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课时规范练50 抛物线基础巩固组
1.2018山东春季联考已知抛物线x2=aya≠0的焦点为F准线为l该抛物线上的点M到x轴的距离为5且|MF|=7则焦点F到准线l的距离是 A.2B.3C.4D.
52.O为坐标原点F为抛物线C:y2=4x的焦点P为抛物线C上一点若|PF|=4则△POF的面积为 A.2B.2C.2D.
43.2018云南昆明一中模拟5已知点F是抛物线C:x2=2pyp0的焦点O为坐标原点若以F为圆心|FO|为半径的圆与直线x-y+3=0相切则抛物线C的方程为 A.x2=2yB.x2=4yC.x2=6yD.x2=8y
4.2018广东江门一模10F是抛物线y2=2x的焦点点P在抛物线上点Q在抛物线的准线上若=2则|PQ|= A.B.4C.D.
35.2018湖南师范大学附属中学三模11已知F为抛物线C:y2=4x的焦点过F的直线l与抛物线C相交于AB两点线段AB的垂直平分线交x轴于点M垂足为E若|AB|=6则|EM|的长为 A.2B.C.2D.
6.2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学冲刺11已知抛物线C:y2=2pxp0焦点为F直线y=x与抛物线C交于OA两点O为坐标原点过F作直线OA的平行线交抛物线C于BD两点其中B在第一象限直线AB与直线OD交于点E若△OEF的面积等于1则抛物线C的准线方程为 A.x=-1B.x=-C.y=-1D.y=-
7.过抛物线y2=2pxp0的焦点F的直线交抛物线于点AB交其准线l于点C若|BC|=2|BF|且|AF|=3则此抛物线的方程为 A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x
8.已知抛物线y2=4x过焦点F的直线与抛物线交于AB两点过AB分别作y轴的垂线垂足分别为CD则|AC|+|BD|的最小值为 .
9.2018安徽巢湖一模15已知抛物线C:y2=4x的焦点是F直线l1:y=x-1交抛物线于AB两点分别从AB两点向直线l2:x=-2作垂线垂足是DC则四边形ABCD的周长为 .
10.2017广东江门一模10改编F是抛物线y2=2x的焦点以F为端点的射线与抛物线相交于点A与抛物线的准线相交于点B若=4则= . 综合提升组
11.2018山东烟台模拟6已知直线l1:x=2l2:3x+5y-30=0点P为抛物线y2=-8x上的任一点则P到直线l1l2的距离之和的最小值为 A.2B.2C.D.
12.过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为的直线交C于点MM在x轴的上方l为C的准线点N在l上且MN⊥l则M到直线NF的距离为 A.B.2C.2D.
313.已知抛物线的方程为y2=2pxp0O为坐标原点AB为抛物线上的点若△OAB为等边三角形且面积为48则p的值为 .
14.设动点Pxyx≥0到定点F10的距离比它到y轴的距离大1记点P的轨迹为曲线C.1求曲线C的方程;2设Dx02是曲线C上一点与两坐标轴都不平行的直线l1l2过点D且它们的倾斜角互补.若直线l1l2与曲线C的另一交点分别是MN证明直线MN的斜率为定值.创新应用组
15.2018北京城六区一模2如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AB=2BC=1点P在侧面A1ABB1上满足到直线AA1和CD的距离相等的点P A.不存在B.恰有1个C.恰有2个D.有无数个
16.2018河北衡水模拟20已知抛物线C:y2=2pxp0斜率为1的直线l1交抛物线C于AB两点当直线l1过点10时以AB为直径的圆与直线x=-1相切.1求抛物线C的方程;2与l1平行的直线l2交抛物线于CD两点若平行线l1l2之间的距离为且△OCD的面积是△OAB面积的倍求l1和l2的方程.参考答案课时规范练50 抛物线
1.C 因为|MF|=7点M到x轴的距离为5所以=7-5所以|a|=8因此焦点F到准线l的距离是=4故选C.
2.C 利用|PF|=xP+=4可得xP=
3.∴yP=±
2.∴S△POF=|OF|·|yP|=
2.故选C.
3.B 由抛物线C的方程为x2=2pyp0则焦点坐标F0所以焦点F0到直线x-y+3=0的距离为d==解得p=2所以抛物线的方程为x2=4y故选B.
4.A 设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线垂足为M则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM得=即=所以|MP|=
3.故|PF|=3|QF|=所以|PQ|=|PF|+|QF|=.故选A.
