10≤t≤24．2由题意，可知y≥1，所以cost＋1≥1，即cost≥0，所以2kπ－≤t≤2kπ＋k∈Z，即12k－3≤t≤12k＋3k∈Z．又0≤t≤24，所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤
24.故一天内的8h至20h之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即9h至15h．。
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