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1.6 三角函数模型的简单应用学习目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中,周期现象广泛存在,潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换,甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述?答案 三角函数模型.梳理 1利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤第一步阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字,理解题目所反映的实际背景,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题.第二步收集、整理数据,建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式,将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题,即建立三角函数模型,从而实现实际问题的数学化.第三步利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步将所得结论转译成实际问题的答案.2三角函数模型的建立程序如图所示类型一 三角函数模型在物理中的应用例1 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移S单位cm与时间t单位s的函数关系是S=6sin.1画出它的图象;2回答以下问题
①小球开始摆动即t=0,离开平衡位置是多少?
②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少?
③小球来回摆动一次需要多少时间?考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用解 1周期T==1s.列表t012πt+π2π2π+6sin360-603描点画图2
①小球开始摆动即t=0,离开平衡位置为3cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm.
③小球来回摆动一次需要1s即周期.反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1 如图是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是 A.该质点的振动周期为
0.7sB.该质点的振幅为-5cmC.该质点在
0.1s和
0.5s时的振动速度最大D.该质点在
0.3s和
0.7s时的加速度为零考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 D解析 由图象及简谐运动的有关知识知T=
0.8s,A=5cm,当t=
0.1s及t=
0.5s时,v=0,故排除选项A,B,C.类型二 三角函数模型在生活中的应用例2 如图所示,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面
40.5米,半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题1求出你与地面的距离y米与时间t分钟的函数关系式;2当你第4次距离地面
60.5米时,用了多长时间?考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用解 1由已知可设y=
40.5-40cosωt,t≥0,由周期为12分钟可知,当t=6时,摩天轮第1次到达最高点,即此函数第1次取得最大值,所以6ω=π,即ω=,所以y=
40.5-40costt≥0.2设转第1圈时,第t0分钟时距离地面
60.5米.由
60.5=
40.5-40cost0,得cost0=-,所以t0=或t0=,解得t0=4或t0=8,所以t=8分钟时,第2次距地面
60.5米,故第4次距离地面
60.5米时,用了12+8=20分钟.反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行1认真审题,理清问题中的已知条件与所求结论;2建立三角函数模型,将实际问题数学化;3利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题,求得数学模型的解;4根据实际问题的意义,得出实际问题的解;5将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2 如图所示,一个摩天轮半径为10m,轮子的底部在距离地面2m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每300s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处点P与摩天轮中心高度相同时开始计时.1求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;2在摩天轮转动的一圈内,大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用解 1设在ts时,摩天轮上某人在高hm处.这时此人所转过的角为t=t,故在ts时,此人相对于地面的高度为h=10sint+12t≥0.2由10sint+12≥17,得sint≥,则25≤t≤
125.故此人有100s相对于地面的高度不小于17m.1.弹簧振子的振幅为2cm,在6s内振子通过的路程是32cm,由此可知该振子振动的 A.频率为
1.5HzB.周期为
1.5sC.周期为6sD.频率为6Hz考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 B解析 振幅为2cm,振子在一个周期内通过的路程为8cm,易知在6s内振动了4个周期,所以T=
1.5s.2.电流强度IA随时间ts变化的关系式是I=5sin,则当t=s时,电流强度I为 A.5AB.
2.5AC.2AD.-5A考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 B解析 当t=时,I=5sin=5sin=5cos==
2.5A.3.一根长lcm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移scm与时间ts的函数关系式为s=3cos,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1s时,线长l=________cm.考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 解析 ∵T==1,∴=2π,∴l=.4.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度hm在某天0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数解析式为____________________.考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用答案 h=-6sint,t∈
[024]解析 根据题图设h=Asinωt+φ,则A=6,T=12,=12,∴ω=.点60为“五点”作图法中的第一点,∴×6+φ=0,∴φ=-π,∴h=6sin=-6sint,t∈
[024].5.某实验室一天的温度单位℃随时间t单位h的变化近似满足函数关系ft=10-2sin,t∈[024.1求实验室这一天的最大温差;2若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用解 1因为ft=10-2sin,又0≤t24,所以≤t+,-1≤sin≤
1.当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-
1.于是ft在[024上的最大值为12,最小值为
8.故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.2依题意,当ft11时实验室需要降温.由1得ft=10-2sin,故有10-2sin11,即sin-.又0≤t24,因此t+,即10t
18.故在10时至18时实验室需要降温.解三角函数应用问题的基本步骤
一、选择题
1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s=6sin,那么单摆来回摆一次所需的时间为 A.sB.sC.50sD.100s考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 A2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深单位m的最大值为 A.5B.6C.8D.10考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用答案 C解析 由题干图易得ymin=k-3=2,则k=
5.∴ymax=k+3=
8.3.弹簧上挂的小球做上下振动,它在时间ts时离开平衡位置的位移scm满足函数关系式s=2sin.给出下列三种说法
①小球开始时在平衡位置上方cm处;
②小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处;
③经过2πs小球重复振动一次.其中正确的说法是 A.
①②B.
②③C.
①③D.
①②③考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 D解析 当t=0时,s=2sin=,故
①正确;smin=-2,故
②正确;函数的最小正周期T=2π,故
③正确.4.如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线,其近似满足函数y=Asinωx+φ+b的半个周期的图象,则该天8h的温度大约为 A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用答案 D解析 由题意得A=×30-10=10,b=×30+10=20,∵2×14-6=16,∴=16,∴ω=,∴y=10sin+20,将x=6,y=10代入得10sin+20=10,即sin=-1,由于φπ,可得φ=,∴y=10sin+20,x∈
[614].当x=8时,y=10sin+20=20-5≈13,即该天8h的温度大约为13℃,故选D.