5.B 由已知得F10设直线l的方程为x=my+1与y2=4x联立得y2-4my-4=0设Ax1y1Bx2y2Ex0y0则y1+y2=4m则y0==2mx0=2m2+1所以E2m2+12m又|AB|=x1+x2+2=my1+y2+4=4m2+4=6解得m2=线段AB的垂直平分线为y-2m=-mx-2m2-1令y=0得M2m2+30从而|ME|==故选B.
6.A
7.C 如图分别过点AB作AA1⊥l于点A1BB1⊥l于点B1由抛物线的定义知|AF|=|AA1||BF|=|BB1|.∵|BC|=2|BF|∴|BC|=2|BB1|.∴∠BCB1=30°∴∠AFx=60°.连接A1F则△AA1F为等边三角形过点F作FF1⊥AA1于点F1则F1为AA1的中点设l交x轴于点K则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|即p=故抛物线方程为y2=3x.
8.2 由题意知F10|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径即|AB|=2p=4时为最小值所以|AC|+|BD|的最小值为
2.
9.18+4 由题知F10准线l的方程是x=-1p=
2.设Ax1y1Bx2y2由消去y得x2=-6x+1=
0.因为直线l1经过焦点F10所以|AB|=x1+x2+p=
8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10因为直线l1的倾斜角是所以|CD|=|AB|sin=8×=4所以四边形ABCD的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+4=18+
4.
10. 由题意设点A的横坐标为m过点A向准线作垂线交垂线于点C设准线与x轴的交点为D则由抛物线的定义|FA|=m+由△BAC∽△BFD得=∴m=.∴|FA|=|FB|=3∴·=|FA||FB|=.
11.C ∵抛物线y2=-8x的焦点为F-20准线为l1:x=2∴P到l1的距离等于|PF|∴P到直线l1l2的距离之和的最小值为F-20到直线l2的距离d==.故选C.
12.C 由题意可知抛物线的焦点F10准线l的方程为x=-1可得直线MF:y=x-1与抛物线y2=4x联立消去y得3x2-10x+3=0解得x1=x2=
3.因为M在x轴的上方所以M
32.因为MN⊥l且N在l上所以N-
12.因为F10所以直线NF:y=-x-
1.所以M到直线NF的距离为=
2.
13.2 设Bx1y1Ax2y
2.∵|OA|=|OB|∴+=+.又=2px1=2px2∴-+2px2-x1=0即x2-x1x1+x2+2p=
0.又x1x2与p同号∴x1+x2=2p≠
0.∴x2-x1=0即x1=x
2.根据抛物线对称性可知点BA关于x轴对称由△OAB为等边三角形不妨设直线OB的方程为y=x由解得B6p2p∴|OB|==4p.∵△OAB的面积为48∴=48∴p=
2.
14.1解由题意知动点P的轨迹方程是以F10为焦点以x=-1为准线的抛物线故曲线C的方程为y2=4x.2证明由Dx02在曲线C上得4=4x0则x0=1从而D
12.设Mx1y1Nx2y2直线l1:y=kx-1+2则l2:y=-kx-1+2由得k2x2-2k2-4k+4x+k-22=0∴x1==同理x2=.∴x1+x2=x1-x2=-.∴y1-y2=kx1+x2-2k=.∴kMN===-1即直线MN的斜率为定值-
1.
15.D 由于点P在侧面A1ABB1上所以点P到直线AA1的距离为PA所以点P为到定点A与到定直线CD距离相等的点集合满足抛物线的定义有无数个.故选D.
16.解1设直线AB方程为y=x-b代入y2=2px得x2-2b+2px+b2=0Δ=2b+2p2-4b2=8bp+4p
20.设Ax1y1Bx2y2则x1+x2=2b+2px1x2=b2|AB|=|x1-x2|==2当b=1时|AB|=2AB的中点为1+pp依题意可知21+p+1=2解得p=
2.所以抛物线方程为y2=4x.2点O到直线l1的距离为d=S△OAB=×|AB|×d=×2×=2|b|.因为平行线l1l2之间的距离为所以直线CD方程为y=x-b+1S△OCD=2|b+1|.依题意可知×2|b|=2|b+1|即3b2b+1=b+12b+2化简得2b2-3b-2=0所以b=-或b=2满足Δ0所以l1:y=x+l2:y=x-或l1:y=x-2l2:y=x-
3.。