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第7练函数的奇偶性与周期性[基础保分练]
1.已知函数fx为奇函数,当x0时,fx=x2+,则f-1等于 A.2B.1C.0D.-
22.“a=0”是“fx=为奇函数”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.2019·浙江名师预测卷定义在R上的奇函数fx满足fx=x2-2x0,若fa-2≥0,则a的取值范围为 A.[2-,2]∪[2+,+∞B.[2-,2+]C.[2-,2]D.[2+,+∞
4.已知fx=2x+为奇函数,gx=bx-log24x+1为偶函数,则fab等于 A.B.C.-D.-
5.设定义在R上的奇函数fx满足对任意x1,x2∈0,+∞,且x1≠x2都有0,且f2=0,则不等式≤0的解集为 A.-∞,-2]∪[2,+∞B.[-20]∪[2,+∞C.-∞,-2]∪02]D.[-20∪02]
6.已知函数fx在R上单调递减且为奇函数,若f2=-2,则满足-2≤fx-1≤2的x的取值范围是 A.[-22]B.[-31]C.[-13]D.
[13]
7.定义在R上的奇函数fx满足f2-x=fx,当x∈01]时,fx=ex-1,则f等于 A.1-eB.e-1C.1-D.-
18.已知fx是定义域为-∞,+∞的奇函数,满足f1-x=f1+x,若f1=2,则f1+f2+f3+…+f2019等于 A.-2019B.0C.2D.-
29.2018·温州九校联考已知函数fx是定义在-∞,0∪0,+∞上的奇函数,在0,+∞上单调递减,且f4=0,若fx-3≤0,则x的取值范围为________.
10.设函数fx=+,则使得fx≤f2x-1成立的x的取值范围是________.[能力提升练]
1.2019·绍兴模拟已知fx,gx都是定义在R上的函数,且fx为奇函数,gx的图象关于直线x=1对称,则下列四个命题中错误的是 A.y=gfx+1为偶函数B.y=gfx为奇函数C.函数y=fgx的图象关于直线x=1对称D.y=fgx+1为偶函数
2.2019·学军中学模拟函数fx=asinωx+bcosωxa≠0,b≠0,ω≠0,则fx A.是非奇非偶函数B.奇偶性与a,b有关C.奇偶性与ω有关D.奇偶性与a,b无关
3.已知函数fx=x-1ax+b为偶函数,且在0,+∞上单调递减,则f3-x0的解集为 A.24B.-∞,2∪4,+∞C.-11D.-∞,-1∪1,+∞
4.已知函数fx是定义在R上的偶函数,fx+1为奇函数,f0=0,当x∈01]时,fx=log2x,则在区间89内满足方程fx+2=f的实数x为 A.B.C.D.
5.定义在Z上的函数fx,对任意x,y∈Z,都有fx+y+fx-y=4fxfy,且f1=,则f0+f1+f2+…+f2017=________.
6.定义在R上的偶函数fx满足
①当x≥-1时都有fx+2=2fx,
②当x∈[01时,fx=x2;则在区间[-13]内,函数gx=fx-kx-k零点个数最多时,实数k的取值范围是________.答案精析基础保分练
1.D [函数fx为奇函数,将1代入解析式fx=x2+,得f1=2,故f-1=-f1=-
2.]
2.A [a=0可以推出fx=0x≠±1,fx的图象关于原点对称,所以fx是奇函数;若fx=为奇函数,则a∈R,即不能推出a=0,所以a=0是fx=为奇函数的充分不必要条件,故选A.]
3.A [函数fx的图象如图所示,由题可知f0=0且f=0,若fa-2≥0,则-≤a-2≤0或a-2≥,解得2-≤a≤2或a≥2+,故选A.]
4.D [根据题意,fx=2x+为奇函数,则f-x+fx=0,即+=0,解得a=-
1.gx=bx-log24x+1为偶函数,则gx=g-x,即bx-log24x+1=b-x-log24-x+1,解得b=1,则ab=-1,所以fab=f-1=2-1-=-.]
5.A [由题意可得,奇函数fx的图象关于原点对称,对任意x1,x2∈0,+∞,且x1≠x2,因为0,所以当x1x2时,总有fx1fx2成立,可得函数在0,+∞上是增函数,故函数在-∞,0上也是增函数,由不等式≤0,可得≤0,≥0,再由f2=0,可得f-2=0,或可得x≥2或x≤-2,即不等式的解集是-∞,-2]∪[2,+∞,故选A.]