5.一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32m即OM长,巨轮的半径长为30m,AM=BP=2m,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置,经过t分钟,该吊舱P距离地面的高度为htm,则ht等于 A.30sin+30B.30sin+30C.30sin+32D.30sin考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用答案 B解析 过点O作地面的平行线作为x轴,过点O作x轴的垂线作为y轴,过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点,如图,点A在圆O上逆时针运动的角速度是=,所以t分钟转过的弧度数为t.设θ=t,当θ时,∠BON=θ-,h=OA+BN=30+30sin,当0θ时,上述关系式也适合.故h=30+30sin=30sin+
30.6.如图所示,有一广告气球,直径为6cm,放在公司大楼上空,当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时,测得气球的视角为β=1°,当θ很小时,可取sinθ≈θ,试估算气球的高BC的值约为 A.70mB.86mC.102mD.118m考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用答案 B解析 AC==≈×180≈172m,又∠BAC=30°,∴BC=AC=86m.7.2017·襄阳高一检测设y=ft是某港口水的深度ym关于时间th的函数,其中0≤t≤
24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系t03691215182124y
1215.
112.
19.
111.
914.
911.
98.
912.1经长期观测,函数y=fx的图象可以近似地看成函数y=Asinωt+φ+k的图象.下面的函数中,最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是 A.y=12+3sint,t∈
[024]B.y=12+3sin,t∈
[024]C.y=12+3sint,t∈
[024]D.y=12+3sin,t∈
[024]考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用答案 A解析 由已知数据,可得y=ft的周期T=12,所以ω==.由已知可得振幅A=3,k=
12.又当t=0时,y=12,所以令×0+φ=0得φ=0,故y=12+3sint,t∈
[024].
二、填空题8.设某人的血压满足函数式pt=115+25sin160πt,其中pt为血压mmHg,t为时间min,则此人每分钟心跳的次数是________.考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用答案 80解析 T==分,f==80次/分.9.已知某种交流电电流IA随时间ts的变化规律可以拟合为函数I=5sin,t∈[0,+∞,则这种交流电在
0.5s内往复运动的次数为________.考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 25解析 因为f====50,所以
0.5s内往复运动的次数为
0.5×50=
25.10.如图所示,弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2cm处,然后小球向上运动,小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4cm,每经过πs小球往复振动一次,则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是________.考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 y=4sin解析 不妨设y=Asinωx+φ.由题意知A=4,T=π,所以ω==
2.当x=0时,y=2,且小球开始向上运动,所以有φ=2kπ+,k∈Z,不妨取φ=,故所求关系式可以为y=4sin.
11.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为αrad,并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角,左侧时α为负角.α作为时间ts的函数,近似满足关系式α=Asin,其中ω
0.已知小球在初始位置即t=0时,α=,且每经过πs小球回到初始位置,那么A=________;α关于t的函数解析式是____________________.考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 α=sin,t∈[0,+∞解析 ∵当t=0时,α=,∴=Asin,∴A=.又∵周期T=π,∴=π,解得ω=
2.故所求的函数解析式是α=sin,t∈[0,+∞.
三、解答题
12.如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动1圈,如果当水轮上点P从水中浮现时图中点P0开始计算时间.1将点P距离水面的高度zm表示为时间ts的函数;2点P第一次到达最高点大约需要多少时间?考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用解 1如图所示建立平面直角坐标系,设角φ是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为=,则OP在时间ts内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin+
2.当t=0时,z=0,得sinφ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sin+
2.2令z=4sin+2=6,得sin=1,令t-=,得t=20,故点P第一次到达最高点大约需要20s.13.2017·广东汕头金山中学高一月考据市场调查,某种商品一年内每月的价格满足函数关系式fx=Asinωx+φ+B,x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高,为9万元,7月份该商品的价格首次达到最低,为5万元.1求fx的解析式;2求此商品的价格超过8万元的月份.考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在日常生活中的应用解 1由题意可知=7-3=4,∴T=8,∴ω==.又∴即fx=2sin+
7.*又fx过点39,代入*式得2sin+7=9,∴sin=1,∴+φ=+2kπ,k∈Z.又|φ|,∴φ=-,∴fx=2sin+71≤x≤12,x∈N*.2令fx=2sin+78,∴sin,∴+2kπx-+2kπ,k∈Z,可得+8kx+8k,k∈Z.又1≤x≤12,x∈N*,∴x=
234101112.即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.
四、探究与拓展14.有一冲击波,其波形为函数y=-sin的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰,则正整数t的最小值是 A.5B.6C.7D.8考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在天文、物理学方面的应用答案 C15.2017·福建龙岩一中高一月考某海滨浴场一天的海浪高度ym是时间t0≤t≤24h的函数,记作y=ft,下表是某天各时的浪高数据t03691215182124y
1.
51.
00.
51.
01.
51.
00.
50.
991.51选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度ym与时间th的函数关系;2依据规定,当海浪高度不少于1m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场,请依据1的结论,判断一天内的8h至20h之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪?考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用解 1以时间为横坐标,海浪高度为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示依据散点图,可以选用函数y=Asinωt+φ+h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度ym与时间th的函数关系.从表中数据和散点图,可知A==,T=12,所以=12,得ω=.又h==1,于是y=sin+
1.由图,知×0+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|≤,所以φ=,从而y=sin+1,即y=cost+10≤t≤24.2由题意,可知y≥1,所以cost+1≥1,即cost≥0,所以2kπ-≤t≤2kπ+k∈Z,即12k-3≤t≤12k+3k∈Z.又0≤t≤24,所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤
24.故一天内的8h至20h之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪,即9h至15h.。