6.C [根据题意,函数fx为奇函数,若f2=-2,则f-2=
2.又函数fx在R上单调递减,且-2≤fx-1≤2,即f2≤fx-1≤f-2,所以-2≤x-1≤2,解得-1≤x≤
3.]
7.C [∵fx是奇函数,∴fx=f2-x=-fx-2,∴fx+4=-fx+2=fx,∴fx的周期为
4.f=f=f=-f=1-,故选C.]
8.B [∵fx是奇函数,且f1-x=f1+x,∴f1-x=f1+x=-fx-1,f0=0,则fx+2=-fx,则fx+4=-fx+2=fx,即函数fx是周期为4的周期函数,∵f1=2,∴f2=f0=0,f3=f1-2=f-1=-f1=-2,f4=f0=0,则f1+f2+f3+f4=2+0-2+0=0,则f1+f2+f3+…+f2019=504[f1+f2+f3+f4]+f2017+f2018+f2019=f1+f2+f3=2+0+-2=0,故选B.]
9.[-13∪[7,+∞解析 由于奇函数fx在0,+∞上单调递减,且f4=0,所以函数在-∞,0上是减函数,f-4=
0.所以不等式fx≤0的解为x≥4或-4≤x0,所以x-3≥4或-4≤x-
30.所以x≥7或-1≤x
3.
10.解析 因为fx的定义域为R,且f-x=+=fx,所以fx是定义在R上的偶函数,因为当x0时,y=和y=均为单调递减函数,所以fx在0,+∞上单调递减,在-∞,0上单调递增.由fx≤f2x-1,得f|x|≤f|2x-1|,|x|≥|2x-1|,整理得3x2-4x+1≤0,解得≤x≤
1.能力提升练
1.B [由已知得f-x=-fx,g1-x=g1+x,则gf-x+1=g1-f-x=gfx+1,故gfx+1为偶函数;gf-x=g-fx=g2+fx,即gfx为非奇非偶函数.fg-x=fg2+x,故fgx的图象关于直线x=1对称;又fg-x+1=fg1+x,故fgx+1为偶函数.由此可知,选项A,C,D为真命题,选项B为假命题,故选B.]
2.A [fx=asinωx+bcosωx=sinωx+φ,其中sinφ=,cosφ=,要使函数fx=sinωx+φ为奇函数,则f0=sinφ=0,因为a≠0,b≠0,所以≠0,又因为sinφ=≠0,所以f0=sinφ≠0,所以函数fx不是奇函数.若函数fx=sinωx+φ为偶函数,则f0=sinφ=±,则sinφ=±1,cosφ=0,因为a≠0,所以cosφ=≠0,所以f0=sinφ≠±,所以函数fx不是偶函数,故选A.]
3.B [∵fx=x-1ax+b=ax2+b-ax-b为偶函数,∴f-x=fx,则ax2-b-ax-b=ax2+b-ax-b,即-b-a=b-a,得b-a=0,得b=a,则fx=ax2-a=ax2-1,又fx在0,+∞上单调递减,则a0,由f3-x0得a[3-x2-1]0,即3-x2-10,得x4或x2,即不等式的解集为-∞,2∪4,+∞,故选B.]
4.D [∵fx+1为奇函数,即fx+1=-f-x+1,即fx=-f2-x,当x∈12时,2-x∈01,∴fx=-f2-x=-log22-x.又fx为偶函数,即fx=f-x,于是f-x=-fx+2,即fx=-fx+2=fx+4,故fx是以4为周期的函数.∵f1=0,∴当8x9时,0x-81,fx=fx-8=log2x-
8.由f=-1,fx+2=f可化为log2x-8+2=-1,得x=.故选D.]
5.解析 令y=1得fx+1+fx-1=fx,∴fx+2+fx=fx+1,∴fx-1=-fx+2即fx-1+fx+2=0,∴fx+fx+3=0,fx+6=fx+3+3=-fx+3=-[-fx]=fx,即函数fx周期为6,且f0+f1+f2+f3+f4+f5=[f0+f3]+[f1+f4]+[f2+f5]=0,f0+f1+f2+f3+…+f2017=f2016+f2017=f0+f1,令x=1,y=0,得2f1=f0,∴f0=,∴f0+f1=,即答案为.
6.解析 当x∈-10]时,-x∈[01,fx=f-x=x2,又f-1+2=2f-1=2f1=f1,故f1=0,所以当x∈[-11]时,fx=当x∈13时,x-2∈-11,fx=2fx-2=2x-22,而f3=2f1=0,故函数y=fx,x∈[-13]的图象如图所示.y=kx+k的图象恒过点-10,它与y=fx,x∈[-1,3]的图象最多有5个交点,此时k∈.。